Второе начало термодинамики Сади Карно, В.Томпсон, Р. Клаузиус, Д. Больцман, М. Смолуховский (1013602), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Однако практически равноценные результаты, но значительно более простым путем дает соответствующее применение теории диффузии, которую мы уже и в той работе признали эквивалентом подробного ррсчета. Итак,'йредставим вебе, что внутри слоя толщины Н (которую мы можем предположить имеющей любой размер) вначале находится одна единственная частица, причем все значения абсциссы х, в пределах от 0 до Н, будем считать равновероятными: Последнее мы можем сравнить со слоем вещества, которое первоначально бьзчо распределено равномерно. Бсли пограничная поверхность последнего, ж = О, начиная с момента $ = О, непрерывно находилась при нулевой '!концентрации то вероятность, что наша частица до момента ~ ни разу не перейдет через.
пограничный слой, численно равна той доле перво,начально находившегося во всем слое количества вещества, которая не прошла через пограничцый слой, несмотря на существование процесса диффузии (70). Так как количество перешедшего вещества выражается формулой (28) и так как первоначальное количество былэ равно НХ, то вероятность, что рассматриваемая частица еще не перешла через пограничную плоскость, равна: ИАРВАн омолухозский е««/вс — ь )У; )1ш ~1 )/~'~ = е (29) Теперь следует произвести такой же анализ по отношению к и «внутреннимь Частипам. Если сначала концентрация слоя Ь была равномерной и с момента 1 = 0 слой непрерывно находится при нулевой концентрации на обеих пограничных плоскостях, то, как известно, распределение частиц можно представить с помощью ряда (30) в котором суммирование распространяется на все нечетные числа от 1 до «о [89). ,Однако для наших целей представляется более удобным иное разложение, которое может быть получено из частпого решения (17), указанного в упомянутой статье [е) (по аналогии с методом зеркального отражения д-Аламбера), а именно [90$ $7 = [Ф(х) + Ф(1 — Ц вЂ” Ф(1+ х) — Ф(21 — х) + )~ и + Ф(21 + х) + Ф(31 — х) —...), (31) где для сокращения принято ерш Ф(х) ~ е бу.
о «Р« Отсюда видно, что пока величина — „, мала. количество вещества, выступающего на каждой стороне слоя, снова может быть представлено с помдщью формулы (28) [91), так что общее процентное содержание выражается следующей величиной: Если же в рассматриваемом слое вместо одной частицы имеется и частиц, то вероятность й;, что до момента 1 ни бдна из них не перейдет через пограничную плоскость, равна [т", = ~7". Если в качестве меры распределения частиц ввести число т, кото[юе обычно, в сред нем, соответствует наблюденной толщине слоя Ь, так что и = ~Н, й 1 если притом толщина слоя Н была взята достаточно большой, можно с достаточным приближением принять; исолндоваииж о вРАуновоком движении Итак, если вначале в рассматриваемом слое находится и частиц, то вероятность, что до момента з ни одна из них не пройдет через какую-либо из обеих пограничных плоскостей, равна (зй) при достаточно малых 1 последнее выражение также может быть заменено показательной функцией.
Если последнее скомбинировать с двумя выражениями (29), которые относятся к вступлению внешиих юстиц, можно приближенно представить процентную долю тех елу» чаев, когда первоначальное число частиц а сохраняется неизменнкцз до момента ~ следующим образом: 1(а+ )1/кц 1/7 (33) Отсюда вероятность, что в промежутке 1... с+ сй число а впервые перейдет в (и+ 1) или в (а — 1), вьМрзжаетея через — = Й, а вероятная продолжительность состояния а равна ~ЛР Ый ОР ОЭ (34) Интересно отметить, что такого же .порядка величину можно получить совершенно простым расчетом, если привлечь на помощь ,выведениупЯв свое время формулу ", 3' 2тР, которая определяет среднее, квадратичное изменений числа частиц, происходящих за определенный отрезок времени.
Для коротких промежутков времени можно Р представить приближенно, подобно тому как это было указано по поводу формулы (24) таким образом можно установить [92), что для изменения числа частиц в среднем на одну единицу требуется время: ль"" ~~ю*п Точного совпадения С выводом, полученным ранызе, здесь нельзя ожидать уже по той причине, что способ образования средних величин в обоих случаях различен: в настоящем случае речь идет о среднем изменении, наступившем за определенное время, в предыдущем же случае — о впервые происшедшем изменении.
Если мы сравним полученную нами теперь величину вероятной продолжительности Т, с выведенной раньше средней продолжитель ностью Т, состояния и, то мы обратим внимание на существенное раз-. см. здесь стр. ззз, МАРИАН СМОЛУХОВСКий 278 личие результатов как с точки зрения структуры формул, так и с точки зрения порядка величин. В самом деле, для упомянутого примера (м = 17,' т = 1,88, Т) = 10 ) окажется Т = 4,8 10 Сок. Если бы здесь имело место такое же соотношение между 0в и Т,, как между О, н Т, "; мы получили бы Ьев 1 0 = — —.
8(в+в)'Ю И" (л) ' (Зб) Отсюда следует, что в среднем~ пришлась бы вести наблюдение непрерывно в,течение 2000 лет для того, чтобы при,условиях сведберговского опыта получить, возможность один раз увидеть появление 'числа 1т. Ш. ПОЯСНЕНИЕ ПУТЕМ АНАЛОРИИ С ДРУРИМИ НРОЦЕССАИИ С первого взгляда кажется странным, что двум несколько разли- Т ющимся между собою определениям продолжительности состояния, оторые мы называем средней и вероятною, соответствуют величины, столь различные качественно и количественно. Однако это явление можно легко пояснить путем аналогии с некоторыми другимн явлениями, в результате чего может получиться ясная картина изменчивости молекулярных процессов. Представим себе, панримерт разряды лейденской банки, питаемой индуктором.
Здесь каждая искра состоит нз большого чйсла быстро следующих друг за другом частичных разрядов. Разделяющие их промежутки времени крайне малы по сравнению с промен(утками между отдельными искрами. В данном случае средний промежуток времени О, между любыми двумя следующими друг за другом разрядами (исчисленный исходя из общего числа всех разрядов) только не намного превышает продолжительность колебания разрядного контура. С другой стороны, ожидаемое время возврата О, (отнесенное 'ко всем моментам времени как исходным точкам), примерно, совпат дает с половиной величины промежутка времени йежду двумя искрами; следовательно, оно имеет совершенно инйе размеры и зависит от других условий опыта, чем величина О,.
Очевидно, существенным моментом, обусловливающим различие .этих двух величин, является то обстоятельство, что частичные раз'ряды следуют друг за другом не в случайном порядке, но появление первого разряда обязательно длечет за собою целый ряд последующих. С этой точки зрения мы можем различать '()зи отдельных категории физических процессов. 1.
Случайные явления, которые друг на друга совершенно не влияют; так, например, столкновение молекулы разреженного газа с другими молекулами или распад атомов радиоактивных, веществ столь неправильно распределяются во времени, что О, и 0в становится тождественными. Если в данном случае )ег)г обозначает и ю е, * ~а, . е.е1ь этому мм говорпм об этом предположительно.
исследоВАние о БРАуноВском дВижении в сроятность, что подобное явление произойдет в промежутке времени ! + с(с, то средняя длина промежутка или, соответственно. с редное время ожидания будет: 0,=0 = —. 1 1 2 (3Е) Кроме того, 3сегко доказать, что в подобных случаях относительная вероятность различных величин промежутков времени определяется формулой: И'(с) Й = йе с(1, (37) которая была выведена уже Клаузиусом в теории средней длины пути„ а для наб нодения явления сцинцилляции радиоактивных веществ впервые была применена Марсденом и Барраттом [88[. 2. Ясли сусцествуют явления, при которых повторение какого- либо события пе облегчается наступлением предыдущего (нак в случас искрового разряда), а наоборот, затрудняется, то здесь должно было бы иметь место неравенство О, > 02.
В самом крайнем случае подобного рода события должны следовать друг за другом через равные промежутки времени и, следовательно: 1 02 01' 2 3. В тех случаях, когда наступление события благоприятствует го повторению, или, другими словами, когда существует положительное вероятностное последействие (роз(!(уе »т ай!Нейе(п11сййе(сзилсйпчгйипд) (как при молекулярных процессах, рассмотренных в настоящей работе), тогда явления происходят пачкообразно. Это обстоятельство обусло!сливзс т увеличение О, по сравнению с 61 [80[. Еще лучше, чем в примере искрового разряда, где явление протекает ели!иком регулярно и для случайности отстается слишком мало места, аналогия с нашей проблемой выступает в следующем примере, который непосредственно связан с нею и который, сверх того, сам по себе представляет известный интерес. Представим себе, что внутри сосуда, наполненного идеальным газом, описано шаровая поверхность (радиусом а), и поставим перед собою вопрос: как долго в среднем пребывает молекула газа внутри этого шаря? При более точной формулировке нам придется различать: а) с(ждисою нродоллсительность 1!ребывания Т„т.
е. срединно величину промежутка времени, который пройдет от момента вступления молекулы в яшр до момента ближайшего ее выхода, причем при выводе средней величины должны быть приняты в расчет все случаи вступления молекулы. * Напрашивающееся, ио по существу ошибочнос ааключение, будто должно иметь место соотношение 81 —— 28„послужило основанием для возражения, » которым Кортвег выступил против клазиусовского исчисления средней длины пути (С(аи»си», чрзгшеВеог!е, 3.ВН., стр. 208(. См. кроме того; В.
Маг»лев ппс( т. Вегас!, »Ргос. Рьуа. яос. ° 23" ,367 (1911); «Р)сув. Ял 12, 193 (19!1); Е. Вожмеюсе», В!е гас(!оа)сс!теп Я!гашппзеп, Ярг(плес, Вег!»п 1913. мариан амолуховскцй. Ь) вероятную продолжительность пребывания или время ожидаемого выхода (Апз1пььзегтчагхппйвве)С) .Т, от положения молекулы в любой момент внутри шара до ближайшего ее выхода, причем все начальные положения во время пребывания ее внутри шара должны быть учтены с равными весами. Величину Т, очень легко определить, если на шаровую поверхность смотреть как на неподвижную стену, при этих условиях можно под Т, понимать тот промежутой времени, котрый проходит.в среднем между двумя последовательными ударами, производимыми определенной молекулой о стену. Так как все находящиеся внутри шара ~ЧС шара молекулы производят 4аагг ударов [86), то, значит, каждая г ся из них ударяет о стену — ~ — раз в единипу времени, и, следов У 2я вательио, (38) Тот жб результат можно получить путем (прямого вычисления средней длины отрезков пути внутри- шара„если предположить, что длина пути А велика по сравнению с радиусом, принимая при этом в расчет закон распределения скоростей.
Однако простые соображения показывают, что этот результат совершенно не может зависеть от средней длины пути и что, следовательно, приведенная выше формула' имеет общее значение ~93]. С другой стороны, величина промежутка времени, которое з среднем проходит до ближайшего выхода из шара каждой из заключенных в нем молекул, будет в высокой стейенн зависеть от величины свободного пробега Л. Соответствующий расчет основывается на нетребующем доказательства допущении, что все элементы объема внутри шара могут на протяжении времени одинаково часто служить исходными точкамн.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
