Полезности 1 (1005190), страница 3
Текст из файла (страница 3)
ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯМЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ И ИНТЕГРАЛЬНОЙФОРМАХ. ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ[O] Количеством движения материальной точки М называют вектор, равныйпроизведению массы m точки на её скорость ̅ :̅ = ̅[O] Количеством движения механической системы называют вектор ̅,равный геометрической сумме количеств движения точек системы:̅ = ∑ ̅ = ∑ ̅ … (2.3)=1=1Продифференцировав один раз уравнение (2.1) и сопоставив с (2.3), получим̅ = ̅Запишем теорему о движении центра масс механической системы в виде:̅ (̅ ) ̅=== ̅() … (2.4)Уравнение (2.4) выражает теорему об изменении количества движениямеханической системы в дифференциальной форме:11[T] Первая производная по времени от вектора количества движениямеханической системы равна главному вектору внешних сил, действующихна материальные точки системы.Умножим (2.4) на dt, получим:()()̅ = ∑ ̅ = ∑ ̅ (̅ )=1=1̅ = ̅(̅ ) – элементарный импульс силы.Проинтегрировав полученное выражение в пределах от 0 до t и поменявместами операции интегрирования и суммирования получим:̅ ()()()∫ ̅ = ∫ ∑ ̅ = ∑ ∫ ̅ = ∑ ̅̅00 =1=1 0=1()̅ − ̅0 = ∑ ̅ … (2.5)=1()̅ – полный импульс внешней силы, действующий на k-ю точку.Выражение (2.5) представляет собой теорему об изменении количествадвижения механической системы в интегральной форме:[T] Изменение количества движения системы за время t равно векторнойсумме полных импульсов внешних сил, действующих на токи механическойсистемы за то же время.Частные случаи:1) Если главный вектор внешних сил, приложенных к точкаммеханической системы, равен нулю, то вектор количества движениясистемы постоянен при движении системы;2) Если проекция главного вектора внешних сил, действующих на точкимеханической системы, на какую-либо ось равна нулю, то проекциявектора количества движения системы на ту же ось постоянна придвижении системы.12[T] (Теорема об изменении количества движения механической системы вподвижной системе координат)̃ ̅()+̅ × ̅ = ∑ ̅=12.1.3.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПОСТУПАТЕЛЬНОГОДВИЖЕНИЯ ТВЁРДОГО ТЕЛА (ЧАСТЬ 1 ВОПРОСА 8)На основании теоремы о движении центра масс механической системы:()̅ = ∑ ̅=1Где m – масса тела, ̅ – ускорение центра масс тела, равное ускорениюлюбой его точки при поступательном движении.Также данное уравнение можно записать в виде векторногодифференциального уравнения поступательного движения твёрдого тела:()̅̈ = ∑ ̅=1В проекциях на декартовы оси координат получим:()()()̈ = ∑ ; ̈ = ∑ ; ̈ = ∑ =1=1=1В проекциях на естественные оси координат:̈ =̇ 2()∑ ; =1=()∑ ; 0=1()= ∑ =12.2.
КИНЕТИЧЕСКИЙ МОМЕНТ2.2.1. МОМЕНТ ИНЕРЦИИ. ТЕОРЕМА ГЮЙГЕНСА-ШТЕЙНЕРА[O] Моментом инерции материальной точки М относительно точки Оназывается произведение массы m этой точки на квадрат её расстояния доточки О:13 = 2Рассмотрим механическую систему, состоящую из N материальных точек смассами ( = 1, 2, … , ).
Момент инерции механической системы,состоящей из N материальных точек Mk, относительно точки (полюса) Оравен сумме моментов инерции этих точек:ℐ =()∑ =1= ∑ 2=1[O] Полярным моментом инерции называют момент инерции относительнотоки.[O] Моментом инерции механической системы материальных точекотносительно оси Ol называется сумма произведений масс этих точек наквадраты их расстояний до оси Ol:ℐ = ∑ ℎ2=1[O] Радиусом инерции тела относительно оси Ol называется величина:ℐ = √Тогда момент инерции можно представить как:ℐ = 2[T] (Гюйгенса-Штейнера) Момент инерции относительно какой-либо осиравен сумме момента инерции относительно параллельной оси, проходящейчерез центр масс системы, и произведения массы системы на квадратрасстояния между параллельными осями.2.2.2.
КИНЕТИЧЕСКИЙ МОМЕНТ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ ИМЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ЦЕНТРА И ОСИ.КИНЕТИЧЕСКИЙ МОМЕНТ ТВЁРДОГО ТЕЛА ОТНОСИТЕЛЬНО ОСИВРАЩЕНИЯ.[O] Кинетическим моментом (моментом количества движения)материальной точки массой m относительно центра О называют векторную14величину, равную векторному произведению радиус-вектора материальнойточки, проведённого из этого центра, на количество движения точки:̅̅̅ = (̅) = ̅ × ̅ = ̅ × ̅ = | ̅̅|Единица измерения кинетического момента - кг ∗ м2 ⁄с[O] Кинетическим моментом механической системы относительно центра Оназывают геометрическую сумму векторов кинетических моментовматериальных точек системы относительно того же центра О:̅ = ∑ ̅ = ∑ ̅ (̅ ) = ∑ ̅ × ̅=1=1=1Проекции кинетического момента системы на оси координат равныкинетическим моментам системы относительно соответствующих осейкоординат: = ∑ ( ̅ ) = ∑ ( ̇ − ̇ )=1=1 = ∑ ( ̅ ) = ∑ ( ̇ − ̇ )=1{=1 = ∑ ( ̅ ) = ∑ ( ̇ − ̇ )=1=1Пусть твёрдое тело вращается вокруг неподвижной оси Oz с угловойскоростью ̅.
Определим кинетический момент этого тела относительно осиOz. Согласно определению, = ∑ ( ̅ ) … (2.6)=1Проекция скорости точки Аk тела на касательную к траектории её движения = ℎКинетический момент относительно оси Oz:15 ( ̅ ) = ℎ = ℎ2Подставив это в (2.6), получим: = ∑ ℎ2 = ℐ=12Где ℐ = ∑=1 ℎ – момент инерции тела относительно оси вращения Oz.2.2.3. ТЕОРЕМЫ ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОГО МОМЕНТА ДЛЯМАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ И МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ (ЧАСТЬ 1ВОПРОСА 10)Запишем уравнение движения материальной точки:̅= ̅Умножим его векторно слева на радиус-вектор ̅̅ × ̅= ̅ × ̅Преобразуем левую часть полученного уравнения:̅ × Но̅̅̅= (̅ × ̅ ) −× ̅ × ̅ = ̅ × ̅ = 0. Далее получаем:(̅ × ̅ ) ̅̅ (̅ )== ̅ × ̅ = Т.о.̅̅ (̅ ) … (2.7)=Формула (2.7) выражает теорему об изменении кинетического моментаматериальной точки[T] Первая производная по времени от кинетического момента точкиотносительно центра О равна моменту равнодействующей силыотносительно того же центра О.16Рассмотрим механическую систему ( = 1,2, … , ), состоящую из Nматериальных точек, к каждой из которых приложены равнодействующие()()внешних ̅ и внутренних ̅ сил.
Для каждой точки Mk запишем теоремуоб изменении кинетического момента относительно неподвижного центраО:(̅ × ̅ ) = ̅ × ̅() + ̅ × ̅()Просуммировав по всем точкам:=1=1=1()()∑ (̅ × ̅ ) = ∑ ̅ × ̅ + ∑ ̅ × ̅Преобразуем левую часть:=1=1̅∑ (̅ × ̅ ) = (∑ ̅ × ̅ ) =̅ – кинетический момент механической системы относительно центра О.Главный момент внутренних сил равен 0, так как главный вектор всехвнутренних сил равен 0. Главный момент внешних сил:()()̅ (̅() )̅ = ∑ ̅ × ̅ = ∑ =1=1Окончательно имеем:̅̅ (̅() ) = ̅()= ∑ … (2.8)=1Формула (2.8) выражает теорему об изменении кинетического моментамеханической системы[T] Первая производная по времени от кинетического момента механическойсистемы относительно неподвижного центра О равна главному моментувнешних сил, приложенных к точкам системы, относительно того же центра.2.2.4.
ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ КИНЕТИЧЕСКОГО МОМЕНТА (ЧАСТЬ 2ВОПРОСА 10)17[T] Если главный момент внешних сил относительно неподвижного центра Оравен нулю, то кинетический момент механической системы относительноэтого центра постоянен по модулю и направлению.[T] Если главный момент внешних сил, действующих на механическуюсистему, относительно какой-либо оси равен нулю, то кинетический моментмеханической системы относительно этой оси постоянен.Пример:Скамья Жуковского позволяет продемонстрировать закон сохранениякинетического момента системы относительно оси.
Человек с грузами вруках встаёт на скамью (платформу), которая приводится во вращение вокругнеподвижной оси Oz с угловой скоростью 0 , при этом руки человека сгрузами опущены, момент инерции равен ℐ0 . Так как силы тяжести человекаи платформы параллельны оси вращения, а реакции её пересекают, тоглавный момент внешних сил равен нулю и выполняется закон сохранения.Если человек разведёт руки с грузами, т.е. его момент инерции относительнооси Oz станет больше, то угловая скорость всей системы уменьшится.Для наглядности вспоминает опыт, который показывал Всевеликий на однойиз лекций второго семестра.2.2.5.
ФОРМУЛА ДЛЯ КИНЕТИЧЕСКОГО МОМЕНТА СИСТЕМЫМАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК ОТНОСИТЕЛЬНО ЦЕНТРА И ОСИ ПРИСЛОЖНОМ ДВИЖЕНИИВведём подвижную систему координат CXYZ, которая движетсяпоступательно по отношению к инерциальной систему отсчёта Oxyz и началокоторой связано с центром масс С системы. Подвижную систему CXYZназывают кёниговой системой координат.Запишем выражение ̅ = ̅ + ̅ , справедливое в любой момент временидвижения механической системы, и продифференцируем его по времени:̅ ̅ ̅=+… (2.9)Согласно формуле Бура:̅ ̃ ̅=+̅ × ̅18При поступательном движении ̅ = 0, следовательно̃ ̅̅()= ̅ =Таким образом выражение (2.9) примет вид()̅ = ̅ + ̅Кинетический момент механической системы относительно неподвижногоцентра О для абсолютного движения систем относительно неподвижнойсистемы координат Oxyz равен:̅ = ∑ ̅ × ̅=1Подставив выражения для ̅ и ̅ получим:̅ = ∑ (̅ + ̅ ) × (̅ + ̅() )=1()= ̅ × ̅ ∑ + ̅ × ∑ ̅ + ∑ ̅ × ̅=1=1=1()+ ∑ ̅ × ̅=1̅̅Здеся ∑=1 = = 0, так как радиус-вектор центра массотносительно центра масс равен нулю, а следовательно:()∑ ̅=1= (∑ ̅ ) = 0=1Т.о.
получим:̅ = ̅ × ̅ + ̅() = ̅ (̅) + ̅() … (2.10)[T] Кинетический момент механической системы относительнонеподвижного центра О для абсолютного движения системы равенвекторной сумме момента вектора количества абсолютного движениясистемы (приложенного в центре масс) относительно того же центра, иглавного кинетического момента системы относительно центра масс дляотносительного движения системы по отношению к центру масс.192.2.6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
