Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

где r – радиус-вектор; φ – угловая полярная координата; V_R, V_T – радиальная и трансверсальная составляющие скорости; μ – гравитационная постоянная Земли: f_T – управляющее ускорение.

Полагая, что в процессе перевода отклонения , , , фазовых координат r, V_R, V_T от соответствующих значений r₀, , V_R=0, на круговой орбите радиуса достаточно малы, линеаризуйте уравнения и приведите модель движения в отклонениях к виду

,

где , u = f_T. Начальное состояние по условию задачи – нулевой вектор.

Терминальное состояние определяется вектором , - заданное угловое расстояние;

Т – длительность процесса перевода подлежит определению.

Оптимальное управление u(x) должно обеспечить выполнение терминальных условий и минимизировать критерий, характеризующий энергетические затраты

.

Терминальные требования аппроксимировать квадратичным штрафом.

Примечание. В уравнениях движения целесообразно перейти к безразмерным переменным с использованием соотношений:

, , , , где .

10. Синтез оптимального управления орбитой КА.

Необходимо перевести КА из одной точки круговой орбиты с радиусом r₀ в другую, считая при этом, что на КА имеется двигательная установка малой тяги, способная создавать управляющее ускорение по нормали к радиус-вектору.

Исходные уравнения движения заданы в полярной системе координат:

где r – радиус-вектор; φ – угловая полярная координата; V_R, V_T – радиальная и трансверсальная составляющие скорости; μ – гравитационная постоянная Земли: f_T – управляющее ускорение по касательной к орбите; f_R – управляющее ускорение по касательной к орбите;

Полагая, что в процессе перевода отклонения , , , фазовых координат r, V_R, V_T от соответствующих значений r₀, , V_R=0, на круговой орбите радиуса достаточно малы, линеаризуйте уравнения и приведите модель движения в отклонениях к виду

,

где , u =( f_К, f_T).

Начальное состояние по условию задачи – нулевой вектор.

Терминальное состояние определяется вектором , - заданное угловое расстояние;

Т – длительность процесса перевода подлежит определению.

Оптимальное управление - вектор u(x) должно обеспечить выполнение терминальных условий и минимизировать критерий

.

Примечание. В уравнениях движения целесообразно перейти к безразмерным переменным с использованием соотношений:

, , , , где .

11. Перелет между некомпланарными орбитами

Космический аппарат, оснащенный нерегулируемым двигателем малой тяги, должен совершить некомпланарный перелет с низкой круговой на высокую круговую орбиту, имеющие разные наклонения плоскости к экватору. Двигатель в процессе перелета работает постоянно.

В течение одного оборота вокруг Земли вектор тяги в пространстве постоянно ориентирован так, что создается управляющее ускорение вдоль переходной орбиты и по нормали к ее плоскости. При этом переходная траектория представляет собой раскручивающуюся спираль. Переходную траекторию аппроксимируем последовательностью круговых орбит радиуса r_k

Уравнения движения в безразмерных переменных для рассматриваемого случая имеют следующий вид¹

где – безразмерный радиус в начале k-го витка; i_k – наклонение к плоскости экватора;

V_k – безразмерная круговая скорость; t_k – безразмерное время.

Заметим, что есть безразмерный период обращения на k –м витке.

Требуется определить последовательность , и число N, которые доставляют минимум времени перелета (при постоянно работающем двигателе это эквивалентно минимизации затрат топлива) при следующих терминальных условиях:

, , ,

где r* и i* – заданные значения безразмерного радиуса конечной орбиты и наклонения.

Для учета терминальных требований рекомендуется ввести в рассмотрение квадратичный штраф

,

где , , – весовые множители.

Начальные условия: ; i₁ = 60^о;

Конечная орбита: r* = 2…6; i* = 0..50^о;

Безразмерное ускорение a = 0.0001…0.001.

12. Разгон до параболической скорости при минимальном времени работы ДУ

Космический аппарат, оснащенный нерегулируемым двигателем малой тяги, стартует с начальной круговой орбиты и должен разогнаться до параболической скорости.

Уравнения движения в безразмерных переменных имеют вид²:

где r – радиус; u – радиальная скорость; v – трансверсальная скорость; φ – полярный угол, a – постоянное реактивное ускорение; λ – угол, определяющий ориентацию вектора тяги двигателя в плоскости орбиты; t_M – моторное время;

.

Требуется найти функции и , которые обеспечивают минимум времени работы двигателя при заданном времени разгона t_k и при условии достижения параболической скорости в момент времени t = t_k: .

13. Оптимизация траектории движения носителя

Допущения: – аэродинамические силы отсутствуют;

– гравитационное поле – плоско-параллельное;

– Земля не вращается.

Модель движения в начальной стартовой системе координат:

,

где h – высота;

m – масса ЛА;

P – сила тяги двигателя;

J – удельный импульс;

β – секундный расход топлива;

β_m – максимально возможный расход топлива;

g – ускорение силы тяжести;

g₀ – ускорение силы тяжести на поверхности планеты;

R_P – радиус планеты.

Используя необходимые условия оптимального управления, найти программы управления вектором тяги и расходом топлива, , которые обеспечат максимум горизонтальной скорости на заданной высоте y* при минимальных затратах топлива.

14. Оптимизация траектории движения носителя

Допущения: – аэродинамические силы отсутствуют;

– гравитационное поле – плоско-параллельное;

– Земля не вращается.

Модель движения в начальной стартовой системе координат:

,

где h – высота;

m – масса ЛА;

P – сила тяги двигателя;

J – удельный импульс;

β – секундный расход топлива;

β_m – максимально возможный расход топлива;

g – ускорение силы тяжести;

g₀ – ускорение силы тяжести на поверхности планеты;

R_P – радиус планеты.

Программа управления задана в параметрической форме .

Требуется найти параметры , , при которых достигается максимум горизонтальной скорости на заданной высоте y* при минимальных затратах топлива.

15. Выведение на орбиту

Допущения: – аэродинамические силы отсутствуют;

– гравитационное поле – центральное;

– Земля не вращается.

где R₀ – радиус сферической Земли;

μ – гравитационная постоянная;

m – масса топлива;

m₀ – масса сухого ЛА;

P – сила тяги двигателя;

J – удельный импульс;

β – секундный расход топлива;

β_m – максимально возможный расход топлива;

h – высота над поверхностью сферической Земли.

g₀ – ускорение силы тяжести на поверхности Земли

В конечный момент времени КА должен быть выведен на круговую орбиту заданного радиуса R* при минимальном расходе топлива.

Найти программу управления углом тангажа, используя необходимые условия оптимального управления.

16. Выведение на орбиту

Допущения: – аэродинамические силы отсутствуют;

– гравитационное поле – центральное;

– Земля не вращается.

где R₀ – радиус сферической Земли;

μ – гравитационная постоянная;

m – масса топлива;

m₀ – масса сухого ЛА;

P – сила тяги двигателя;

J – удельный импульс;

β – секундный расход топлива;

β_m – максимально возможный расход топлива;

h – высота над поверхностью сферической Земли.

g₀ – ускорение силы тяжести на поверхности

В конечный момент времени КА должен быть выведен на круговую орбиту заданного радиуса R* при минимальном расходе топлива.

Программа управления углом тангажа задана в параметрической форме

.

Следует найти неизвестные параметры , , сведением исходной задачи программирования управления к задаче нелинейного программирования.

17. Перевод КА в заданное положение на орбите

Космический аппарат орбитальной группировки необходимо перевести в новое место орбитальной структуры. Перевод осуществляется в плоскости опорной круговой орбиты импульсами тяги, прикладываемыми по касательной к орбите. Можно считать, что переходная орбита остается близкой к круговой, а состояние КА можно характеризовать двумя координатами:

x₁ = Δφ – отклонение аргумента широты КА от требуемого при прохождении характерной точки орбиты, например – восходящего узла;

x₂ – скорость дрейфа, численно равная изменению аргумента широты за один драконический период (т.е. между двумя проходами восходящего узла) опорной орбиты.

При импульсной коррекции орбиты математическую модель можно представить в виде

Характеристики

Список файлов учебной работы