rpd000002014 (1008579), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Practice4.doc

Практическое занятие 4. Нахождение собственных значений и собственных векторов матриц (2 ч, СРС – 1 ч, тема 1, лекция 4).

Пример 1. С точностью вычислить собственные значения и собственные векторы матрицы

Р е ш е н и е.

1). Выбираем максимальный по модулю внедиагональный элемент матрицы , т.е. находим , такой что = . Им является элемент .

2). Находим соответствующую этому элементу матрицу вращения:

.

3). Вычисляем матрицу :

.

В полученной матрице с точностью до ошибок округления элемент .

, следовательно итерационный процесс необходимо продолжить.

Переходим к следующей итерации :

.

.

Переходим к следующей итерации

.

Таким образом в качестве искомых собственных значений могут быть приняты диагональные элементы матрицы :

Собственные векторы определяются из произведения

; .

Полученные собственные векторы ортогональны в пределах заданной точности, т.е.

Пример 2.

Вычислить спектральный радиус матрицы с точностью .

В качестве начального приближения собственного вектора возьмем .

Реализуем итерационный процесс (1.26, лекции), полагая .

, ;

, ;

;

, ;

;

, ;

.

Таким образом, полученное на 4-ой итерации значение =6,9559 удовлетворяет заданной точности и может быть взято в качестве приближенного значения . Искомое значение спектрального радиуса = 6,9559.

Practice5.doc

Практическое занятие 5. Решение нелинейных уравнений (2 ч, СРС – 1 ч, тема 2, лекция 5).

Пример 1.

Решить уравнение

с точностью .

Решение.

Для локализации корней применим графический способ. Преобразуем исходное уравнение к следующему эквивалентному виду:

Построив графики функций и , определяем, что у решаемого уравнения имеется только один корень, который находится в интервале .

Метод половинного деления. В качестве исходного отрезка выберем [0.4, 0.6]. Результаты дальнейших вычислений, согласно приведенному выше алгоритму содержатся в таблице.

Метод Ньютона. Для корректного использования данного метода необходимо, в соответствии с теоремой 2.2 (лекции), определить поведение первой и второй производной функции на интервале уточнения корня и правильно выбрать начальное приближение .

Для функции имеем:

, - положительные во всей области определения функции. В качестве начального приближения можно выбрать правую границу интервала , для которой выполняется неравенство (2.3, лекции):

Дальнейшие вычисления проводятся по формуле , где , .

Итерации завершаются при выполнении условия .

Результаты вычислений содержатся в таблице.

Метод секущих. В качестве начальных точек зададим: и .

Дальнейшие вычисления проводятся по формуле ,

где .

Итерации завершаются при выполнении условия .

Результаты вычислений содержатся в таблице.

Метод простой итерации. Исходное уравнение можно записать в виде

или

Из двух этих вариантов приемлемым является второй, так как, взяв за основной интервал (0.4,0.55) и положив , будем иметь:

1)

2) . Отсюда, на интервале (0.4,0.55) .

Условия теоремы 2.3 (лекции) выполнены.

В качестве начального приближения положим .

Вычисляем последовательные приближения с одним запасным знаком по формуле , где .

Достижение требуемой точности контролируется условием .

Результаты вычислений приведены в таблице

Practice7.doc

Практическое занятие 7. Полиномиальная интерполяция (2 ч, СРС – 1 ч, тема 3, лекция 7).

Пример 1.

Используя таблицу значений функции - , вычисленную в точках построить многочлен Лагранжа, проходящий через точки .

Вычислить значение погрешности интерполяции в точке .

, ;

Решение.

Функция задана в четырех точках, следовательно, искомым является многочлен Лагранжа третьей степени

, ,

Заполним таблицу:

0	0.1	-2.30259	-0.384	5.99632	0.7
1	0.5	-0.69315	0.128	-5.41521	0.3
2	0.9	-0.10536	-0.128	0.82313	-0.1
3	1.3	0.26236	0.384	0.68324	-0.5

Искомый многочлен Лагранжа может быть записан в виде:

Вычислим значение интерполяционного многочлена и точное значение функции в точке :

Абсолютная погрешность интерполяции составляет: .

Пример 2.

Используя таблицу значений функции - , вычисленную в точках построить многочлен Ньютона, проходящий через точки .

Вычислить значение погрешности интерполяции в точке .

, ;

Решение.

Функция задана в четырех точках, следовательно, искомым является многочлен Ньютона третьей степени

Заполним таблицу конечных разностей

Искомый многочлен Ньютона записывается в виде:

Вычислим значение интерполяционного многочлена и точное значение функции в точке :

Характеристики

Список файлов учебной работы