Полезности 1 (1005190), страница 5
Текст из файла (страница 5)
СИЛОВЫЕ ПОЛЯ2.4.1. ПОТЕНЦИАЛЬНОЕ СИЛОВОЕ ПОЛЕ. СИЛОВАЯ ФУНКЦИЯ ИПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ ПОЛЯ. ПОВЕРХНОСТИ УРОВНЯ И ИХСВОЙСТВА[O] Силовым полем называется часть пространства, в котором наматериальную точку действует сила, зависящая от координат точки ивремени:̅ = ̅ (, , , )[O] Если сила явно не зависит от времени, то силовое поле называютстационарным[O] Стационарное силовое поле называется потенциальным, если проекциисилы ̅ на оси Ox, Oy, Oz можно выразить через скалярную функцию(, , ) по формулам: =̅̅̅̅̅̅̅ ; =; ==> ̅ = [O] Функция (, , ) называется силовой функцией.30Свойства стационарного потенциального поля:1) Элементарная работа силы стационарного потенциального поля равнаполному дифференциалу силовой функции;2) Полная работа силы стационарного потенциального поля не зависит оттраектории, по которой перемещается точка, и определяется лишьначальным и конечным положением точки;3) Работа силы F стационарного потенциального поля по любомузамкнутому перемещению равна нулю, так как значение силовойфункции в начальной и конечной точках одинаковы;4) Для того чтобы стационарное силовое поле было потенциально,необходимо и достаточно, чтобы поле было безвихревым.[O] Потенциальной энергией материальной точки в данной точкепотенциального силового поля называют работу, производимую силой,действующей на точку в потенциальном силовом поле, при её перемещениииз рассматриваемой точки поля М в начальную М0, условно принимаемую занулевую:0Π = 0 = ∫ = (0 ) − ()Π = 0 − Т.е.
потенциальная энергия в какой-либо точке поля с точностью допроизвольной постоянной С0 равна силовой функции в той же точке, взятойсо знаком минус.[O] Поверхность (, , ) = , на которой силовая функция U имеетпостоянное значение, называется эквипотенциальной поверхностью, илиповерхностью уровня.Свойства поверхностей уровня:1) Если начальная и конечная точки расположены на одной и той жеповерхности уровня, то работа силы стационарного потенциальногополя по перемещению материальной токи из начального положения вконечное равна 0.2) Сила ̅ потенциального поля направлена по нормали к поверхностиуровня в сторону возрастания силовой функции U312.4.2.
ПРИМЕРЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ СИЛОВЫХ ФУНКЦИЙ ОДНОРОДНОГОПОЛЯ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ И ЛИНЕЙНОЙ СИЛЫ УПРУГОСТИ1) Однородное поле силы тяжестиРассмотрим материальную точку массой m, находящуюся в однородномполе силы тяжести. Направим ось Oz вертикально вверх, а оси Ox и Oyпроизвольно в горизонтальной плоскости. Проекции силы тяжести ̅ = ̅на оси координат будут равны: = 0; = 0; = −Элементарная работа силы тяжести ′ = + + = − = (−)Так как элементарная работа силы тяжести является полнымдифференциалом и ′ = = −Π, то, интегрируя полученноевыражение, находим: = − + 1Π = + 222 = ∫ ( + + ) = − ∫ = −(2 − 1 ) = −11 = ±ℎПоверхностями уровня (, , ) = однородного поля силы тяжести будутплоскости, перпендикулярные оси Oz, а силовыми линиями – прямые,параллельные оси Oz.2) Поле линейной силы упругостиЛинейная сила упругости подчиняется закону Гука: ̅ = −̅, где с –коэффициент упругости, ̅ – радиус-вектор точки М, отсчитываемый от точкиравновесия, где сила равна 0.
Элементарная работа этой силы 2 = ̅ ̅ = −̅ ̅ = (−)2′Интегрируя, находим:32 2=−+ 12 2Π=+ 2221 = ∫ (−) = − ∫ = − (22 − 12 ) ∗ 211Т.е. = − ( 2 + 2 + 2 ) + 12Π = ( 2 + 2 + 2 ) + 22Т.о., силовая функция и потенциальная энергия линейной силы упругостиявляется квадратичной формой координат точки М, отсчитываемые отположения равновесия.При перемещении точки из положения равновесия работа сил упругостибудет отрицательной.Поверхностями уровня U(x, y, z)=C линейной силы упругости будутконцентрические сферы с центром в начале координат, а силовыми линиями– прямые, проходящие через начало координат.2.4.3.
ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ПОЛНОЙ МЕХАНИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИПусть все силы (как внешние, так и внутренние), действующие намеханическую систему, потенциальны, т.е. существует функция(1 , 1 , 1 , … , , , ), такая, что =; =; =Где ̅ + ̅ + ̅ = ̅ – равнодействующая всех сил, приложенных к kй точке. Теорему об изменении кинетической энергии системы вдифференциальной форме представим в виде: = ∑ ̅ ∗ ̅ … (2.19)=133Так как∑ ̅ ∗ ̅ = ∑( + + )=1=1= ∑(=1 + + ) = То уравнение (2.19) примет вид: = Or + Π = 0Следовательно( + Π) = 0Отсюда получаем + Π = And = + Π = 0 + Π0 = … (2.20)[O] Сумма кинетической и потенциальной энергий называется полнойэнергией механической системы.Формула (2.20) выражает закон сохранения механической энергии длямеханической системы[T] Если все силы, действующие на систему, потенциальны, то при движениисистемы её полная механическая энергия постоянна.ЧАСТЬ 3. ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА3.1.
ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА ДЛЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ, ДЛЯМЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ И ЕГО СЛЕДСТВИЯВ соответствии с аксиомами динамики основное уравнение движенияматериальной точки имеет вид:34̅ = ̅ + ̅ … (3.1)Где ̅ – равнодействующая активных сил, ̅ – равнодействующая реакцийсвязей, ̅ = 2 ̅ 2– абсолютное ускорение точки.Уравнение (3.1) также можно записать в виде:̅ + ̅ + (−̅) = 0̅ и называют даламберовой силой инерцииСлагаемое (−̅) обозначают Φ(или просто силой инерции). Основное уравнение динамики материальнойточки при использовании силы инерции принимает следующий вид:̅ = 0 … (3.2)̅ + ̅ + Φ[T] При движении материальной точки в любой момент времениприложенные к ней активные силы и реакции связей вместе с силой инерцииобразуют систему сил, эквивалентную нулю (уравновешенную систему сил),т.е.̅ )~0(̅ , ̅, ΦРассмотрим механическую систему, состоящую из N материальных точек.Применяя принцип Даламбера к каждой точке системы, получаем:̅ = 0, = 1, 2, … , … (3.3)̅ + ̅ + ΦOr̅ )~0, = 1, 2, … , (̅ , ̅ , Φ[T] При движении механической системы в любой момент времениприложенные к каждой точке системы активные сил и реакции связейвместе с силами инерции образуют систему сил, эквивалентную нулю.Суммируя левые части уравнений (3.3) по всем точкам системы, получаем:̅ = 0∑ ̅ + ∑ ̅ + ∑ Φ=1=1=1Умножив каждое уравнение в (3.3) векторно слева на радиус-вектор ̅ k-йточки и просуммировав их, получим:35̅ = 0∑ ̅ × ̅ + ∑ ̅ × ̅ + ∑ ̅ × Φ=1=1=1Or̅ (̅ ) + ∑ ̅ (̅ ) + ∑ ̅ (Φ̅ ) = 0∑=1=1=1Если силы, приложенные к k-й точке системы, разложить не на активные и()()реакции связей, а на внешнюю ̅ и внутреннюю ̅ , то уравнение (3.3)примет вид:()()̅ = 0̅ + ̅ + ΦТак как главный вектор и главный момент относительно произвольногоцентра приведения внутренних сил системы равен нулю, то()∑ ̅=1̅ = 0;+∑Φ=1̅ (̅() )∑=1̅ (Φ̅ ) = 0+∑=13.2.
ГЛАВНЫЙ ВЕКТОР И ГЛАВНЫЙ МОМЕНТ СИЛ ИНЕРЦИИТВЁРДОГО ТЕЛА В ОБЩЕМ И ЧАСТНОМ СЛУЧАЯХ ЕГОДВИЖЕНИЯВ соответствии с определением главного вектора:̅ = − ∑ ̅̅ин = ∑ Φ=1Т.к. ускорение точки ̅ = 2 ̅ 2=1, а её масса постоянна, то̅ин2 2 ∑ 2 ̅=1 ̅= − 2 (∑ ̅ ) = − 2 () = − 2=1̅ин = −̅Определим главный момент сил инерции относительно некоторогонеподвижного центра О:36̅ин=1=1=1=1̅̅ (Φ̅ ) = ∑ ̅ × Φ̅ = − ∑ ̅ × = − (∑ ̅ × ̅ )= ∑=−̅Если движение точек механической системы рассматривать как сложное, т.е.̅ = ̅ + ̅ , то̅ = ̅() + ̅ × ̅В этом случае главный момент сил инерции относительно неподвижногоцентра приведения О:̅ин̅̅()=−=−− ̅ × ̅Случаи движения:1) При поступательном движении тела силы инерции его точекэквивалентны равнодействующей, геометрически равной вектору̅ин = −̅ и приложенной в центре масс тела. Главный момент силинерции относительно центра масс тела равен нулю, так как равнанулю скорость каждой точки относительно его центра масс.2) При приведении сил инерции точек тела, вращающегося вокругнеподвижной оси, к произвольному центру О, расположенному наэтой оси, в центре О в общем случае должны быть приложены главныйвектор ̅ин = −̅ и главный момент ̅ин =−̅сил инерции.
Еслиось Oz вращения тела является его центральной и главной осьюинин ̅инерции, то ̅ин = 0, а ̅ин = , где = −ℐ 3) Если твёрдое тело имеет плоскость Oxy материальной симметрии исовершает плоскопараллельное движение, то, приведя силы инерции кцентру масс тела, получим главный вектор ̅ин = −̅ и главныймомент ̅ин относительно центра масс сил инерции. При принятомдопущении о наличии плоскости симметрии ось Cz будет главнойцентральной осью инерции тела и поэтому ̅ин = −ℐ ̅.ЧАСТЬ 4. ОСНОВЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ374.1. КЛАССИФИКАЦИЯ СВЯЗЕЙ.
ВИРТУАЛЬНЫЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЯМАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ И МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ. РАБОТАСИЛЫ НА ВОЗМОЖНОМ ПЕРЕМЕЩЕНИИ. ИДЕАЛЬНЫЕ СВЯЗИ[O] Механическая система, точки которой могут занимать любое положениев пространстве и иметь любые скорости, называется свободной.[O] Если на координаты и скорости точек системы наложены ограничения, тосистема называется несвободной, а ограничения называются связями.Аналитически связь описывается уравнением вида:(̅ , ̅̇ , ) = 0, = 1, 2, … , [O] Ограничивая движение механической системы, связи действуют на еёточки посредством сил, которые называются реакциями связей.[O] Связи называются голономными, если они описываются уравнениямивида ( , , , ) = 0, = 1, 2, … , , = 1, … , Такие связи накладывают ограничения на координаты точек, а значит, наположение системы в пространстве.
Это так называемые геометрическиесвязи.[O] Неголономными называются связи, которые описываются уравнениямивида ( , , , ̇ , ̇ , ̇ , ) = 0, = 1, … , Неголономные связи накладывают ограничения на скорости точек, поэтомуих называют кинематическими.Связи подразделяются на стационарные и нестационарные в зависимости оттого, входит в явном виде время в уравнение связи или нет. Соответственностационарной называется та связь, в уравнение которой время в явном видене входит.[O] Связь называется удерживающей, если она описывается уравнением.[O] Неудерживающая связь описывается неравенством.38[O] Независимые между собой координаты, которые однозначноопределяют положение механической системы в пространстве, в любоймомент времени называются обобщёнными координатами.В качестве обобщённых координат можно использовать отрезки прямых,дуги, углы и т.д.[O] Возможным называется любое допускаемое связями перемещениематериальной точки из положения, занимаемого ею в данный моментвремени, в бесконечно близкое положение, которое она может занимать втот же момент времени.Они представляют собой воображаемые перемещения, которые можнопредставить совокупностью бесконечно малых векторов ̅ , зависящихтолько от структуры связей, зафиксированных в рассматриваемый моментвремени.[O] Вектор ̅ называют вариацией радиус-вектора точки, а проекции этоговектора на оси декартовой системы координат – вариациями координат.[O] Возможным перемещение системы называется любая совокупностьвозможных перемещений всех её точек[O] Возможной работой силы называется работа силы на любом возможномперемещении точки её приложения:(̅ ) = ̅ ∗ ̅Если к твёрдому телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси Ozприложена сила ̅ , момент которой относительно оси равен , то(̅ ) = [O] Связи называются идеальным, если равна нулю сумма элементарныхработ реакций этих связей на любом возможном перемещении системы.Для идеальных связей:∑ ̅ ∗ ̅ = 0=139Примеры идеальных связей: гладкая поверхность, твёрдое тело, идеальныйшарнир, шарнирный стержень, идеальная нить, винт + гайка без трения,качениеБЕЗ ПРОСКАЛЬЗЫВАНИЯ!4.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
