Полезности 1 (1005190), страница 6
Текст из файла (страница 6)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ПРИНЦИПЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙМЕХАНИКИ4.2.1. ПРИНЦИП ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ (ПРИНЦИП ЛАГРАНЖА)[O] Положением равновесия называется такое положение механическойсистемы, в котором она может находиться сколь угодно долго, если вначальный момент времени система была приведена в это положениенулевыми скоростями.[T] Чтобы данное положение механической системы со стационарнымиидеальными связями было положением равновесия, необходимо идостаточно, чтобы сумма элементарных работ активных сил на любомвозможном перемещении системы из этого положения была равна нулю.□ (Необходимость) Пусть механическая система, состоящая из Nматериальных точек, находится в равновесии.
Тогда приложенные к каждойточке активные силы и реакции связей уравновешены, т.е.̅ + ̅ = 0, = 1, 2, … , Умножив каждое равенство на возможное перемещение ̅соответствующей k-й точки и просуммировав скалярные произведения,получим∑ ̅ ̅ + ∑ ̅ ̅ = 0=1=1Так как по условию теоремы на систему наложены идеальные связи, то̅̅∑=1 ̅ = 0 и тогда ∑=1 ̅ = 0, что и является необходимымусловием.̅(Достаточность) Предположим, что выполняется условие ∑=1 ̅ = 0, асистема находится не в равновесии. Значит под действием активных сил иреакций связей система за малый промежуток времени совершит некоторое40действительное перемещение. При стационарных связях это действительноеперемещение совпадает с одним из возможных, поэтому∑ (̅ + ̅ ) ∗ ̅ ≠ 0=1̅̅Так как связи идеальные, то ∑=1 ̅ = 0 и тогда ∑=1 ̅ ≠ 0, чтопротиворечит принятому выше предположению.∎В качестве примера – «Пример 18.7» на странице 515, Колесников.
В концеконцов можно семинары посмотреть4.2.2. ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА-ЛАГРАНЖА (ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕДИНАМИКИ)Рассмотрим систему, состоящую из N материальных точек. В соответствии спринципом Даламбера, приложенные к каждой точке активные силы,реакции связей и силы инерции в любой момент времени образуютуравновешенную систему сходящихся сил. Эта система сил удовлетворяетусловию равновесия̅ = 0̅ + ̅ + ΦУмножим обе части уравнения скалярно на возможное перемещение ̅ k-йточки и просуммируем полученные для всех точек системы произведения. Врезультате имеем̅ ) ∗ ̅ = 0∑(̅ + ̅ + Φ=1[T] При движении механической системы в любой момент времени суммаработ активных сил, сил реакций связей и сил инерции на любом возможномперемещении из занимаемого положения равна нулю.̅Если связи, наложенные на систему, идеальные, то ∑=1 ̅ = 0 и общееуравнение динамики принимает вид̅ )̅ = 0∑ (̅ + Φ=141Таким образом, при движении системы с идеальными связями в любоймомент времени должна быть равна нулю сумма возможных работ активныхсил и сил инерции.Пример – «Пример 18.9» страница 521, Колесников.4.2.3.
ОБОБЩЁННЫЕ СИЛЫ. СПОСОБЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОБОБЩЁННЫХСИЛ. УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ,ВЫРАЖЕННЫЕ В ОБОБЩЁННЫХ СИЛАХДля определения обобщённой силы рассмотрим возможную работу сил,приложенных к точкам системы∑ (̅ ) = ∑ ̅ ∗ ̅=1=1Возможное перемещение k-й точки:̅ = ∑=1̅ Отсюда=1=1=1=1=1̅̅∑ (̅ ) = ∑ ̅ ∗ (∑) = ∑ (∑ ̅ ∗) [O] Обобщённой силой, соответствующей i-ой обобщённой координате,называется величина, равная коэффициенту при вариации даннойобобщённой координаты в выражении возможной работы сил, действующихна механическую систему.Способы вычисления обобщённых сил:1) АналитическийСогласно определению, обобщённая сила = ∑ ̅ ∗=1̅Принимая во внимание, что ̅ = ̅ + ̅ + ̅, получаем42 = ∑ (=1+ + )2) Обобщённые силы для механических систем с n>1 целесообразновычислять последовательно, учитывая, что обобщённые координаты, азначит, и их вариации независимы между собой. Системе всегда можносообщить такое возможное перемещение, при котором изменяется толькоодна обобщённая координата, а другие при этом не варьируются.
В этомслучае:∑ (̅ ) = [∑ (̅ )] = =1=1Откуда =̅[∑=1 ( )]3) Если силы, действующие на механическую систему, потенциальные, то дляопределения обобщённых сил можно использовать силовую функцию U илипотенциальную энергию П системы. Потенциальная сила̅ =̅ +̅ +̅Подставляя это в уравнение для определения обобщённой силаналитическим способом, получим = ∑ (=1 ++)= Т.к. U=-П+const, то = −ΠУсловия равновесия механической системы в обобщённых силах:Положим, что механическая система, состоящая из N точек, в силуналоженных на неё голономных удерживающих связей имеет n степенейсвободы. Положение такой системы в пространстве определяется43обобщёнными координатами 1 , 2 , … , и радиус-вектор k-й точки естьфункция обобщённых координат:̅ = ̅ (1 , 2 , … , , )Возможное перемещение каждой точки системы̅ = ∑=1̅ Подставляя данное выражение в условие равновесия системы, получаем:∑ ̅ ∗ ̅ = 0 => ∑ ̅ ∗ (∑=1=1=1̅ ) = 0 После изменения порядка суммирования:=1=1=1̅∑ (∑ ̅ ∗) = ∑ = 0Т.к.
обобщённые координаты независимы, то их вариации тоже независимымежду собой. Поэтому полученное условие будет выполнено, если равнынулю обобщённые силы, соответствующие всем обобщённым координатамсистемы: = 0, = 1, 2, … , [T] Для равновесия системы, подчинённой голономным удерживающимсвязям, необходимо и достаточно, чтобы обобщённые силы,соответствующие всем обобщённым координатам системы, были равнынулю.4.3. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА II РОДА. ВЫВОД И МЕТОДИКАПРИМЕНЕНИЯРассмотрим движение системы, состоящей из N материальных точек,относительно инерциальной системы отсчёта. Наложенные на систему связи– голономные, удерживающие, идеальные.
Общее уравнение динамики длятакой системы имеет вид:44∑(̅ − ̅̈ ) ∗ ̅ = 0 … (4.1)=1Пусть система имеет n степеней свободы и её положение определяется1 , 2 , … , обобщёнными координатами = ̅ (1 , 2 , … , , ). Возможноеперемещение k-й точки (как полный дифференциал):̅ = ∑=1̅ … (4.2) Подставляя (4.2) в (4.1) и изменяя порядок суммирования, получаем:̅̅̇̅− ∑ ∗ ( )] = 0 … (4.3)∑ [∑ ̅ ∗=1 =1=1̅ ̅ = – обобщённая сила, соответствующая i-йЗдесь ∑=1 ∗обобщённой координате.Преобразуем множитель после mk:̅̇ ̅̅ ̅( ) = (̅̇ ∗) − ̅̇ ∗ ( ) … (4.4) (Пояснение от Клима: производная произведения)Т.к.̅̇ = ∑=1̅̅̇ +… (4.5)(Пояснение от Клима: функция радиус-вектора зависит от всех обобщённыхкоординат и от времени, поэтому при поиске полной производной отрадиус-вектора по времени, мы дифференцируем сначала функцию ̅ покоординате и умножаем на производную этой координаты по времени (нупрекрасно известно правило дифференцирования сложной функции), отсюдаи появляется эта сумма, а также частная производная от ̅ по времени, ибоэта функция также зависит и от времени)45(Основная часть) То при дифференцировании (4.5) по скорости обобщённойкоординаты ̇ в правой части останется только соответствующийкоэффициент.
Отсюда получаем первое тождество Лагранжа:̅̇̅=… (4.6)̇ Учитывая тождество (4.6), преобразуем первое слагаемое правой части в(4.4):̅̅̇ ̅̇ 2̇̇(̅ ∗) = (̅ ∗)= [( )] ̇ ̇ 2Следовательно=1=1̅ ̅̇ 2 ̇∑ (̅ ∗)= [(∑)] = ( ) … (4.7) ̇ 2 ̇ Где Т – кинетическая энергия механической системы.Преобразуем второй множитель второго слагаемого правой части (4.4).Т.к. ̅ = ̅ (1 , 2 , … , , ), то̅– функция обобщённых координат ивремени. Поэтому, с одной стороны ̅ 2 ̅ 2 ̅ 2 ̅̅̇ 1 +̇ 2 + ⋯ +̇ +( )= 1 2 С ДРУГОЙ СТОРОНЫ смотрим (4.5) и̅̇ 2 ̅ 2 ̅ 2 ̅̅=̇ 1 +̇ 2 + ⋯ +̇ + 1 2 Сопоставляя два выражения, «не трудно догадаться» (с), что ̅̅̇=… (4.8)( ) Это есть второе тождество Лагранжа.
Учитывая его, получим=1=1=1 ̅̅̇ ̅̇=… (4.9)∑ ̅̇( ) = ∑ ̅̇ ∗(∑)= 246Учитывая выражение для обобщённой силы , а также выражения (4.7) и(4.9), запишем общее уравнение динамики (4.3) в виде:∑ [ −=1 ( )+] = 0 ̇ Вариации обобщённых координат независимы между собой, поэтомуданной условие будет выполнено, если равны нулям множители при всех = , = 1, 2, … , … (4.10)( )− ̇ Уравнения (4.10) называются уравнениями Лагранжа второго рода. Числоэтих уравнений равно числу степеней свободы.Последовательность действий при использовании уравнений Лагранжавторого рода для решения задач аналитической динамики следующая:1) Определить число степеней свободы системы и выбрать наиболееудобные обобщённые координаты;2) Вычислить кинетическую энергии системы в её абсолютном движениии выразить эту энергию через обобщённые координаты иобобщённые скорости ̇ ;3) Вычислить производные от кинетической энергии, входящие в левуючасть уравнений Лагранжа;4) Определить обобщённые силы, соответствующие выбраннымобобщённым координатам;5) Подставить все вычисленные величины в уравнения Лагранжа.ЧАСТЬ 5.
ТЕОРИЯ КОЛЕБАНИЙ5.1. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ С ОДНОЙСТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ5.1.1. ТЕОРЕМА ЛАГРАНЖА-ДИРИХЛЕ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПОЛОЖЕНИЯРАВНОВЕСИЯ КОНСЕРВАТИВНОЙ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ.[O] Колебаниями называется процесс, сопровождающийся многократнымчередованием возрастания и убывания некоторых физических величин.47[O] Положение равновесия называется устойчивым, если существует такоедостаточно малое отклонение системы от положения равновесия, прикотором она стремится вернуться назад[O] Положение равновесия называется неустойчивым, если при любомначальном отклонении система удаляется от положения равновесия.[O] Положение равновесия называется безразличным, если при начальномотклонении система остаётся в отклонённом положении.[O] (Определение устойчивости по Ляпунову) Равновесие системыназывается устойчивым, если для любых сколь угодно малых положительныхчисел 1 , … , ; 1′ , … , ′ можно выбрать 2n других таких положительныхчисел 1 , … , ; 1′ , … ′ , что при начальных возмущениях системы,удовлетворяющих условиям|10 | < 1 , … , |0 | < ; |̇ 10 | < 1′ , … , |̇ 0 | < ′При дальнейшем движении системы будут выполнятся неравенства:|1 ()| < 1 , … , | ()| < ; |̇ 1 ()| < 1′ , … , |̇ ()| < ′[O] Если при устойчивом положении равновесия все обобщённыекоординаты и скорости с течение времени стремятся к нулю, торассматриваемое положение равновесия называется асимптотическиустойчивым[T] (Теорема Лагранжа-Дирихле) Достаточным условием устойчивостиположения равновесия консервативной системы является наличие в нёмлокального (изолированного) минимума потенциальной энергии.Теоремы Кельвина для оценки устойчивости при наличии диссипативных сил[T] Если положение равновесия консервативной системы устойчиво приодних только потенциальных силах, то оно будет оставаться устойчивым ипри добавлении диссипативных сил.[T] Устойчивое положение равновесия становится асимптотическиустойчивым при добавлении диссипативных сил с полной диссипацией.[T] Изолированное и неустойчивое при одних и тех же потенциальных силахположение равновесия не может быть стабилизировано диссипативнымисилами.485.1.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
