Практический курс физики. Волновая оптика (1013223), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Эту открытую часть будем считать состоящей из круга радиусаr и полуплоскости с полукруглойвыемкой радиуса r .rРезультирующее колебание (вектор А на рис. 2.20) найдем как суммуколебаний r от источников на круге(вектор А1 ) и на полуплоскостиrrrr(вектор А2 ): А = А1 + А2 .Воспользуемся решением задачиr2.6, где для величины вектора А1найдено выражение:rА1 = 2 А0 sinπr 2.2λ bРис. 2.20Для отыскания вектора A2примем во внимание, что при полностью открытой волновой45поверхностимы получим в точке P колебание, изображаемое векторомrА (ему соответствует интенсивность I 0 ), причем это колебание можноrрассматривать как сумму колебанийоткруга(вектор А1 ) и отrrrr0остальной части плоскости (вектор А3 ) А0 = А1 + А3 .
Модуль А3 = А0rА2 представляет колебание от полуплоскости,rАследовательно, направлен так же, как 3 , но вдвое меньше его по(см. рис. 2.20). Вектормодулю А2 =косинусовА32=А02. Результирующую амплитуду найдем по теоремеА 2 = А22 + А12 − 2 А1 А2 сosα ,где α =π − ∆ϕ2.πr 2В задаче 2.6 найдено ∆ϕ =λbπУчитывая, что cos −2∆ϕ ∆ϕ = sin,2 2получим22A02A022 πr 2 πrA =+ 4 A0 sin − 2 ⋅ 2 A0 sin ()422λb 2λb 2Отсюда следует1I = I0 4+ 2 sin2πr 2 .2 λ b Задача 2.8.
Свет с длиной волны λ падает нормально наповерхность стеклянного диска, который перекрывает полторы зоныФренеля для точки наблюдения Р . При какой толщине этого дискаинтенсивность света в точке Р будет максимальной? Показательпреломления стекла n .Решение. Уберем диск и построимвекторную диаграмму колебаний в точке Р(рис. 2.21).Результирующееколебаниеrизобразится вектором А0 .Теперь выполним это построение в дваэтапа:сначаласложимколебания,соответствующие первым полутора зонамРис. 2.2146rФренеля. Получим вектор А1 .
Затем сложим колебаниясоответствующиеостальной частиволновойповерхности. Это дастrrrrвектор А2 . Очевидно А1 + А2 = А0 . Теперь поставим диск,закрывающий полторы зоны Френеля. Дополнительный по сравнениюс воздухом оптический путь в стекле составляет h(n − 1) , где h толщина диска. Это дает дополнительный сдвиг по фазе для волны2πпрошедшей сквозь диск: ∆ ϕ = λ h(n − 1) .
На векторной диаграммеrсдвиг по фазе соответствует повороту вектора А1против часовойстрелки на угол ∆ϕ . Максимальная амплитуда результирующегоколебанияАтах = А2 + А1 получится, если векторrсонаправленным с вектором А2 .5π∆ϕ =+ 2πт , где т = 0,1,2,...4А1окажетсяЭто выполнится при условии5π+ 2π m .λ42m + 5 λОкончательно получаем h = 2 ( n − 14) .Следовательно,2πrh ( n − 1) =()С помощью векторного сложения колебанийполучить формулу (2.7) для распределения интенсивности вдифракционной картине при дифракции Фраунгофера на щели.Задача 2.9.Рис. 2.22плоскости линзы (рис.
2.6).Решение. Пусть плоская волнападает нормально на щель шириныb . Разобьем щель на элементарныеполоски одинаковой ширины,параллельные краям щели (рис.2.22). Каждая элементарная полоскасоздаетвпроизвольномнаправлении ϕ вторичную волну.Вторичные волны интерферируют вбесконечно удаленной точке или внекоторой точке Р фокальной47Найдем результат интерференции вторичных волн методомвекторного сложения колебаний.
Каждая элементарная волна создает вточке Р свое колебание. Амплитуды всех этих колебаний одинаковы,а разности фаз колебаний от соседних элементарных полосок равнымежду собой.При ϕ=0 все элементарныеколебания складываются водной фазе (рис. 2.23а).Поэтомунавекторнойдиаграмме все элементарныевекторы выстраиваются вдольоднойлинии.Длинурезультирующеговектораобозначим А0 .ϕ≠0Примеждуколебаниями от соседнихРис. 2.23полосок возникает постояннаяразность фаз, зависящая от угла ϕ.
На векторной диаграмме цепочкавекторов располагается по дуге некоторой окружности радиуса R сцентром в точке Ο.Если пренебречь зависимостью элементральных амплитуд от углаϕ (то есть множителем k (ϕ ) в формуле (2.1)), то длина дуги BДбудет равна А0 . Из рис. 2.22 следует, что разность хода от крайнихэлементов щели равна∆ = b sin ϕ , а разность фаз ∆Φ =ИзA = 2 R sinпостроения∆Φ=2на2πрис.λ∆=2πλ2.23∆Φ2.∆Φ2b sin ϕ .получимR=A0;∆ΦA0 sinПодставив ∆Φ в последнее соотношение, найдем результирующую πasin амплитудуA = A0λsin ϕ πasin ϕλ.Переходя к интенсивностям, получим48sinI = I02 πa λπasin ϕ λsin ϕ2,где I 0 - интенсивность в центре дифракционной картины (ϕ=0).Заметим, что минимумам интенсивности соответствует такоесложение элементарных колебаний, при котором цепочка векторовзамкнется, точка Д совпадет с точкой В (рис.
2.23). Этомусоответствует ∆Φ = 2πт и ∆ = тλ , где т = ±1, ± 2 , ...Задача 2.10. Свет с длинной волны λ = 0,5 мкм падает на щель0ширины b = 10 мкм под углом θ 0 = 30 к её нормали. Найти угловоеположение первых минимумов, расположенных по обе стороны отцентрального Фраунгоферова максимума.Решение. Рассмотрим волну,распространяющуюсяподнекоторым углом дифракции ϕ.Найдем для этой волны разностьхода лучей, прошедших черезкрайние точки щели ( А и Д ).Рис. 2.24∆=До плоскости АВ и послеплоскости СД оптические путилучей одинаковы.
Таким образом,разность ходаАС − ВД = b sin ϕ − b sin θ 0 .Когда ϕ = θ 0 , разность хода лучей, прошедших через точки А иД (а также и через все другие точки щели), равна 0; следовательно,под углом дифракции ϕ = θ 0 образуется центральный максимум.Условие первых (ближайших к центральному максимуму) минимумов(задача 2.9):∆ = ±λ .Для минимума справа от центрального максимума получимsin ϕ =λb+ sin θ 0 ; sin ϕ = 0,55 ; ϕ = 33,37 0 .49Для другого (левого) минимума получим:sin ϕ = sin θ 0 −λb0; sin ϕ = 0,45 ; ϕ = 26,74 .Задача 2.11. Изобразить примерную дифракционную картину,возникающую при дифракции Фраунгофера от решетки из треходинаковых щелей, если отношение периода решетки к ширине щелиравно трем.Решение. Главные максимумы наблюдаются под углами дифракцииd sin ϕ = mλ .(2.12)Условие минимумов:b sin ϕ = kλ ;(2.11)λd sin ϕ = k ′ .(2.13)NМежду главными максимумами расположены N − 1 минимумов,определяемых соотношением (2.13).
В данном случае такихминимумов будет два.dПоскольку = 3 , условие (2.12) приобретает видb3b sin ϕ = mλ ; b sin ϕ =mλ.3Когда m кратно трем, соответствующий максимум совпадает сминимумом, определяемым соотношением (2.11), и наблюдаться небудет. Таким образом, пропадет 3-й, 6-й, 9-й … максимумы. Имеемраспределение, показанное на рис. 2.25.Рис. 2.25Задача 2.12. Свет с λ = 600нм падает нормально надифракционную решетку с периодом d = 3,0 мкм , содержащуюN = 20000 штрихов.
Найти угловую ширину максимума второгопорядка.50Решение. Запишем условие двух минимумов, ближайших кмаксимуму m-го порядка (см. (2.13));d sin ϕ 1 = mλ −λ,d sin ϕ 2 = mλ +NИз этих соотношений получимd (sin ϕ 2 − sin ϕ 1 ) =При большомλN.ϕ 2 − ϕ1ϕ + ϕ 1 2λ2λcos 2=; 2 sin.22NdNN величинаδϕ = (ϕ 2 − ϕ 1 )мала, иϕ1 + ϕ 22=ϕ(δϕ есть угловая ширина максимума m-го порядка; ϕ - угол дифракции,под которым наблюдается максимум m-го порядка);δϕсosϕ 1 =δϕ =2λ, откуда, учитывая d sin ϕ = mλ , получим:dN2λ4λ 2dN 1 − 2d=1= 1,1 × 10 −5dN ( )2 −12λ.Задача 2.13. Свет падает нормально на дифракционную решеткуширины l = 6,5см , имеющую 200 штрихов на миллиметр.Исследуемый спектр содержит спектральную линию с λ = 670,8нм ,которая состоит из двух компонент, отличающихся на δλ = 0,015нм .Найти:а) в каком порядке спектра эти компоненты будет разрешены;б) наименьшую разность длин волн, которую может разрешить этарешетка в области λ = 670,8нм .λ= mN .
ЧислоРешение. Разрешающая способность решеткиδλщелей N = l ⋅ n , где n - число щелей на единицу длины. Подставивλ670,8== 3,44.числа, получим m =nδλl 0,015 ⋅ 65 ⋅ 200Компоненты будут разрешены, начиная с четвертого порядка: m = 4 .Чтобы найти наименьшую δλ min , разрешаемую решеткой, нужнознать максимальный порядок спектра, даваемый решеткой для51указанной λ. Найдем mmax из условия, что максимальный уголдифракции не может быть больше, чемπ2,10 4= 7,46d = mλ , m = =λ 200 ⋅ 6,70(Здесь учтено, что d = 1 n ).Восьмой порядок для данной λ наблюдаться не будет, mmax = 7 ;dδλ min =λmmax N=λm max nl= 7,37 ⋅ 10 −3 нм.Задача 2.14.
При прохождении пучка рентгеновских лучей сλ = 17 ,8пмчерез поликристаллический образец на экране,расположенном на расстоянии l = 15cм от образца, образуется системадифракционных колец. Определить радиус светлого кольца,соответствующего второму порядку отражения от системы плоскостейс межплоскостным расстоянием d = 155пм .Решение. Мельчайшие кристаллики, образующие поликристалл,расположены хаотично.
Поэтому по любую сторону от падающеголуча найдутся кристаллики, у которых заданнаясистема кристаллических плоскостей составляетодинаковый угол с направлением падающего луча;другими словами, расположение кристаллическихплоскостей симметрично относительно падающеголуча.Направления максимумов определенногопорядка от заданной системы плоскостей образуетРис. 2.26конус с осью вдоль направления падающего луча.На экране соответствующий максимум имеет вид светлого кольца(рис.2.26).По формуле (2.18) для максимума отражения 2-го порядка имеемλ2d sin θ = 2λ , откуда sin θ =dРадиус кольца равен R = ltg 2θ .Подставляя числа, получим0sin θ = 0,1148 , θ = 6,59 ,tg 2θ = 0,234 , R = 3,51cм .52Английские физики сын и отец Брэгги впервыеизмерили в 1913г.
длину волны рентгеновских лучей. Опытыпроводились с монокристаллом каменной соли NaCl , имеющейплотность ρ = 2,163 г см . Кристаллическая ячейка соли имеет формукуба, в вершинах которого помещаются, чередуясь, ионы натрия ихлора. На основании этих данных Брэгги вычислили расстояние dмежду атомными плоскостями, параллельными внешним гранямкристалла. Дифракционные максимумы при отражении от этихплоскостей Брэгги наблюдали при углах скольжения, равных 5 0 59′ ,Задача 2.15.3012 0 3 ′ , 18 14′ .Найти длину волны излучения, использованного Брэггами.Решение. Концентрация молекулn = NAρµЧисло атомов в ед.
объёмаплоскостями1d=d=32n1=32N A ρµ,- 2n .µ Na = 23NaClРасстояние между атомнымиг , µ = 35,5 г :моль Сlмоль58,5 г3моль= 0,282нм2 ⋅ 6,02⋅10 1 моль⋅ 2,163г см32d sin α1 = k1λ2d sin α 2 = k 2 λ23,sin α 3 k 3== 3,00sin α 1 k1sin α 2 k 2== 2,00sin α 1 k12d sinα 3 = k3λsin 5 0 59′ = 0,10424sin 12 0 3′ = 0,20877sin 18 014′ = 0,31288Т.к. максимумы последовательные k1 = 1, k 2 = 2 , k3 = 3 .λ=2d sin α 1= 2 ⋅ 0,282 ⋅ 0,1042 = 0,0588нмk1.53III. Поляризация света.Основные понятия и законы.При изучении интерференции и дифракции не рассматриваетсяпоперечность световых колебаний.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
