Основы теории теплообмена Кутателадзе С.С. (1013620), страница 77
Текст из файла (страница 77)
11) В случае сферической индикатрисы рассеяния, когда ух (М, 5, 5') =— 1, имеет место изотропное рассеяние излучения. Рассеяние излучения частицами (молекулами и свободными электронами), размеры которых малы по сравнению с длиной волны (с[( 0,1)ь), характеризуется индикатрисой, которая определяется по формуле Рэлея: (26.5.12) 7.(М, 8, 5') =(3/4) [1+созе(З, 3 )] * Процессы переноса излучения здесь рассматриваются как стационарные. 373 и имеет распределение интенсивности рассеяния, симметричное относительно направления падающего излучения (рис.
26.8, а). Если излучение рассеивается частицами, размеры которых сопоставимы с длиной волны, индикатриса рассеяния, зависящая от отношения радиуса частицы к длине волны излучения н показателя преломления вещества частицы, оказывается сильно вытянутой в направлении излучения (см. рис. 26.8, б). Уравнение переноса излучения (26.5.9), таким образом, является весьма сложным интегро-дифференциальным уравнением яркости. В случае поглощающей и излучающей среды оно вырождаегся в обычное дифференциальное уравнение яркости (26.5.8).
Уравнения переноса излучения (26.5.8) и (26.5.9) являются обобщениями известного закона Бугера, согласно которому учитывается ослабление интенсивности только за счет поглощения: Х Нь(М, 5)1г(5 = — хх(М) 1х(М, 5). (26,5,13) Х Если среда диатермическая, то Нх(М, 5)1с(5= — хх(М)1ь(М, 5)+ей(М):— О. Рис. 26.8. Индикатриса рас- (26.5.14) сеяния излучения: Неопределенность вида 1х (М, 5) = нй (М)1хк(М) = вввмеиы частиц сопоставимы с — О/О, возникающая при этом, раскрывается из длиной волны соображений постоянства интенсивности вдоль направления излучения 5, значение которой для днффузно излучающих поверхностей определяется как 1а(М,'5)=Е, к(М)1п. (26.5.15) В случае термодинамического равновесия следует полагать Нь (МИ5= О' 1х(М) = 1а.х(М) Далее с учетом уравнения (26.5.14) приходим к закону Кирхгофа 1е, х=нх1хх (26.5.
17) для поглощающих сред. Так как плотность равновесного излучения Че,а.связана с яркостью или интенсивностью 1а ь соотношением Чо, а=-4х1о. м (26.5.!8) причем Чв,к = 4Еа,ы (26.5.19) то из условия (26.5.17) получаем выражение плотности собственного излучения Чс,ь = хх Чв,ь (26.5.20) Получить уравнение (26.5.17) оказалось возможным благодаря использованию в выводе уравнения переноса излучения гипотезы о локальном термодинамическом равновесии.
Согласно этой гипотезе каждый элементарный объем среды, имеющий произвольное температурное распределение, находится в состоянии термодинамического равновесия при температуре данного элемента среды. Милн доказал, что условия локального термодинамического равновесия определяются теми эффектами столкновений, которые обусловливают процессы поглощения и излучения энергии. Таким условиям удовлетворяют поглощающие среды, имеющие достаточно высокую оптическую плотность. Проинтегрируем интегро-дифференциальное уравнение (26.5.9) почленио скалярно в пределах телесного угла 11 =- 4х: ~" (М) 1л(М' 5) с(~+ Чв ь(М' 5) ~ Ый(м, 5) 85 4н еи сн ай 126.5.21) 374 В случае сферической индикатрисы рассеяния величина т), х (М, 5) = т), х (М), как функционал точки М может быть вынесена из-под знака интеграла, а первый интеграл в правой части представлен, согласно формуле (25.5.19), через плотность падающего излучения.
Учитывая, что д/х (М, 8) д 4(П= 'Ч вЂ” ( 7х(М,5)соз(5,/) 4((7=4(1ч Егл х(М), (26.5.22) 45 г,'л д4,1 4л 4 г,у,г 4л где х, у, г — система прямоугольных координат, определяющих направление 5, получаем йч Е4л,ь(М) = — /тх(М) т)л х(М) +т1г,л(М). (26.5.23) Используя понятие плотности объемного результирующего излучения Чх(М), определяемой согласно равенству (25.5,17), получаем йч Егл,х = — тр.. (26.5. 24) Для интегрального излучения в пределах всего спектра п1ч Е4л —— — т). (26.5.25) Это уравнение можно рассматривать как уравнение сохранения энергии.
В этом случае плотность объемного результирующего излучения, будучи сложным функционалом, содержит всевозможные виды энергии. Если анализируется перенос излучения в собственном смысле этого слова (излучение в соленоидальном поле), то (26.5.26) йч Е4л —— т1 — ': О. Интегрируя уравнение (26.5.9) для случая сферической индикатрисы рассеяния почленно векторно по телесному углу П == 4п, получаем Ег,х= — (1//44) йч Пх, (26.5. 27) пли для чисто поглощающей и излучающей среды (~х = — 0) Езл х= — (1/кх) йч Пм (26.5.26) Здесь Пх — тензор излучения (аффинный ортогональный тензор второго ранга), характеризуется следующими составляющими: Пы (М) = ~/ (М, 5)х 4л Л Л х соз (5, /)соз (5, /)4(11 (/, / =- х, у, г), которые определяют нормальные (/ = /) и касательные (4 Ф /) напряжения в поле излучения к площадкам, нормально ориентированным к осям координат х, у, г, причем П47 =- П; 4 (симметричность тензора), а Пп — — т1 .
т=г,у,г Если состояние излучающей системы приближается к термодинамическому равновесию, то составляющие тензора Пю определяющие касательные напряжения, становятся малыми. Это позволяет получить упрощенное представление для 414ч Пх. (26.5.29) (26.5.32) 375 йч Пл =(1/3) ягат) т1,,м (26.5.30) Здесь числовой коэффициент 1/3 определяется, согласно формуле (26.5.29), приблизительно одинаковыми значениями яркости и Ч„т для всех направлений. Следовательно, для условий, близких к состоянию термодинамического равновесия, сферический вектор излучения имеет вид Егл,х= — (1/3/тх) дгат) Ч„ы (26.5.31) В соленоидальном поле излучения для поглощающих сред (()х = 0) с учетом формулы (26.5.19) Егл,х= — ( — 1/Зкх) агат( т1, х=( — 4/Зкз) ягаг) Ег,х Для серой среды их = х и, следовательно, Е„, = — )српгае( Т, (26.5.33) где Лр = 16ааТаl3и — коэффициент проводимости излучения.
Описанное градиентное представление для вектора излучения применимо лишь для условий, близких к равновесным. Для поглощающих сред с большими температурными градиентами выражение (26.5.31) следует рассматривать как грубую аппроксимацию интегрального уравнения (25.5.20). Степень такой аппроксияации определяется характером конфигурации излучающей системы, а тах>ке оптическими свойствами поглощающей среды. В физическом аспекте такое приближение основано на диффузном представлении переноса излучения по аналогии с теплопроводностью в газах.
Такая аналогия, однако, возможна только для излучения с малой длиной свободного пробега фотона. Следовательно, приближенные решения, полученные на основе градиентного представ. леиия для вектора излучения, пригодны лишь для сильно поглощающих сред простейших конфигураций (плоскопараллельный слой). 26.6. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ В ПОГЛОЩАЮЩЕЙ СРЕДЕ При исследовании теплообмена излучением в системах произвольной конфигурации необходим переход к интегральным уравнениям излучения. Полагая плотность объемного эффективного излучения Ч, х известной функцией точки (ух = — 1,О), записываем решение уравнения (26.5.9) в следующем виде: 7х (М, 5) = 7,, х (У, Е) ехр ( — )гх) + г + — ~ Ч, х (Р) ехр ( — Лйх) гБ; (26.6.1) 4п е М 6~', )УЕР Здесь Ах и Лйх — оптические толщины сред: (26.6.2) Рис. 26.9.
К переносу излуче- нии в поглошающей среде про- извольной конфигурации г Лйх= ~ йх(Р) г(5 =йхбг. г* 376 Первый член справа в уравнении (26.6.1) представляет собой долю лучистой энергии, посылаемой граничной поверхностью системы за счет собственного и отраженного излучений в элементарный объем с точкой М. При этом ослабление излучения промежуточной средой учитывается коэффициентом лучепрозрачности ехр ( — Ах).
Второй, интегральный, член учитывает собственное и рассеянное излучение среды, приходящее в объем с точкой М (рис. 26.9). Взаимное экранирование учитывается коэффициентом лучепрозрачности ехр ( — йх). Вывод интегральных уравнений излучения, описывающих переносы излучения в поглощающих и рассеивающих средах произвольных конфигураций, сводится к совместному рассмотрению классификации видов излучения и решения уравнения переноса энергии излучения (26.6.1), Для получения интегральных уравнений относительно плотностей полусферических излучений воспользуемся выражениями (25.5.7) и (25.5.11) соответственно для плотностей эффективного и падающего излучений и составим интегральное уравнение следующего вида: Е, х (М) — Ях (М) ~ 7к (М, Е) соз Ом сЯ (М, А>) = Е, х (М).
(26.6.3) эн Для учета процессов, происходящих в поглощающей среде, подставим сюда выражение для интенсивности излучения согласно уравнению (26,6.1). Вводя при этом обозначения: г~(М, гтг, йЛ)=ЕХр ( — йЛ) СОЗ9М ' =ЕХр( — йЛ) и"Рм х'мм Е(М, Р, йл)=ехр( — Лйл) созйм ( ' 1 =ехр( — Лйл) 4хсгрр 4пгМэр (26.6.4) а также сворачивая двойной интеграл по поверхности Р и лучу 5 в один интеграл по объему )г среды, с учетом диффузности излучения границ получаем: Еэ л(М) — )7,(М) ~ Е,,(йт) д(М, М, й,) (Р, )тл(М) ~т1э,л(Р) л(М Р йл) "1'р =- Ес,л(Л4)1 (26.6.5) М дг с Р1 Рс)г.
С помощью выражения (25.5.7) уравнение (26.6.5), записанное для нерассеивающей серой среды (т1, „= т1,), может быть преобразовано к интегральному уравнению относительно плотности падающего излучения Е„: Е (М) — ~ й (й)) Е, (гУ) Я (М, У, и) г(Рм =- ~ т), (Р) й (М, Р, х) гЛГр+ + 1 Е, (У) а (М, Ж, х) г(Р . (26,6.6) Вывод интегральных уравнений излучения относительно плотностей потоков объемного излучения основан на совместном рассмотрении выражений (25.5.14) и (25.5.19) либо (26.5.9) (если среда рассеивает излучение произвольным образом), в которых учитывается значение 1л (М, 5) согласно уравнению (26.6.1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
