Теория пограничного слоя Г. Шлихтинг под ред. Лойцянского Л.Г. (1013691), страница 134
Текст из файла (страница 134)
Выполнив все эти осреднення, преобразовав затем левые части уравнений с помощью урав- нения неразрывности (18.7) и перенеся, нанонец, все члены, квадратичные относительно пульсаций, в правые части, мы получим следующую систему уравнений: др . — Г ди'~ дйМ да'и~' 1, — — +рЬи — р — + — + — 1 ' дэ . ~ дх ду да -) др — Г ди'о' др'а ди'и' Ч вЂ” — +) й — р — + — +— ду дэ ду да (18.8) К этим уравнениям следует присоединить еще уравнение неразрывности (18.7).
Левые части уравнений (18.8) формально совпадут с левыми частями уравнений Навье — Стокса (3.32) для установившегося течения, если только в последних заменить составляющие скорости и, и, ш их осредненными по времени значениями. После аналогичной замены совпадут также и члены правых частей, зависящие от давления и от трения. Но в уравнениях (18.8), кроме этих членов, имеются еще дополнительные члены, обусловленные турбулентным пульсационным движением.
Сопоставив уравнения (18.8) с уравнениями (3.11), мы увидим, что дополнительные члены в правых частях уравнений (18.8) можно рассматривать как компоненты тензора напряжения. В соответствии с равенством (3.10а) результирующая поверхностная сила, отнесенная к единице объема, выражается через компоненты тензора напряжения в следующем виде: дт' „до„' дт„' дт', д'с„' до' Кроме того, мы имеем уравнение неразрывности — + — + — =О. да ди дм дэ ду да (18.6г) В этих уравнениях й означает оператор Лапласа.
Подставим во все эти уравнения вместо составляющих скорости и давления их выражения через. осредненные значения и пульсации (соотношения (18.1)) и произведем осреднение по времени каждого полученного члена с учетом правил (18.4). Сначала сделаем это в уравнении неразрывности. Имея в виду, что дн//дл = 0 и т.
д., мы получим г з3 твнзог нлпгяжнния клжхшвгося ттгвтлинтного тгнния' 507 Переписав уравнения (18.8) по образцу уравнений (3.11), мы получим и — ди — дй — дй 1 др ' и дс„' дт„'„ дтхи т р (и — +о — +и — ) = — — +рЬи+( — + — + — ), дх ду дх ) дх дх ду дх ) ' — ди — ди — ди 1 ди — ~ дт„'„ до„' ди„', ~ Р ~ и — + и — + и' — ) = — — + р Ьи + ~ — *" + — "+ — "* ), (18.9) дх дд дх ) ду дх ду дх ) ' и — дш — ди> — ди~ т др и дтхи диии до', ~ р (и — +и — +ии —.) = — — +рйй+ ~ — + — + — ) . дх ду дх ) дх дх ду дх ) ' Сравнив уравнения (18.9) с уравнениями (18.8), мы будем имети с ~2 Пх тхи тхг ри тщ ои т„', = — ри'и' ри'и~' (18.10) Этот тензор напряжения, связанный с пульсационным движением, совпадает с тензбром напряжения, полученным в предыдущем параграфе посредством теоремы импульсов (там мы выписали только три составляющие (18.5) этого тензора) Итак, осредненные составляющие скорости турбулентного течения удовлетворяют уравнениям (18.9), которые отличаются от соответствующих уравнений для ламинарного течения присутствием дополнительных членов, зависящих от трения и определяемых тензором напряжения (18.10).
Эти напряжения называются кажущимися напряжениями турбулентного течения. Они вызываются турбулентным пульсационным движением и получаются осреднением по времени величин, квадратичных относительно пульсационных скоростей. Так как эти напряжения прибавляются к обычным напряжениям вязкого течения и действуют на развитие течения сходным образом, то они часто называются также напряжгниями кажущегося турбулентного трения. Полные напряжения получаются алгебраическим сложением обычных, вязких напряжений, определяемых равенствами (3.25а), и кажущихся турбулентных напряжений, следовательно,' д о„= — у+ 2р — — ри', дх (18.11) г дй дит т р + — — риу хи — 'т ду дх! В большей части случаев кажущиеся турбулентные напряжения значительно больше ламинарных напряжений, и поэтому последние часто можно не учитывать, не делая при этом какой-либо заметной ошибки.
Граничные условия. Осредненные по времени скорости, входящие в уравнения (18.9), должны удовлетворять таким же граничным условиям, как я истинные скорости при ламинарном течении, т. е. все составляющие скорости на твердых стенках должны быть равны нулю (условие прилипания). На стенках исчезают также все составляющие пульсационной скорости. Следовательно, на стенках все компоненты тензора кажущегося турбулентного трения равны нулю, и здесь остаются только вязкие напряжения ламинарного течения, так как они на стенках в общем случае не исчезают. Однако в непосредственной близости от стенки напряжения кажущегося турбулентного трения малы по сравнению с вязкими напряжениями ламинарного течения. Отсюда следует, что в очень тонком слое в самой непосредственной близости от стенки всякое турбулентное течение ведет себя в основном как ламинарное течение.
В таком тонком слое, называемом ламинарпмм подслогм, скорости так малы, что силы вязкости здесь значительно больше сил инерции. 508 ОснОВные сВеДениЯ О тУРБУлентных течениЯх 1гл. хчнг Это означает, что здесь не может существовать турбулентность '). К этому ламинарному подслою примыкает переходная область, в которой пульсации скорости уже настолько велики, что влекут за собой появление турбулентных касательных напряжений, сравнимых с силами вязкости. Наконец, на еще большем расстоянии от стенки турбулентные касательные напряжения полностью перевешивают ламинарные напряжения.
Здесь и начинается собственно турбулентный пограничный слой. Толщина ламинарного подслоя обычно столь мала, что практически она либо совсем не может быть измерена, либо может быть измерена только с очень большим трудом. Тем не менее этот подслой оказывает решающее влияние на развитие течения и особенно на возникновение сопротивления, что вполне понятно, так как явления, происходящие в подслое, вызывают касательные напряжения на стенке, а вместе с ними и сопротивление трения.
К этим вопросам мы вернемся ниже. Уравнения (18.9) и (18.10) являются исходными для теоретического исследования турбулентных течений, точнее говоря, для расчета осредненных по времени величин, определяющих движение. Появляющиеся при таком расчете осредненные значения величин, квадратичных относительно пульсаций, можно понимать как компоненты тензора напряжения. Необходимо, однако, подчеркнуть, что одно такое толкование еще не дает многого для решения задачи. Уравнения (18.9) и (18.10) не могут быть использованы для рационального расчета осредненного движения до тех пор, пока не будет известна связь между пульсациями и осредненным движением.
Такая связь может быть установлена только на основе эмпирических соображений. Именно эта связь между пульсациями и осредненным движением и составляет основное содержание гипотез о турбулентности, изложению которых мы посвятим следующую главу. з 4. Некоторые измерения турбулентных пульсаций скорости При экспериментальном исследовании турбулентных течений обычно измеряют только осредненные давления и скорости, так как только эти величины доступны для измерения простыми способами. Измерение зависимости пульсаций и', п',... от времени или средних по времени значений и'з, и'и',... весьма затруднительно и требует применения термоанемометра„ что связано с большой затратой времени. Для большей части технических приложений вполне достаточно измерения осредненных по времени значений, но для глубокого проникновения в механизм турбулентности измерение пульсаций обязательно.
Приведем некоторые результаты таких измерений, так как они нам понадобятся для обоснования предстоящих теоретических соображений. Г. Райхардт (зз) выполнил измерения турбулентных пульсаций в воздушном потоке в канале прямоугольного поперечного сечения шириной 1 м и высотой 24,4 см. На рис. 18.3 изображено распределение осредненной скорости ы(у) по ширине канала в его среднем горизонтальном сечении. Мы видим типичный профиль скоростей турбулентного течения с крутым возрастанием скорости около стенок н довольно равномерным распределением в середине. Максимальная скорость течения составляла П =- 100 сы/сел. На том же рис. 18.3 показано изменение по ширине канала осредненных значений т' и'з и у и'з продольной и поперечной пульсаций.
В то время как поперечная пульсация изменяется по ширине канала сравнительно мало и составляет в среднем около 4о4 от П, продольная пульсация имеет в непосредственной близости от стенок резко выраженный максимум, равный 0,13П. т) На самом деле турбулентные пульсации существуют в любой близости к твердой стенке, но очень быстро убывают (см. рис. 18.3) — Прим. ред. Е 1) некоторые измеРениЯ тУРБУлентных пульсаций скОРОсти 509 Ход обеих кривых Ум'2 и Уу'2 подтверждает упоминавшееся в предыдущем параграфе уменьшение пульсационных скоростей в непосредственной близости от стенок. Далее, на' рис.
18.4 изображено изменение по ширине канала осредненной величины — и'и', пропорциональной, с точностью до множителя р, турбулентному касательному напряжению. В середине канала, как это и должно быть из соображений симметрии, и'г' равно нулю. Максимум лежит ссиу уг и ги );у с' уи /у 'ы цф )Я' -йи' д ди /с а ДУ дс фт фт йт АУ Рмс. 18.3.
Измеревве турбулентных пульсацвй скорости в прямоугольном каяале. Пс Райкардту РН. Псказацы взмеясквя прсдсльксйпульсацмв 1Г к'2, поперечной пульсации )/г' в ссредвеяксй сксрсстя к пс шкрвке канала. С 1СС ск/сек — максвмадькая скорость. Ркс. 18.1. Исмерсвве турбулентных пульсадяй скорости в прямоугольном канале. пс Райхардту 00.
псказквы взмеяевмя вслячмвы к'г', касательного яапряжевяя Мр в ксаффвцкскта ксрреляпвя Е пс ширине капала. вблизи стенок и.показывает, что здесь турбулентное трение достигает наибольшего значения. На рис. 18.4 штрихами отмечена также кривая т/р, показывающая, как изменяется касательное напряжение, вычисленное по распределению давления независимо от измерения пульсаций. На большей части ширины канала кривые т/р и — и'и' почти совпадают. Это обстоятельство служит, во-первых, хорошим контролем измерений, а во-вторых, показывает, что в середине канала полное касательное напряжение определяется только турбулентным трением. В непосредственной близости от стенок кривые т/р и — и'и' отходят одна от другой. Кривая — и'и' имеет на стенке нулевую ординату, так как на стенке турбулентные пульсации исчезают. Разность ординат обеих кривых т/р и — и'и' дает величину ламинарного трения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
