Полезности 1 (1005190), страница 2
Текст из файла (страница 2)
796.2.1. Основные положения теории удара. Общие теоремы динамики для удара.Изменение угловой скорости при ударе по вращающемуся телу ...................................796.1.2. Теорема Карно ............................................................................................................836.2.3.
Центр удара. Условие отсутствия ударных реакций в опрах вращающегося тела................................................................................................................................................856.3. Движение материальной точки переменной массы. УравнениеМещерского.
Первая и вторая задачи Циолковского ................................ 863ЧАСТЬ 1. ДИНАМИКА ТОЧКИ1.1. АКСИОМЫ ДИНАМИКИ. ИНЕРЦИАЛЬНАЯ СИСТЕМАОТСЧЁТА.[O] Материальная точка – тело, которое независимо от его формы иразмеров можно принять за геометрическую точку, обладающуюопределённой массой.[O] Инерциальные системы отсчёта – это такие системы отсчёта, поотношению к которым материальная точка, не испытывающая действия илинаходящаяся под действием уравновешенной системы сил, сохраняетсостояние покоя или равномерного прямолинейного движенияАксиомы динамики:1. (Первый закон Ньютона) Существуют инерциальные системы отсчёта2.
(Второй закон Ньютона) Ускорение материальной точки относительноинерциальной системы отсчёта пропорционально приложенной кточке силе и совпадает с ней по направлению.3. (Третий закон Ньютона) Силы взаимодействия двух материальныхточек направлены по прямой, соединяющей эти точки, впротивоположные стороны и равны по модулю.4. (Принцип независимости действия сил) Ускорение, полученное точкойпод действием системы сил, равно векторной сумме ускорений отдействия отдельных сил.1.2.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯМАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИИз второй и четвёртой аксиом следует уравнение движения точки винерциальной системе отсчёта:̅ = ̅̅Где ̅ = ∑=1 – равнодействующая всех сил, приложенных к точке.Так как ускорение точки связано с её радиус вектором соотношением:̅ = 2 ̅⁄ 24А сила может быть функцией времени, положения и скорости точки, тополучим векторное дифференциальное уравнение движения точки: 2 ̅̅ 2 = ̅ (, ̅ , )В проекциях на декартовы оси дифференциальные уравнения движенияимеют вид (система 2.1):̈ = (, , , , ̇ , ̇ , ̇ )̈ = (, , , , ̇ , ̇ , )̇̈ = (, , , , ̇ , ̇ , ̇ )В проекциях на естественные оси уравнения движения точки имеют вид:22= ; = ; = 0 где = | |, =, − радиус кривизны1.3.
ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ.ИНТЕГРАЛЫ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯПервая задача (прямая): по заданному закону движения токи массой mопределить силу, под действием которой происходит это движение. Задачасводится к определению проекций неизвестной силы посредствомвычисления производных от известных функций, либо заданных условиями,либо определённых в ходе решения задачи в выбранной системе отсчёта. Вдинамике несвободной материальной точки первая задача может выступатькак продолжение второй: после того, как движение под действием активныхсил в рамках второй задачи найдено, решают первую, в ходе которойопределяют неизвестные реакции.Вторая задача (обратная): определение движения точки по заданным силами начальным условиям движения, при это силы должны быть выражены какфункции переменных, используемых для задания движения.
Решение этойзадачи сводиться к интегрированию дифференциальных уравнений второгопорядка, в процессе которого в решениях появляются произвольныепостоянный, подлежащие определению.[O] Первым интегралом системы дифференциальных уравнений системы 2.1называется функция Ф(, , , , ̇ , ̇ , ̇ ), зависящая от координат, скоростей и5времени, сохраняющая постоянное значение для любого конкретногорешения системы.Для того, чтобы полностью найти закон движения материальной точки,достаточно найти шесть функционально независимых первых интегралов.ПустьФ1 (, , , , ̇ , ̇ , ̇ ) = 1⋯Ф6 (, , , , ̇ , ̇ , ̇ ) = 6- шесть независимых первых интегралов системы 2.1.
Т.к. по условиюФ1 , … , Ф6 функционально независимы, то определяя , , , ̇ , ̇ , ̇ какфункции t и шести констант 1 , … , 6 , получаем общее решение системы 2.1 ввиде: = (, 1 , … , 6 ) = (, 1 , … , 6 ) = (, 1 , … , 6 )̇ = ̇ (, 1 , … , 6 )̇ = ̇ (, 1 , … , 6 )̇ = ̇ (, 1 , … , 6 )1.4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯМАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ В НЕИНЕРЦИАЛЬНОЙ СИСТЕМЕОТСЧЁТА[O] Неинерциальной называется система отсчёта, которая с ускорениемдвижется относительно другой, инерциальной системы отсчёта.Предполагается:1) Движение неинерциальной системы отсчёта O’XYZ относительноинерциальной Oxyz (переносное движение для точки) задано, и отдвижения материальной точки не зависит;2) Приложенные к точке силы в соответствии со вторым законом Ньютонаопределяют абсолютное ускорение точки;3) Предметом изучения является движение точки относительнонеинерциальной системы, т.е.
относительное движение.Представим абсолютное ускорение точки в виде трёх составляющих:6̅ = ̅ + ̅ + ̅Где ̅ – относительное ускорение, ̅ – переносное ускорение, ̅ –ускорение Кориолиса. Подставим данное выражение для ускорения вуравнение второго закона Ньютона. Разрешая относительно получим:̅ = + (−̅ ) + (−̅ )̅ = −̅ − переносная сила инерцииΦ̅ = −̅ − кориолисова сила инерцииΦТак как переносное движение предполагается заданным, то силы инерцииявляются известными функциями времени, относительных координат искорости точки.Из кинематики известны формулы для ускорений в общем случаепереносного движения:̅ = ̅′ + ̅ × ̅ + ̅ × (̅ × ̅ ); ̅ = 2̅ × ̅Т.о.
основной закон динамики относительного движения имеет вид(учитывая, что = ̃ 2 ⁄ 2 ): 2 ̅̅ + Φ̅ 2 = ̅ + Φ1.5. ПРИНЦИП ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ГАЛИЛЕЯ-НЬЮТОНАПринцип: все механические явления в различных инерциальных системахотсчёта протекают одинаково. Никакими механическими опытами нельзяобнаружить инерциальное движение системы отсчёта участвуя вместе с нимв движении.1.6. ДВИЖЕНИЕ НЕСВОБОДНОЙ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ[O] Материальная точка называется свободной, если на её движение впространстве не налагаются ограничения.[O] Материальная точка называется несвободной, если её движениесопровождается непосредственным взаимодействием с другимиматериальными телами.7[O] Связями называются условия, стесняющие свободу материальной точки(в случае рассмотрения движения именно точки)[O] Геометрической называется связь, выраженная уравнением (, , ) = 0[O] Стационарной и неосвобождающей называется геометрическая связь –поверхность, которую точка не может покинуть ни в какую сторону.Освобождающие связи выражаются неравенствами.Так как связи могут быть отброшены, а их действие замененосоответствующими силами, то уравнение динамики несвободнойматериальной точки примет вид:̅= ̅ + ̅Где R – динамическая сила реакции.
Эту реакцию можно разложить по двум̅ направить по нормали кнаправлениям на составляющие, одну из которых поверхности связи, а другую – в плоскости, перпендикулярной к нормали.Если второй составляющей пренебречь, то поверхность можно считатьабсолютно гладкой, а связь – идеальной.
Тогда реакцию связи представляют̅̅̅̅̅̅̅ ()Векторное̅ = ∆, где = - множитель связи. ∆= в виде ∆уравнение движения несвободной точки с идеальной связью принимает вид:= ̅ + ∆̅В проекциях на декартовы оси координат:)̈ = + ( )̈ = + ( )̈ = + (Эти уравнения известны также как уравнения Лагранжа первого рода.Если же поверхность негладкая, то необходимо учитывать действие связи наматериальную точку в плоскости, перпендикулярной нормали.
Если онообусловлено шероховатостью, то в векторном уравнении движения точкидобавляется сила сухого трения, предельное значение которой определяетсяуравнением:8̅тр = −()̅1.7. КЛАССИФИКАЦИЯ СИЛРазличают два вида сил: физические и силы инерции.[O] Физические силы – это реально существующие силы, которые вызываютускорения материальных точек и тел относительно абсолютной(инерциальной) системы координат.Физические силы в свою очередь подразделяются на активные силы иреакции связей.[O] Активные силы – силы, которые известным образом зависят отположения точки, её скорости и времени.Их можно классифицировать следующим образом:1) Силы, явно зависящие от времени2) Позиционные силы – силы, зависящие от положения точки. К нимотносят силу тяжести, силу упругости3) Силы сопротивления – силы, которые зависят от скорости инаправлены в сторону, противоположную скорости.
К ним относятсясилы сухого трения и силы вязкого сопротивления[O] Реакции связей – это силы, действующие со стороны тел,ограничивающих свободу движения материальной точки (связей)ЧАСТЬ 2. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ2.1. ДВИЖЕНИЕ ЦЕНТРА МАСС И КОЛИЧЕСТВО ДВИЖЕНИЯ2.1.1. ЦЕНТР МАСС СИСТЕМЫ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК. ТЕОРЕМА ОДВИЖЕНИИ ЦЕНТРА МАСС. ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ[O] Механическая система – совокупность материальных точек, положение идвижение каждой из которых определяется положением или движениемдругих точек этой совокупности.[O] Выражение ̅ = ∑=1 ̅ называют статическим моментом масс точекотносительно какого-либо центра О.9Статический момент массы механической системы относительно какой-либоточки О равен произведению массы системы на радиус-вектор центрамасс ̅̅ = ∑ ̅ = ̅=1Откуда∑=1 ̅̅ =… (2.1)Спроецировав на оси прямоугольной декартовой системы координатполучаем выражения для вычисления координат центра масс механическойсистемы:∑∑∑=1 =1 =1 =; =; =Запишем уравнения движения механической системы в виде:()() ̅ = ̅ + ̅ ( = 1, 2, … , )Просуммируем данные уравнения по всем точкам механической системы:∑ ̅ ==1()∑ ̅=1()+ ∑ ̅ … (2.2)⏟=10Продифференцировав дважды выражение (2.1), получим̅ = ∑ ̅=1Подставляя в уравнение (2.2), получим:()̅ = ∑ ̅ = ̅()=1[T] Центр масс системы движется как материальная точка, в которойсосредоточена вся масса системы и на которую действуют все внешние силы.10В проекциях на оси декартовой системы координат данное выражениепримет вид:̈ =()∑ ;=1̈ =()∑ ;=1()̈ = ∑ =1Частные случаи:1) Если главный вектор внешних сил, действующих на точкимеханической системы, равен нулю, то центр масс механическойсистемы движется прямолинейно и равномерно.2) То же для той оси, проекция равнодействующей сил на которую равнанулю.2.1.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
