Полезности 1 (1005190), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Число парциальных систем, «какнетрудно догадаться» (с) равно числу степеней свободы. Для системы сдвумя степенями свободы: ̈ + 11 1 = 0{ 11 122 ̈ 2 + 22 2 = 0[O] Парциальными называют собственные частоты 1 , 2 парциальныхсистем:12 =11 2 22; =11 2 225.2.2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙСВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ СИСТЕМ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ.ГЛАВНЫЕ КОЛЕБАНИЯ. КОЭФФИЦИЕНТЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ АМПЛИТУДВ пизду тут что-то расписывать от себя, ибо пиздецово невероятно.В силу того, что уравнения колебаний содержат только обобщённыекоординаты и их вторые производные по времени, ищем их решения в виде:1 = 1 sin( + ) ; 2 = 2 sin( + )Вторые производные от этих функций имеют вид:̈ 1 = −1 2 sin( + ) ; ̈ 2 = −2 2 sin( + )Подставим это дело в основную систему уравнений и сразу сократим насинусы:− 2 − 2 2 12 + 1 11 + 2 12 = 0{ 1 2 11−1 12 − 2 2 22 + 1 12 + 2 22 = 0( − 2 11 )1 + (12 − 2 12 )2 = 0{ 11(12 − 2 12 )1 + (22 − 2 22 )2 = 0Вспоминаем линал.
Система однородных линейных уравнений имеет однорешение, если она невырожденная, и это решение – нулевое. Так как намнужно ненулевое решение, то система должна быть вырожденной, то естьопределитель равен нулю.72( − 2 11 ) (12 − 2 12 )| 11|=0(12 − 2 12 ) (22 − 2 22 )Раскрыв определитель, получим:(11 − 2 11 )(22 − 2 22 ) − (12 − 2 12 )2 = 0Или2 )42(11 22 − 12− (11 22 + 22 11 − 212 12 )2 + 11 22 − 12=0Три полученных уравнения называют частотными. Данные уравнениябиквадратные. Обозначим его корни в порядке возрастания через 12 и 22 .Важно убедиться, что оба корня – положительные, ибо в противном случае,одна из частот или же обе будут мнимыми, а это приведёт трансформациитригонометрического синуса в гиперболический (О, как!) и, следовательно, кнеограниченному возрастанию во времени 1 и 2 , что противоречитпредположении об устойчивости равновесия (то есть получится, чторасстояние от положения равновесия одной из координат будетувеличиваться, что является определением неустойчивого положенияравновесия).Введём функцию ∆(2 ), равную левой части частотного уравнения, ипостроим её график.2Если положение равновесия устойчивое, то ∆() = 11 22 − 12> 0.
Если22 = 1 = 11 /11 , то∆(12 ) = − (12 −21112 ) < 011Если 2 = 22 = 22 /22 , то∆(22 )222= − (12 − ) <022 122И наконец в силу того, что 11 22 − 12> 0, при 2 → ∞ ∆(2 ) → ∞График функции ∆(2 ), при 1 < 273Найденные значения называют собственными частотами колебанийсистемы.Следствия:1) Если положение равновесия – устойчивое, то оба корня частотногоуравнения положительные2) Первая собственная частота системы всегда меньше меньшейпарциальной частоты, а вторая – больше большейЗапишем два частных независимых решения, соответствующих частотам 1 и2 в виде:11 = 11 sin(1 + 1 ) = 21 sin(1 + 1 ){ 2112 = 12 sin(2 + 2 )22 = 22 sin(2 + 2 )Второй индекс соответствует номеру частоты, или номеру тона колебаний.Подставим решения в уравнения движения:(11 − 12 11 )11 + (12 − 12 12 )21 = 0{(12 − 12 12 )11 + (22 − 12 22 )21 = 0Отсюда получим:2111 − 12 1112 − 12 12=− = 21 11 = −12 − 12 12 1122 − 12 22 1174Аналогично для 2 :22 = 22 1211 − 22 1112 − 22 12=−− =−12 − 22 12 1222 − 22 22 12С учётом полученных зависимостей, частные решения имеют вид:11 = 11 sin(1 + 1 )21 = 21 11 sin(1 + 1 )12 = 12 sin(2 + 2 ){22 = 22 12 sin(2 + 2 )Эти решения называют главными колебаниями.
Они представляют собойгармонические колебания с частотами 1 и 2 соответственно.[O] Коэффициенты 21 , 22 называют коэффициентами распределенияамплитуд. Они характеризуют соотношение между амплитудами в главныхколебаниях, или формы главных колебаний.Для получения общего решения достаточно сложить два частных решения:1 = 11 + 12 = 11 sin(1 + 1 ) + 12 sin(2 + 2 ){2 = 21 + 22 = 21 11 sin(1 + 1 ) + 22 12 sin(2 + 2 )Неизвестны 11 , 12 , 1 , 2 . Их определяем старым дедовским способом припомощи начальных условий. Удачи решить систему 4-х уравнений счетырьмя неизвестными.ЧАСТЬ 6. СФЕРИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ. УДАР.
ДВИЖЕНИЕТЕЛА ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ6.1. СФЕРИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЁРДОГО ТЕЛА.ПРИБЛИЖЁННАЯ ТЕОРИЯ ГИРОСКОПА6.1.1. КИНЕТИЧЕСКИЙ МОМЕНТ, КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ ТВЁРДОГОТЕЛА ПРИ ВРАЩЕНИИ ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ.ДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРАКинетический момент тела относительно неподвижной точки:̅ = ∑ ̅ × ̅=175Где ̅ = ̅ × ̅ . Собственно разложим скорость по проекциям на осикоординат: = − { = − = − С учётом этих уравнений, а также выражения для проекции кинетическогомомента механической системы на оси координат, для оси Ox получим: = ∑ ( − ) = ∑ [ ( − ) − ( − )]=1=1= ∑ (2 + 2 ) − ∑ − ∑ =1=1=1 = ℐ − ℐ − ℐ Аналогично получим для и = −ℐ + ℐ − ℐ = −ℐ − ℐ + ℐ Кинетическая энергия=1=1=1 ̅2 11=∑= ∑ ̅ ∗ (̅ × ̅ ) = ∑ ̅ ∗ (̅ × ̅ )22211̅= ̅ ∗ ∑ ̅ × ̅ = ̅∗22=1С учётом того, что выведено выше для кинетического момента, получим:1 = [ (ℐ − ℐ − ℐ ) + (−ℐ + ℐ − ℐ )2+ (−ℐ − ℐ + ℐ )]Если прикольнуться, и направить оси системы координат Oxyz по главнымосям инерции тела для точки О, то1 = (ℐ 2 + ℐ 2 + ℐ 2 )276Итак, вот мы направили оси по главным осям инерции тела.
Составим жедиффуру сферического движения. Для этого воспользуемся теоремой обизменении кинетического момента. По формуле Бура:̅̃ ̅ = ̅+̅×Спроецировав это именно на оси предложенной системы и учитываявыражения для кинетического момента в этом случае, получим:ℐ + (ℐ − ℐ ) = {ℐ + (ℐ − ℐ ) = ℐ + (ℐ − ℐ ) = Эту систему уравнений называют динамическими уравнениями Эйлера.6.1.2.
ПРИБЛИЖЁННАЯ ТЕОРИЯ ГИРОСКОПА. ОСОБЕННОСТИДВИЖЕНИЯ ОСИ ГИРОСКОПА. ТЕОРЕМА РЕЗАЛЯ. ПРАВИЛОПРЕЦЕССИИ. ГИРОСКОПИЧЕСКИЙ МОМЕНТ. ПРАВИЛО ЖУКОВСКОГО[O] Гироскопом называется динамически симметричное твёрдое тело,совершающее сферическое движение вокруг неподвижной точки,расположенной на оси динамической симметрии.Благодаря некоторым допущениям приближённая (прецессионная) теориягироскопа сводит анализ сферического движения твёрдого тела к изучениюлишь прецессионного движения оси собственного вращения без учётаизменений угловой скорости собственного вращения и угла нутации.Допущения теории гироскопа:1) Модуль проекции вектора ̅ на главную ось инерции OZ тела многобольше модулей остальных проекций 2 ≫ 2 + 2 . Изкинематических уравнений Эйлера следует: ̇ 2 ≫ ̇ 2 + ̇ 2 ;2) Проекция вектора ̅ на главную ось инерции OZ тела постоянна помодулю;̅ на OZ много больше остальных3) Модуль проекции вектора проекций;̅ имеет постоянный модуль, равный его проекции на ось4) Вектор собственного вращения OZ;̅ направлен по оси OZ тела;5) Вектор 776) Вектор главного момента внешних сил перпендикулярен векторукинетического момента.[T] (Теорема Резаля) При движении механической системы скорость концавектора кинетического момента системы относительно некоторого центрапри движении по годографу этого вектора геометрически равна главномумоменту всех внешних сил, действующих на систему, относительно того жецентра.̅ постоянен по модулю, его изменениеТак как в рамках теории вектор может быть вызвано лишь поворотом, т.е.
скорость движения конца вектора̅ по его годографу может быть вычислена по формуле Эйлера:̅×̅̅ = ΩΩ – скорость прецессииСогласно теореме об изменении кинетического момента:̅̇ = ̅Если вспомнить формулу Бура и учесть, что кинетический момент постояненпо модулю, то можно заметить, что:̅̇ = ̅И таким образом мы имеем:̅̇ = ̅ = Ω̅×̅ = ̅Этой формулой можно объяснить ряд важных свойств прецессионногодвижения оси OZ:1) Если на некотором интервале времени ̅ ≡ 0, то ̅ ≡ 0.Следовательно на этом интервале времени ось OZ не имеетвынужденной прецессии и сохраняет своё направление винерциальной системе отсчёта;2) Вынужденное прецессионное движение оси OZ не обладаетинерционным свойством;3) Чем больше модуль угловой скорости собственного вращения тела,тем больше кинетический момент и меньше скорость прецессии приодном и том же главном моменте внешних сил;784) Если на точку, скажем, D, расположенную на оси OZ вращающегосягироскопа, подействовать силой ̅ перпендикулярно оси OZ, то точка Вначнёт двигаться не в направлении силы, а перпендикулярно ей – внаправлении вектора момента ̅ силы ̅ относительно неподвижнойточки О (Правило прецессии);̅ вынужденной прецессии оси OZ перпендикулярен вектору5) Вектор Ω̅ .̅ по известнымДля быстрого нахождения направления вектора Ω̅ и ̅ можно использовать правило Н.Е.направлениям векторов Жуковского, согласно которому направление круговой стрелки скорости̅ кпрецессии совпадает с направлением кратчайшего поворота вектора вектору ̅ .Если к гироскопу применить одно из следствий принципа Даламбера, чтосумма векторных моментов внешних сил вместе с моментом сил инерцииточек гироскопа равна нулю, то̅ + Γ̅ = 0Γ̅ – гироскопический момент.6.2.
ТЕОРИЯ УДАРА6.2.1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ УДАРА. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫДИНАМИКИ ДЛЯ УДАРА. ИЗМЕНЕНИЕ УГЛОВОЙ СКОРОСТИ ПРИ УДАРЕПО ВРАЩАЮЩЕМУСЯ ТЕЛУВ теории удара рассматривают такие ударные явления, при которыхпроисходит конечное изменение скоростей точек механической системы завесьма малый промежуток времени , называемый временем удара.ДУ движения материальной точки:(̅ ) = ̅ = ̅Проинтегрируем его в пределах от 0 до :(̅ − ̅ ) = ∫ ̅ = ̅ … (6.1)079̅ – скорость точки в процессе удара, ̅ , ̅ – скорости до и после ударасоответственно, ̅ – импульс ударной силы ̅ за время . По теореме осреднем:̅ = ∫ ̅ = ̅ср 0̅ср =(̅ − ̅ )Следовательно, так как время удара мало, а скорости конечны, то силадостигает больших величин.
При стремлении времени удара к нулю, силаудара стремится к бесконечности, отсюда импульс будет конечнойвеличиной. Именно поэтому в теории удара оперируют именно импульсами.Покажем, что перемещение ∆̅ точки ЗА ВРЕМЯ УДАРА бесконечно мало. ПоПожику:̅ =̅∆̅ = ∫ ̅ = ̅∗ 0̅∗ - конечная величина, – бесконечно малая, таким образом ∆̅ будетбесконечно малой величиной.Введём коэффициент восстановления К, который характеризует свойстваматериалов соударяющихся тел (по Пожику):=−ппп – проекция на нормаль в точке соударения тел скорости, с которой точкапокидает поверхностьп – проекция на ту же нормаль в точке соударения тел скорости, с которойточка входит в поверхностьЕсли К=1, то удар называется абсолютно упругим, если К=0 – абсолютнонеупругим, если 0<K<1 – упругим.Общие теоремы динамики для удара80Уравнение (6.1) выражает теорему об изменении количества движения точкипри ударе[T] Изменение количества движения точки за время удара равно импульсуударной силы, действующей на точку.Рассмотрим механическую систему, состоящую из N материальных точек.Применим теорему об изменении количества движения для k-й точкисистемы:()() ̅ − ̅ = ̅ + ̅Суммируя эти уравнения по точкам, получаем:()()∑ ̅ − ∑ ̅ = ∑ ̅ + ∑ ̅=1=1=1=1Но так как сумма всех внутренних сил механической системы равна нулю, тои сумма всех внутренних ударных импульсов равна нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
