Полезности 1 (1005190), страница 4
Текст из файла (страница 4)
ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОГО МОМЕНТАСИСТЕМЫ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК В ОТНОСИТЕЛЬНОМ ДВИЖЕНИИ ПООТНОШЕНИЮ К ЦЕНТРУ МАССПусть подвижная система координат CXYZ связана с центром масс и движетсяпоступательно относительно неподвижной системы Oxyz. По теореме обизменении кинетического момента механической системы относительноцентра О для абсолютного движения механической системы̅()= ∑ ̅ × ̅=1С учётом (2.10) и ̅ = ̅ + ̅ :()̅̅̅ ()̅() ] = × ̅ + ̅ ×[̅ × ̅ + + = ∑ (̅ + ̅ ) × ̅⏟⏟=1̅ ×̅ =0⏟правая частьлевая частьИспользуя теорему об изменении количества движения механическойсистемы̅̅ ()= ∑=1 , получаем:=1=1̅()̅()()̅= ̅ × (∑ −) + ∑ ̅ × ̅Окончательно имеем:̅()()()= ∑ ̅ × ̅ = ̅=1[T] Первая производная по времени от кинетического момента системы,вычисленного относительно центра масс для относительного движениямеханической системы по отношению к центру масс (по отношению ксистеме координат, движущейся поступательно вместе с центром масс),равна главному моменту внешних сил, действующих на точки системы,относительно центра масс.2.2.7.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВРАЩАТЕЛЬНОГОДВИЖЕНИЯ ТВЁРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ (ЧАСТЬ 2ВОПРОСА 8)20Для получения дифференциального уравнения движения твёрдого телавоспользуемся теоремой об изменении кинетического моментамеханической системы относительно оси вращения Oz, записав его в виде:()= ∑ (̅ )=1Где для твёрдого тела = ℐ = ℐ ̇ . Тогда:()ℐ ̈ = ∑ (̅ )=1Это выражение называется дифференциальным уравнением вращениятвёрдого тела вокруг неподвижной оси.2.2.8.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОГО ДВИЖЕНИЯТВЁРДОГО ТЕЛАВведём неподвижную систему координат, например Oxyz, в которой дляцентра масс тела будем иметь:()̅̈ = ∑ ̅ … (2.11)=1А также подвижную систему координат CXYZ, имеющую начало в центре масстела и перемещающуюся относительно системы Oxyz поступательно, причёмплоскости CXY о Oxy указанных систем координат будем считатьсовпадающими с плоскостью, в которой движется центра масс тела.
(Корочсовпадают плоскости). По теореме об изменении кинетического момента вотносительном движении по отношению к центру масс для твёрдого тела впроекции на ось CZ подвижной системы координат выражается уравнением:()()= ∑ (̅ )=1В котоом кинетический момент тела в его относительном вращении вокругоси CZ подвижной системы координат:() = ℐ 21Здесь ℐ – момент инерции тела относительно оси CZ, проходящей черезцентр масс перпендикулярно плоскости движения тела. Следовательно,дифференциальное уравнение, описывающее вращение твёрдого телаотносительно оси CZ, имеет вид:()ℐ ̈ = ∑ (̅ ) … (2.12)=1Уравнения (2.11) и (2.12) полностью описывают плоское движение твёрдоготела.2.3.
РАБОТА И ЭНЕРГИЯ2.3.1. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ И ПОЛНАЯ РАБОТА СИЛЫ. МОЩНОСТЬ. РАБОТАРАВНОДЕЙСТВУЮЩЕЙ СИЛЫПусть точка приложения силы ̅ перемещается по криволинейнойтраектории из положения МО в положение М1 (для наглядности смотретьрисунок 15.29 страница 387). Разобьём перемещение точки М по дуге МОМ1на элементарные перемещения ds и определим работу силы на каждомтаком перемещении ′ (̅ ) = ∗ cos – угол между векторами ̅ и ̅ в точке М.Данная формула определяет работу силы, обозначение d’ используется длятого, чтобы подчеркнуть, что выражение для элементарной работы не всегдаявляется полным дифференциалом.
Так как cos = , то: ′ = [O] Элементарная работа силы равна произведению элементарногоперемещения на проекцию силы на это перемещение.Поскольку = |̅ |, то ′ = |̅ ||̅ | cos ′ = ̅ ̅[O] Элементарная работа силы равна скалярному произведению векторовсилы и дифференциала радиус-вектора точки её приложения.Т.к. ̅ = ̅ , то22 ′ = ̅ ̅ = (̅ )̅[O] Элементарная работа силы равна скалярному произведениюэлементарного импульса силы на скорость точки её приложения.[O] Полную работу силы ̅ на перемещение точки из положения МО вположение М определяют как предел суммы её элементарных работ, т.е.(̅ ) = lim ∑ ′ →∞=1Так как данная сумма является интегральной суммой определениякриволинейного интеграла, то(̅ ) = ∫ ′ = ∫ = ∫ ̅ ̅Если же сила является функцией времени, то работа силы ̅ на промежуткевремени от 0 до t, соответствующем точкам MO и M, определяетсявыражением(̅ ) = ∫ ̅ ̅ 0Рассмотрим систему сил (̅1 , ̅2 , … , ̅ ), приложенную к рассматриваемойточке.
Эта система имеет равнодействующую ̅∗ , причём̅∗ = ̅1 + ̅2 + ⋯ + ̅Тогда работа силы ̅∗ на перемещении точки из положения МО в текущееположении М равна алгебраической сумме работ составляющих сил на томже перемещении: = ∫ ′ = ∫ ̅∗ ̅ = ∫ ̅1 ̅ + ∫ ̅2 ̅ + ⋯ + ∫ ̅ ̅ = ∑ =1[O] Отношение элементарной работы силы к промежутку времени, закоторое оно произошло, называется мощностью23′=Т.к. ′ = ̅ ̅ , то = ̅ ∗ ̅[O] Мощность силы равна скалярному произведению силы на скорость точкиеё приложения.2.3.2. РАБОТЫ СИЛ, ПРИЛОЖЕННЫХ К ТВЁРДОМУ ТЕЛУ В СЛУЧАЯХ ЕГОДВИЖЕНИЯ1) Поступательное движениеПри поступательном движении твёрдого тела векторы скоростей, а такжеэлементарные перемещения всех точек тела одинаковы.
Тогда элементарнаяработа силы ′ (̅ ) = ̅ ∗ ̅ = ̅ ∗ ̅ = ̅ ∗ ̅Полная работа силы на каком-либо перемещении будет(̅ ) = ∫ ̅ ̅2) Вращательное движениеРазложим силу ̅ , приложенную в произвольной точке М тела, по осяместественного трёхгранника , , ̅ = ̅ + ̅ + ̅Работы составляющих по нормали и бинормали равны нулю, т.к. они всегданаправлены перпендикулярно к вектору скорости точки М приложения силы.Следовательно работы силы ̅ совершается только её составляющей покасательной к траектории ̅ , т.е.
′ (̅ ) = Так как = ℎ (ну нарисовать окружность надо и уголочек обозначить ивсё понятно будет), то ′ (̅ ) = ℎ24Где h – кратчайшее расстояние от токи приложения силы до оси вращения. Аучитывая, что ℎ = (̅ ) – момент силы относительно оси Oz, получаем ′ (̅ ) = (̅ )[O] Элементарная работа силы, приложенной к какой-либо точке тела,вращающегося вокруг неподвижной оси, равна произведению момента этойсилы относительно оси вращения на дифференциал угла поворота тела.Полная работа:(̅ ) = ∫ (̅ )03) Плоское движениеСкорость точки М приложения силы ̅ в рассматриваемом случае равна̅ = ̅ + ̅ × ̅̅̅̅̅̅.
ТогдаГде ̅ – скорость полюса А, ̅ = ̅ (̅ ) ′ (̅ ) = ̅ ∗ ̅ = ̅ ∗ ̅ + ⏟̅ ∗ (̅ × ̅ ) = ̅ ∗ ̅ + ̅∗̅ ∗(̅ ×̅ )[O] Элементарная работа силы, приложенной в какой-либо точке твёрдоготела, в общем случае его движения равна сумме элементарных работ наэлементарном поступательном перемещении вместе с полюсом иэлементарном вращательном перемещении вокруг мгновенной оси,проходящей через полюс.2.3.3.
КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ ИМЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ. ТЕОРЕМА КЁНИГА[O] Кинетическую энергию материальной точки массой m, движущейся сабсолютной скоростью ̅ , определяют по формуле 2=2Где 2 = ̅ 225[O] Кинетическая энергия механической системы равны сумме кинетическихэнергий всех точек этой системы: 2=∑2=1Рассмотрим движение механической системы в неподвижной системеотсчёта Oxyz.
В качестве подвижной выберем систему CXYZ с началом вцентре масс – точке С, движущуюся поступательно вместе с центром масс.Для любого момента времени положение произвольной точки Мk системыпо отношению к неподвижному центру О определяет радиус-вектор̅ = ̅ + ̅Продифференцировав по времени это равенство, найдём абсолютнуюскорость произвольной точки системы (см. 2.2.5.):()̅ = ̅ + ̅Учитывая, что квадрат вектора равен квадрату его модуля, преобразуемвыражение для кинетической энергии механической системы:=1=1=1=1=11111()() 2 = ∑ 2 = ∑ ̅2 = ∑ ̅2 + ∑ ̅ ̅ + ∑ (̅ )2222()∑ ̅ ̅=1=()̅ ∑ ̅=1=1=1̅= ̅ ∑ = ̅ (∑ ̅ ) = 011() 2 = 2 + ∑ ( ) … (2.13)22=1Уравнение (2.13) выражает теорему Кёнига[T] Кинетическая энергия механической системы в её абсолютном движенииравна сумме кинетической энергии центра масс, в предположении, что в нёмсосредоточена масса всей системы, и кинетической энергии движениясистемы относительно центра масс262.3.4.
КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ ТВЁРДОГО ТЕЛА В РАЗЛИЧНЫХСЛУЧАЯХ ЕГО ДВИЖЕНИЯ1) Поступательное движениеПри поступательном движении твёрдого тела скорости всех его точекодинаковы и равны скорости центра масс, поэтому:=1=1=1 2 2 21=∑=∑=∑ = 222222) Вращательное движениеПри вращении твёрдого тела вокруг неподвижной оси скорость егопроизвольной точки = ℎГде ℎ – кратчайшее расстояние от точки Мk до оси вращения.
Тогда=1=11212 = ∑ =∑ ℎ2 = ℐ 22223) Плоское движениеПри плоском движении твёрдого тела, которое можно рассматривать каксовокупность поступательного движения вместе с центром масс С ивращения вокруг подвижной оси CZ, движущейся поступательно вместе с()центром масс, относительная скорость произвольной точки тела = ℎ ,и, следовательно, согласно формуле Кёнига:11 = 2 + ℐ 2224) Сферическое движениеПри сферическом движении скорость произвольной точки определяетсяформулой Эйлера:̅ = ̅ × ̅С учётом этого выражения преобразуем выражение для кинетическойэнергии механической системы:27=1=1=1111 = ∑ ̅2 = ∑ ̅ ∗ (̅ × ̅ ) = ∑ ̅ ∗ (̅ × ̅ )22211̅= ̅ ∑ ̅ × ̅ = ̅∗22=15) Общий случайВ общем случае движения свободного твёрдого тела в пространстве, котороеможно рассматривать как совокупность поступательного переносногодвижения вместе с центром масс и сферического движения по отношению к()этому центру, относительная скорость произвольной точки тела ̅ = ̅×̅ , и, следовательно, кинетическая энергия тела11̅() = 2 + ̅∗222.3.5.
ТЕОРЕМЫ ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ ДЛЯМАТЕРИАЛЬНОЙ И МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ВДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ И ИНТЕГРАЛЬНОЙ ФОРМАХ1) Для точкиДвижение точки массой m под действием силы ̅ определяется уравнением̅= ̅Or̅ = ̅ Умножим обе части уравнения скалярно на ̅ : 2 2̅ ̅ = ( ̅ ) = () , ̅ ∗ ̅ = ̅ ∗ ̅ = ′(̅ )22 2() = ′ (̅ ) … (2.14)2Формула (2.14) выражает теорему об изменении кинетической энергии вдифференциальной форме28[T] Дифференциал кинетической энергии точки равен элементарной работесилы, действующей на точку.Интегрируя обе части уравнения (2.14) по криволинейной траектории отположения М0 до М, имеем − 0 = (̅ ) … (2.15)Где Т и Т0 – кинетическая энергия точки в положении М и М0 соответственно.Формула (2.15) выражает теорему об изменении кинетической энергии винтегральной форме[Т] Изменение кинетической энергии точки на любом перемещении равноработе силы, действующей на точку, на том же перемещении.2) Для механической системыДля механической системы, на которую действуют как внешние, так ивнутренние силы, уравнение (2.14) можно представить в виде 2()()() = ′ (̅ ) + ′ (̅ ) , = 1,2, … , … (2.16)2Суммируя левые и правые части этих уравнений по всем точкам системы ивынося знак дифференциала за знак сумы, получаем:=1=1=1 2()() (∑) = ∑ ′ (̅ ) + ∑ ′ (̅ )2()() = ∑ ′ (̅ ) + ∑ ′ (̅ ) … (2.17)=1=1Формула (2.17) выражает теорему об изменении кинетической энергиисистемы в дифференциальной форме[T] Дифференциал кинетической энергии системы равен суммеэлементарных работ всех внешних и внутренних сил, действующих насистему.29Проинтегрируем каждое уравнение (2.16) по соответствующей емукриволинейной траектории от положения Mk0 до положения Mk.Просуммировав полученные выражения по всем точкам системы, получим: − 0 =()∑ (̅ )=1()+ ∑ (̅ ) … (2.18)=1()()()() (̅ ) = ∫ ̅ ∗ ̅ , (̅ ) = ∫ ̅ ∗ ̅00Формула (2.18) выражает теорему об изменении кинетической энергиимеханической системы в интегральной форме[T] Изменение кинетической энергии системы при её перемещении изодного положения в другое равно сумме работ всех внешних сил ивнутренних сил, действующих на систему, на соответствующихперемещениях точек приложения этих сил.2.4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
