Теория пограничного слоя Г. Шлихтинг под ред. Лойцянского Л.Г. (1013691), страница 133
Текст из файла (страница 133)
Колмогорова н других авторов. Изложенне основных идей А. А. фридмана, А. Н. Колмогорова н других советских ученых можно найти в книге: М о н н н А. С. н Я г л о м А. М., Статистическая гкдромеханнка, ч. 1 н 2, «Наука», Москва 1966 н 1976.— Прим. верее.) шополнитнльныв (кажилшкся) тугвулннтныв напгяжвния 503 з 2! (равенства (16.2)1. Для сжимаемых течений (глава ХХ111) необходимо ввести также пульсации плотности р и температуры Т, определяемые соотношениями р=р+р', Т=Т+Т'.
(18 11д, е) Говоря об осредненных значениях, мы имеем здесь в виду средние значения ео времени в фиксированной точке пространства, следовательно, под осредненной скоростью и мы подразумеваем величину ~о+и г и= — ) ий. (18.2) Для осреднения надо брать такой большой промежуток времени гм чтобы осредненное значение совершенно не аависело от времени. Тогда осредненные по времени аначения пульсационных величин будут равны, согласно опре: елению, нулю, т. е. и'=О, о'=О, в'=О, р'=О, р'=О, Т'=О. (18.3) Фундаментальное значение для развития турбулентного течения имеет следующее обстоятельство: пульсационное движение со скоростями и', г', ю' влияет на осредненное движение и, и, ю таким образом, что в осредненном движении как бы увеличивается сопротивление возникновению деформаций. Иными словами, действие пульсационного движения на осредненное движение' проявляется как бы в увеличении вявкости осредненного движения.
Эта дополнительная, кажущаяся вязкость 'осредненного движения является основным понятием во всех теоретических соображениях о турбулентных течениях, поэтому прежде всего мы остановимся на вопросе о ее возникновении. В дальнейшем нам неоднократно придется проиаводить осреднение во времени. Укажем некоторые правила такого осреднения.
Пусть ~ и л суть зависимые переменные, которые необходимо осреднить, и пусть з есть одна из четырех независимых переменных х, у, з, д Тогда мы будем иметь (18.4) 5 2. Дополнительные (кажущкеся) турбулентные' напряжения') Прежде чем вывести связь между осредненным движением и кажущимися напряжениями, обусловленными пульсационным движением, дадим этим напряжениям наглядное пояснение с помощью теоремы импульсов. Рассмотрим в турбулентном течении, имеющем скорость с составляющими и, и, ю, площадку ЙР с нормалью, параллельной оси х (следовательно, оси у к х лежат в плоскости этой площадки). Масса жидкости, протекающая сквозь площадку Йгг за промежуток времени й, равна ЙР ри й.
Следовательно, составляющей ~ро оси х потока импульса сквозь площадку Йг" будет Ы,=ЙР риз й, а составляющими по осям у и г того же потока импульса будут Ыз — — ЙР.рии Й$ и Йз" = ЙР риш.Й$. 504 основныи сввднния о ттввтлвнтных твчиниях 1гл. хтпг Составим средние по времени значения от составляющих потока импульса в единицу времени. Имея в виду, что плотность постоянна, мы получим Ш„=др риг, Аl„*"-Йр.рис, й«« = с(р.
рии>. При осреднении по времени величин, входящих в правые части этих равенств, необходимо учитывать, что в соответствии, например, с равенством (18.1а) и» = (и+ и')' = ие+ 2ии' + и'». Применив к осреднению величины и' первое из равенств (18.3) н первые три из правил (18.4), мы получим иг иг ) ис» Аналогичным образом мы найдем, что и ш=и в+и'и~'. и.о=и о+и'о'; Следовательно, осредненные по времени составляющие потока импульса в единицу времени будут Ы =ир р(и'+и'г), ссуд — Йр р(и о+ и'о'), Ы,=Нр р(и ш+и'й').
Все эти выражения, будучи изменениями импульса во времени, имеют размерность силы. Разделив их на площадь иР, мы получим силу, отнесенную к единице площади, т. е. напряжение. Так как поток импульса в единицу времени сквозь некоторую площадку всегда эквивалентен противоположно направленной силе, с которой окружающая среда действует на рассматриваемую площадку, то полученный результат означает следующее: на площадку с)р, перпендикулярно к оси х, действуют: в направлении оси х напряжение — р(и»+и'»), »» » у» — р (и о+ и'о'), »» » 㻠— р (и. в+ и'и~').
Первое из этих напряжений представляет собой нормальное напряжение, а два последних — касательные напряжения. Таким образом, мы пришли к выводу, что наложение пульсационного движения на осредненное движение вызывает на площадке, перпендикулярной к оси х, дополнительные напряжения о„' = — ри", с„'„= — ри'о', т«, — — — ри'~'. (18.5) Эти дополнительные напряжения называются «кажущимися» напряжениями турбулентного течения; они складываются с напряжениями осредненного движения, с которыми мы познакомились при изучении ламннарных течений. Аналогичные дополнительные напряжения получаются и на площадках, перпендикулярных к осям у и з.
Совокупность всех девяти дополнительных напряжений называется тенгором напряжений кажущегося турбулентного трения. Формулы (18.5) впервые были выведены О. Рейнольдсом [»г) из уравнений движения Навье — Стокса (см. следующий параграф). «») ткнзор нлпряжкния клжхщкгося турврлкнтного тркння 505 В том, что осредненные по времени смешанные произведения пульсацион ных скоростей, например и'и', действительно не равны нулю, можно убедиться следующим наглядным путем. Очевидно, что касательное напряжение ухи=тих= Ри и 3 3.
Вывод тензора напряжения кажущегося турбулентного трения из уравнений движения Навье — Стокса В предыдущем параграфе мы дали наглядное пояснение дополнительным силам, возникающим вследствие турбулентного пульсационного движения. Покажем теперь существование этих сил путем более формальных рассуждений, основанных на рассмотрении дифференциальных уравнений Навье— Стокса. Одновременно мы выведем уравнения движения, которым удовлетворяют осредненные по времени скорости и, и,'и> и осредненное давление р. Перепишем уравнения Навье — Стокса для несжимаемого течения (3.32) в следующем виде: РЪ+ "+ ау + .. 1=--д.+"" ди д (ит) д (ии) д (ии~) др ~+.+,'' дс, д (ои) д (с»), д (ои) ) др (18.6б) можно понимать как перенос х-составляющей импульса через площадку, перпендикулярную к оси у.
Вообразим, что осредненное движение представляет собой простое сдвиговое течение, определяемое распределением скоростей и = и (у), и = и = 0 и градиентом скорости йиЫу ) 0 (рис. 18.2). Составив для такого течения осредненное значение и'и', мы сразу убедимся, что это значение не равно нулю. В самом деле, частицы жидкости, попадающие вследствие поперечного движения в слой у снизу (и' ) 0), движутся из области с меньшей осредненной скоростью и, но так как при этом они в основном йу) сохраняют свою первоначальную скорость и, то в слое у они вызывают отрицательную пульсацию и'.
На- тоР оборот, частицы жидкости, попадающие в слой у сверху (и' ( 0), дают в атом слое положительную 1-о' пульсацию и'. Таким образом, в рассматриваемом П течении в целом положительные пульсации и' «обычно» связаны с отрицательными пульсациями и', а отрицательные и' — с положительными и', и поэтому следует ожидать, что осредненное значение са турбулсвтвмвв луласаи'~' не равно нулю и притом имеет отрицательный цвлвв сворсств. знак. Это означает, что турбулентное касательное напряжение т,'э —— — ри'о' в этом случае положительно, т.
е. имеет такой. же знак, как и ламинарное касательное напряжение ди . т! = )»в для рассматриваемого течения. Связь, существующая в данном случае между продольной и поперечной пульсациями скорости в одной и той же точке, называется корреляцией между этими пульсациями. 506 основнын свнднния о тугвулинтных тнчнниях !гл. хчш д+д+д — — О, ди ди дш (18.7) а потому в сочетании с уравнением (18.6г) также да' дэ' дм' — + — + — =О.
да ду да Следовательно, уравнению неразрывности несжимаемого течения удовлетво- ряют составляющие скорости не только осредненного движения; но и пуль- сационного. Перейдем к уравнениям движения. Операция осреднения всех членов, квадратичных относительно осредненных скоростей (например, членов и', и у), не внесет в эти члены никаких изменений, так как в соответствии с правилами (18.4) из = пэ, и и = и к Все члены типа ди'/д/, д'и'/дх' и т.
д., линейные относительно пульсаций, после осреднения отпадут на основании равенств (18.3). Отпадут после осреднения также все члены смешанного типа, например и и' и т. д. Члены же, квадратичные относительно пульсаций, после осреднения останутся в виде выражений и", и'~' и т. д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
