Полезности 1 (1005190), страница 7
Текст из файла (страница 7)
ПРИБЛИЖЁННЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ КИНЕТИЧЕСКОЙ ИПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЭНЕРГИЙ, ДЛЯ ДИССИПАТИВНОЙ ФУНКЦИИ РЭЛЕЯКинетическая энергия системы1 = ∑ ̅22=1Так как наложенные связи – стационарны, то радиус-векторы точек зависяттолько от обобщённой координаты. Тогда̅ =̅ ̅=̇И, следовательно, кинетическая энергия:1̅ 2 2 1 = ∑ ( ) ̇ = ()̇ 2 … (5.1)22=1Разложим A(q) в окрестности положения равновесия (q=0) в степенной ряд:2 2() = (0) + ( ) + ( 2 )+⋯ 0 0 2Индексом «0» отмечены величины, вычисленные в положении равновесия.В силу малости колебаний в выражении (5.1) для кинетической энергиибудем учитывать величины не выше второго порядка малости. Но так как вэтом уравнении содержится квадрат обобщённой скорости, то в разложенииудерживаем только первый член:(0) = Коэффициент a называется обобщённым инерционным коэффициентом.Окончательно получим:1 = ̇ 2 … (5.2)2Т.к.
кинетическая энергия при малых колебаниях является только функциейобобщённой скорости, то в уравнении Лагранжа второго рода составляющаяравна нулю.49Потенциальная энергия системыРазложим потенциальную энергию в степенной ряд в окрестностиположения равновесия:Π1 2Π1 3Π2Π() = Π(0) + ( ) + ( 2 ) + ( 3 ) 3 + ⋯ 02 06 0Первый член разложения, как сказано ранее, равен нулю. Второй такжеравен нулю, поскольку в положении равновесия потенциальная энергияимеет экстремум. Четвёртый и последующий отбрасываем в силупредположения о малости колебаний (потенциальная энергия, как икинетическая и диссипативная функция Рэлея должна содержать члены невыше второго порядка малости).
Тогда1 2ΠΠ() = ( 2 ) 22 02 ΠПросто так возьмём и обозначим () через c и от балды назовём 2 0квазиупругим коэффициентом. Окончательно имеем:1Π() = 2 … (5.3)2Диссипативная функция РэлеяВозьмём и введём функцию, называемую диссипативной функцией Рэлея:=1=111Φ = ∑ ℎ ̅2 = ∑ ℎ 222Подставим в диссипативную функцию Рэлея выражение для скорости(смотреть в начале):=1=111̅ 2 2 12Φ = ∑ ℎ ̅ = ∑ ℎ ( ) ̇ = ()̇ 2222Поколдуем над B(q) так же, как и над A(q) и аналогично по аналогичнымпричинам получим B(q)=B(0)=b.
Коэффициент b называют обобщённымдиссипативным коэффициентом. Окончательно получим:501Φ = ̇ 2 … (5.4)25.1.3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ МАЛЫХ КОЛЕБАНИЙМЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ В ОБЩЕМСЛУЧАЕРассмотрим механическую систему, состоящую из N материальных точек иимеющую одну степень свободы, на которую наложены голономные,стационарные и неосвобождающие связи.
Предположим, что система имеетустойчивое положение равновесия, от которого будем отсчитыватьобобщённую координату q.В общем случае сила, действующая на k-ю точку системы, может бытьфункцией от положения точки ̅ , её скорости ̅ и времени t:̅ = ̅ (̅ , ̅ , )С учётом малости колебаний представим ̅ в виде:̅ = ̅′ (̅ ) + ̅′′ (̅ ) + ̅ () … (5.5)Где все силы ̅′ (̅ ) – потенциальные, и будем полагать, что силы ̅′′ (̅ )являются диссипативными, т.е. уменьшающими полную механическуюэнергию, и линейно зависящими от скорости:̅′′ = −ℎ ̅ … (5.6)Согласно (5.5) представим обобщённую силу Q в виде: = Π + Д + () … (5.7)Составляющая обобщённой силы от потенциальных сил равна:Π = −Π… (5.8)Составляющая обобщённой силы от диссипативных сил (5.6) равнаД =∑ ̅′′=1=1=1̅̅̅= − ∑ ℎ ̅= − ∑ ℎ ̅̇Вспоминая о великолепном первом Тождестве Лагранжа, получим51=1=1=1̅̇ℎ ̅̇ 2ℎ 2̇Д = − ∑ ℎ ̅=−=−∑∑̇̇2̇2Д = −Φ… (5.9)̇Составляющую обобщённой силы от сил ̅ (), зависящих от времени идействующих на систему извне, можно получить стандартным способом:∑=1 () =… (5.10)Учитывая (5.2), (5.3), (5.4), (5.7), (5.8), (5.9) и (5.10), запишем УравнениеЛагранжа второго рода: =( )− ̇⏟0 Π Φ−+ ()( )=− ̇ ̇1 211 ( ̇ 2 ) ( 2 ) (2 ̇ )+ 2= ()()+ 2̇̇(̇ ) + ̇ + = ()̈ + ̇ + = ()|: ̈ + 2̇ + 2 =1()А теперь понеслась!5.1.4.
СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ КОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕМЫ СОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ. ЭЛЕМЕНТЫ ГАРМОНИЧЕСКИХКОЛЕБАНИЙВ случае консервативной системы b=0, поэтому дифференциальноеуравнение движения принимает форму:̈ + 2 = 052Решение ДУ запишется в виде: = 1 cos + 2 sin C1 и C2 определим из начальных условий:При = 0 = 0 , ̇ = ̇ 01 = 0̇ 0 = 2 => 2 =̇ 0Замена по учебнику:Пусть 1 = sin , 2 = cos , тогда = sin cos + cos sin = (sin( − ) + sin( + ) + sin( − ) + sin( + ))2= sin( + ) = √12 + 22 ; = arctan12̇ 0 20 2√ = 0 + ( ) ; = arctaṅ 0Замена по Пожику:Пусть 1 = cos , 2 = sin , тогда = cos cos + sin sin = (cos( − ) + cos( + ) + cos( − ) − cos( + ))2= cos( − ) = √12 + 22 ; = arctan21̇ 0 2̇ 02√ = 0 + ( ) ; = arctan0 (Далее по учебнику)53При определении следует учитывать, что если ̇ 0 > 0, то находится в Iили IV квадранте, а если ̇ 0 < 0 – то во II или III, и, следовательно, квычисленному значению арктангенса необходимо добавить .
При ̇ 0 = 022 = , если 0 > 0, и = − , если 0 < 0.[O] Гармоническими называются такие колебания, при которых обобщённаякоордината изменяется во времени по закону синуса или косинуса. Т.о.,свободные колебания в консервативной системе с одной степенью свободыявляются гармоническими.Характеристики гармонических колебаний:1)2)3)4)5) – круговая или циклическая частота; + – фаза колебаний; – начальная фаза колебаний;А – амплитуда колебанийТ – период колебаний – время, за которое фаза колебаний изменитсяна 2=2= 2√Также часто используют величину, обратную периоду, называемую частотойколебаний:=1= 25.1.5.
СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПРИ НАЛИЧИИ СИЛ ЛИНЕЙНОВЯЗКОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ. ХАРАКТЕРИСТИКИ ЗАТУХАЮЩИХКОЛЕБАНИЙ. АПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯВ общем случае уравнение свободных колебаний имеет вид̈ + 2̇ + 2 = 0Это линейное однородное обыкновенное дифференциальное уравнениевторого порядка. Запишем для него характеристическое уравнение:2 + 2 + 2 = 0Дискриминант:54 = 4 2 − 42Решения характеристического уравнения:1,2 = − ± √ 2 − 2Характер движения существенно зависит от соотношения между и .Случай малого сопротивления < , 1,2 = − ± 1 , где 1 = √ 2 − 2Таким образом, общее решение ДУ будет иметь вид: = − (1 cos 1 + 2 sin 1 )Или в амплитудном виде = − sin(1 + )При = 0 = 0 , ̇ = ̇ 0 :1 = 0(Сначала просто производная)̇ = − (− (1 cos 1 + 2 sin 1 ) + (−1 1 sin 1 + 2 1 cos 1 ))̇ 0 = 1 ∗ (− ∗ 1 + 2 1 ) = −0 + 2 12 ==√02̇ 0 + 01̇ 0 + 0 20 1+() ; = arctan1̇ 0 + 0Характеристики:[O] Величину 1 =21=2√2 − 2называют условным периодом затухающихколебаний.[O] Величину 1 называют условной частотой затухающих колебаний.[O] Величину − можно назвать условной амплитудой затухающихколебаний.551[O] Величина = называется постоянной времени затухающих колебаний.За каждый промежуток времени условная амплитуда затухающихколебаний уменьшается в e раз.[O] Декрементом колебаний Δ называют отношение двух последовательных(взятых через условный период 1 ) максимальных значений обобщённойкоординаты.
Пусть = −1 sin(1 + )+1 = −(+1 ) sin[1 ( + 1 ) + ] = −(+1) sin(1 + )ТогдаΔ== 1+1[O] Логарифмическим декрементом колебаний называют натуральныйлогарифм от декремента колебаний: = ln Δ = 1Случай критического сопротивления = , 1,2 = −Общее решение ДУ имеет вид: = 1 − + 2 − = − (1 + 2 )При начальных условиях:1 = 0̇ 0 = − ∗ 1 + 2 = −0 + 22 = ̇ 0 + 0Очевидно, что движение не имеет колебательного характера (экспонента же)и отсутствуют какие-либо признаки периодичности.
Такое движениеназывают апериодическим.Случай большого сопротивления > ; 1,2 = − ± , где = √ 2 − 256Общее решение ДУ имеет вид: = 1 (−+) + 2 (−−) = − (1 + 2 − )При начальных условиях:0 = 1 + 2 => 1 = 0 − 2̇ = − − (1 + 2 − ) + − (1 − 2 − )̇ 0 = −(1 + 2 ) + (1 − 2 ) = −0 + (1 − 2 )= −0 + (0 − 2 − 2 ) = −0 + 0 − 22= 0 ( − ) − 222 =0 ( − ) − 0̇1̇ 0 + 0= (0 −)221̇ 0 + 01 = (0 +)2Движение также имеет апериодический характер5.1.6. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ. ИНТЕГРИРОВАНИЕДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ. РЕЗОНАНС. ОСНОВНЫЕСВОЙСТВА ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙОй мамочкиСпособы возбуждения вынужденных колебаний:1) Силовое возбуждение.
Система находится под действием силы () =0 sin( + ), приложенной извне и не зависящей от параметровсистемы. Для получения Q(t) необходимо задать вариациюобобщённой координат и, вычислив возможную работу только отдействия силы F(t), разделить её на : () =()= 0 sin( + )2) Кинематическое возбуждение. Вынужденные колебания возникают врезультате задаваемого извне перемещения точки крепления пружины() = 0 sin( + ), не зависящего от параметров системы.Изменение условной потенциальной энергии пружины при1одновременном перемещении её концов равно Π ′ = 2 =12[ − ()]2 . Тогда Π′ = −Π′2= − + () = Π + ()573) Инерционное возбуждение. Возможны два случая, но я рассмотрюодин. Вынужденные относительные колебания.
Механическая системанаходится на подвижном основании, перемещение которого,независящее от параметров системы, задаётся извне, причёмнеобходимо исследовать относительные колебанияПри составлении ДУ вынужденных относительных колебаний необходимо̅ = −̅ , направление которойучитывать переносную силу инерции Φпротивоположно направлению переносного ускорения.
А переносноеускорение сонаправлено с (). Обобщённая сила будет определятьсяпереносной силой инерции, т.е.() = −̈ ()= −̈ () = 2 0 sin( + )5.1.6.1. ОТСУТСТВИЕ ЛИНЕЙНО-ВЯЗКОГО СОПРОТИВЛЕНИЯДУ имеет вид:̈ + 2 = 0 sin( + ) , 0 =0Силовое и кинематическое возбуждениеРешение ДУ имеет вид: = + чн = 1 cos + 2 sin Частное решение определяется в зависимости от соотношения и Отсутствие резонанса:≠Найдём частное решение методом специальной правой частиКорни характеристического уравнения: 1,2 = ±Сопоставляя с правой частью ДУ, имеемчн = cos( + ) + sin( + )̈ чн = −2 cos( + ) − 2 sin( + )58Подставим в ДУ−2 cos( + ) − 2 sin( + ) + 2 cos( + ) + 2 sin( + )= 0 sin( + )Получим систему уравнений:=0−2 + 2 = 00=> {{= 2−2 + 2 = 0 − 2Таким образом, полное решение ДУ выглядит следующим образом: = 1 cos + 2 sin +0sin( + ) 2 − 2Или = sin( + ) +0sin( + ) 2 − 2Из начальных условийПри = 0 = 0 , ̇ = ̇ 00 = 1 +00sin=>=−sin 10 2 − 2 2 − 2̇ = −1 sin + 2 cos +̇ 0 = 2 +0 cos( + ) 2 − 20 ̇ 00 cos=>=−cos 2 2 − 2 ( 2 − 2 )Таким образом из полученного решения следует, что движение состоит издвух гармонических колебаний с частотами и p.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
