Второе начало термодинамики Сади Карно, В.Томпсон, Р. Клаузиус, Д. Больцман, М. Смолуховский (1013602), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Примерно такие же количественные результаты я получил в другой работе, где я исходил из других соображений, более гипотетического характера. В основном результат зависит от величины множителя в показателе, вследствие чего с известным грубым приближепием можно сказать: второй основной закон применим к таким процессам диффузии, которые протекают в значительном отдалении от среднего колебания3 =. И вообще сопоставление с величи- 1 и' т ной среднего колебания может быть полезно в качестве опорной точки, а именно в тех случаях, когда мы лишены возможности исчислить время возврата и время ожидания 197]. * точнее было бы сказать «обращающееся», так как оно обращается само по себе; ври атом время воаврата аависит от неподдающихся контролю микропроцессов, а не от каких-либо проиаведенных нами бесконечно малых изменений внешнего макроскопического параметра.
Этот ивдегерминистический момент является идеей, совершенно чуждой термодинамике. О БРАУНОВСКОМ МОЛЕКУЛЯРНОМ ДВИЖЕНИИ ПОД ВЛИЯНИЕМ ВНЕШНИХ СИЛ И О ЕГО СВЯЗИ С ОБОБЩЕННЫМ УРАВНЕНИЕМ ДИФФУЗИИ (Иа «Авва!ек йег Рьуе!!е, 1915, стр. 1193 — 1Ы2! В нижеследующем будет рассмотрей вопрос о некотором обобщении формул брауновского молекулярногодвижения, которого я уже и раньше касался в отдельных специальных случаях в связи с другими исследованиями *.
Разработанная Эйнштейном, мною и Ланжевеном [110] теория брауновского движения относится к простейшему случаю, когда исходят из предположения, что частица находится только под влиянием беспорядочных молекулярных толчков со стороны окружающей среды и свободна от влияния каких-либо внешних сил; здесь же мы рассмотрим, как изменяютсясоответствующие законы в том случае, когда частицы находятся под влиянием заданных внешних сил. Эта задача, прежде всего, представляет теоретический интерес, ибо здесь, как было упомянуто в вьппеуказанном месте, можно математически точно проследить переход от стадии неупорядоченного брауновского движения к той области, к которой применимо понятие макроскопической физики о необратимости.
С другой стороны, как будет показано ниже, эта задача открывает возможность для прямых экспериментальных наблюдений. Представим себе собрание совершенно одннаковыхчастиц, находящихся под влиянием молекулярного движения и силы у(а), которые в момент ! = О все вьпплн из положения соответствующего абсциссе х = хо. ПУсть тогда Иг(а„а, !) обозначает тУ долю всего числа этих частиц, которые в момент 1 находятся в интервале а...х-гч(а. Двюкение каждой отдельной частицы происходят совершенно случайно в том смысле, что оно не зависит от предыдущей ее истории **, а также от движений остальных частиц.
Поэтому, если рассматривать распределение в момент 1, как происшедшееиз соответствующего распределения в какой-нибудь предшествующий момент времени, то можнополучить следующее общее условие для функции И'(ло, х, !): + й'(хе, х, !) = / И'(хо, а, д) Ие(а, л, ! — еэ) е)а; (1) * М. а отеьиеЬоюеае, Вц!!. Асаб. Сгасот!е», 3. 418, 1913. Пм адесьстр 231 е0611!пбег то Сгбзе аЬег Ь!пе!шсЬе ТЬеог!е бег Ма1ег!е», В.
87, 1 е!ра!н, 1914. 'е Вообще говоря, сто верно лишь для таких промакутков времеви, которые значительно превышают есреднюю продолжительность приблиаительно прямолинейного движенкяе частицы; так как, однако, последние в действвтельности представляют собой чреавычазно малые отреаки времени, унесенное ограничение не имеет практического аначення. 286 МАРИАН ОМОЛУХОВОКИй при этом интегрирование должно быть распространено на всю область х, где может происходить движение частиц. С помощью этого интегрального уравнения я в своей прежней работе дзл решение нашей заДачи для случая упругой силы у(х) = — ах, исходя при этом из физически очевидного е соображения, что для достаточно коротких промежутков времени функция И'(х„х, д) должна свестись к обычной формуле брауновского движения Ы вЂ” тау И'(хе, х, д) е)х = е ггх, з р'япр и что при дальнейшем приближении действие силы у(х) может быть заменено введением в расчет постоянной силы, которая может расщатриваться как постоянная в окрестности точки х.
Следовательно, соли ф обозначает подвижность частицы, то длясоответственно коротких промежутков времени д имеет силу формула м — ш — додав* И'(хе, х, д) ах = е ах. 2 т' лХЮ (з) С помощью последней путем к-кратного повторного интегрирования (1) получается распределение для и последовательных промежутков времени, а отсюда путем перехода к пределу для исчезающе малого д при постоянном кФ = ~ получается решение нашей задачи.
Однако в более сложных случаях этот прямой метод едва ли практически применим ввиду большого усложнения соответствующих интегралов. Поэтому интересно отметить, что ответ на эту задачу можно получить тапжеиутем решения диференцизльного уравнения, что большей частью бывает связано с значительно меньшими, трудностями. В самом деле, на Основании только что сказанного легко понять, что число частиц, проходящих через абсциссу хе соответственно короткий промежуток времени А ц составляется из двух слагаемых, а именно: из потока диффузии и из вызванного действием силы у конвекционного потока частиц; следовательно, оно выражается так: Поэтому, если вычислить приходящееся на единицу времени накопление частиц на отрезке х...х+дх, то мы получим диференциальное уравнение ]ш] ай" эти' — )) — „,, - Р -,— (ИЧ(хН, (4) которое должно удовлетворяться значением функции распределения И".
Это уравнение можно и макроскопически рассматривать как урав- " Так как средние виачення брауновских смещений уменьшаются пропор-' ционально корню квадратному ие времени о, а смещении, вывванные действием внешних сил, пропорниональны о. исслидОВАнии О ВРАРИОВОИОИ ДВижинии 287 Надо думать, что такого вида решения обоб(ценного уравнения диффузии (4) были неоднократно исследованы, хотя мие лично не удалойь найти подобных работ.
Во всяком случае представляется интересным произвести интегрирование для нижеприведенных простых специальных случаев, имеющих теоретическое или практическое значение. А. Простейший случай «статической» системы, когда частица находится под влиянием упругой силы 7(х) = — аж, действующей в направлении первоначального положения, был мною разработан в указанном исследовании с помощью прямого метода, и для него было найдено решение: е (х — хее ев й'(4,, з, С) = Зв(! — е-еуз зхР (1- в ~9 где для сокращения положено у = ОР. Действительно, путем прямого расчета можно удостовериться, что зта функция удовлетворяет диференциальному уравнению (6) аи' з мт аи — — Д вЂ” + ув + уУ(е, а аее дх (7) Равным образом легко убедиться, что для коротких промежутков врвмеии оно сводится к уравнению(3) или, соответствзнно, к 'урав- пение диффузии для такого вещества, которое находится под влиянием внешней силы 7; в самом деле, ведь процесс диффузии прямо получается из сложения (8прегрошь(оп) брауновского движения отдельных частиц вещества.
Конечно, его можно раесматрнватьи как ООоощенное уравнение теплопроводности, однако Зту точку зрения можно просто и без осложнений провести лишь для случая 7(х) = сопзь, т. е. для случая распределения теплоты в несжимаемой жидкости, нонвекционно текущей в направлении Х, для других же видов 1 пришлось бы ввести в х переменную удельную теплоемкость, или же отказаться от урцвнепня непрерывности. Для ближайшего определения функции распределения е1' следует, иенечно, еще дать его значение для начального состояния; позтому, в'соответствии с упомянутыми вьппе предпосылками, прймем, что при $ = О повеюду Я' равно нулю, за исключением непосредственного сосеДства точки Яю и что оДновРеменно,7"И'езз = 1.
Это пеРвоначальное уравнение ойределяет интеграл, соответствующий данному распределению источников (Япе11еп-1п1ейга1) диференциального урав-' нения (4), а..отаода, путем сложения (ЯпрегрозИоп) независимых друг от друга частичных процессов, получается общее решение для цюбого представленного функцией Р(х) первоначального распредеЛения в следующем виде: ИЧх, 1) = ( Р(*) И'(х, ~, ~) Ь . (б) МАРИАН СМОЛУХОВОКнй 288 и — ««с! ( 1« «1» Г« .«1»1 во «в «т(хо, х, 1) = — ~ е — е 2~ лнч (8) где с обозначает нормальную скорость падения: с = — Я; путем приведения к системе координат, движущейся со скоростью с, оно сводится к решению, данному Шредингером.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
