Полезности 1 (1005190), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Первые – «свободные»колебания, вторые – вынужденные колебания.Введём амплитуду D вынужденных колебаний:=0| 2 − 2 |Тогда установившиеся вынужденные колебания можно представить в виде: = sin( + − )59 – сдвиг по фазе0 < ={ > Разделим числитель и знаменатель выражения для амплитуды на 20 ⁄20 ⁄1===ст|1 − 2 | |1 − 2 ||1 − 2 |[O] ст – статическое смещение системы от положения равновесия поддействием постоянной силы, совпадающей по величине с амплитудой 0==– коэффициент расстройки.1|1− 2 |- коэффициент динамичности. Он показывает, во сколько разамплитуда вынужденных колебаний при гармоническом воздействиибольше статического смещения.Резонанс[O] Резонанс – явление, возникающее в случае совпадения частотывозмущающей силы с частотой свободных колебаний.Найдём частное решение в этом случае. Так как характеристический кореньполностью совпадает с правой частью (действительная часть в обоих случаяхравна нулю, а мнимая, так как = , также совпадает), то получим:чн = ⏟ cos( + ) + sin( + )суть̈ чн = (2 − 2 ) cos( + ) − (2 + 2 ) sin( + )Подставляем в исходное уравнение:(2 − 2 ) cos( + ) − (2 + 2 ) sin( + ) + 2 cos( + )+ 2 sin( + ) = 0 sin( + )Получим систему уравнений:=02 − 2 + 2 = 00=> ( = ) {{=−−2 − 2 + 2 = 02Таким образом полное решение примет вид60 = 1 cos + 2 sin −0 cos( + )2Частное решение также можно представить в виде:=0 sin ( + − )22Таким образом, можно сделать вывод, что, с одной стороны, вынужденныеколебания при резонансе смещены от возмущающей силы на , а с другой2стороны, можно заметить, что вынужденные колебания при резонансепроисходят с нарастающей пропорционально времени амплитудой, что неесть хорошо.Инерционное возбуждениеВ случае инерционного возбуждения колебаний0 = ̃0 2 , ̃0 =02Амплитуду вынужденных колебаний можно представить в виде:̃0 22̃= 2= 0= ̃0 ин2| − 2 ||1 − |ин – коэффициент динамичности при инерционном возбужденииколебаний.5.1.6.2.
НАЛИЧИЕ ЛИНЕЙНО-ВЯЗКОГО СОПРОТИВЛЕНИЯДУ имеет вид61̈ + 2̇ + 2 = 0 sin( + )Вид общего решения соответствующего однородного ДУ уже известен: = − (1 cos 1 + 2 sin 1 ) при < = − (1 + 2 ) при = = − (1 + 2 − ) при > Найдём частное решение. Сопоставляя с правой частью, получим решениевида:чн = cos( + ) + sin( + )Сделаем замену: = − sin ; = cos Тогда получимчн = − sin cos( + ) + cos sin( + )= (sin( + − ) − sin( + + ) + sin( + − )2+ sin( + + )) = sin( + − ) = √2 + 2 ; = arctan (− )Продифференцируем частное решение и подставим в ДУ̇ = − sin( + ) + cos( + )̈ = −2 cos( + ) − 2 sin( + )−2 cos( + ) − 2 sin( + ) − 2 sin( + ) + 2 cos( + )+ 2 cos( + ) + 2 sin( + ) = 0 sin( + )2−2 + 2 + 2 = 0=>=−{ 2 − 2−2 − 2 + 2 = 04 2 2 − + 2+ 2 = 0 − 224 2 20 (2 − 2 ) ( − + 2) = 0 => = 2( − 2 )2 + 4 2 2 − 22262=−20 ( 2 − 2 )2 + 4 2 2Таким образом, мы можем найти D и √402 2 2 + 02 ( 2 − 2 )20==( 2 − 2 )2 + 4 2 2√( 2 − 2 )2 + 4 2 2 = arctan2 2 − 2Следовательно, общие решения примут вид:В случае малого сопротивления = − (1 cos 1 + 2 sin 1 ) + sin( + − )В случае критического сопротивления = − (1 + 2 ) + sin( + − )В случае большого сопротивления = − (1 + 2 − ) + sin( + − )Структура решений говорит о том, что с течением времени решениеоднородного уравнения стремится к нулю (из-за − ).
И тогда в решенииостаётся только частное решение. В этом случае говорят об установившихсявынужденных колебанияхОсновные свойства установившихся вынужденных колебаний:1) Это незатухающие колебания; они длятся так долго, как долгодействует возмущающая сила;2) Эти колебания не зависят от начальных условий;3) При гармоническом возбуждении они происходят с частотойвозмущающей силы;4) Эти колебания отстают по фазе от возмущающей силы на величину .5.1.7. АМПЛИТУДНО-ЧАСТОТНАЯ И ФАЗОЧАСТОТНАЯХАРАКТЕРИСТИКИВ силу полученных выражений, амплитуда установившихся вынужденныхколебаний D и сдвиг по фазе зависят от соотношения между частотами и63 и от коэффициента затухания .
Проанализируем эти зависимости,называемые амплитудно-частотной и фазочастотной характеристиками.[O] Безразмерным коэффициентом затухания d называют отношение=2Если ≪ и, следовательно, 1 ≈ , то безразмерный коэффициентзатухания можно связать с логарифмическим декрементом колебаний:=2 1 21 ==≈ 12 1 1 [O] Добротностью Д называют величину, обратную d:Д=1 = 2В выражении для амплитуды вынужденных колебаний разделим числитель изнаменатель на 2 :=0√( 2 − 2 )2 + 4 2 20== ст1√(1 − 2 )2 + 2 2= ст ; ст =00 ⁄=2 ⁄ – коэффициент динамичности при наличии линейно-вязкогосопротивления.Исследуем зависимость от z и d, что есть амплитудно-частотнаяхарактеристика системы в безразмерном виде.При z=0 = 1; при → ∞ → 0; при = 1 =1=ДТаким образом, добротность Д представляет собой значение коэффициентадинамичности при резонансе (и чё?).Добротность показывает, во сколько раз амплитуда колебаний прирезонансе отличается от статического смещения (и чё?).Выражение для коэффициента динамичности показывает, что при малыхзначениях d вязкое сопротивление становится существенным лишь вдостаточно узкой зоне в окрестности резонанса, когда величина 2 264становится соизмеримой с (1 − 2 )2 .
Это же демонстрирует график () приd=0.Для определения экстремальных значений коэффициента динамичностидостаточно исследовать подкоренное выражение в его уравнении, посколькуего максимум в силу структуры уравнения будет соответствовать минимуму и наоборот.Вычислим производные по z от подкоренного выражения () = (1 − 2 )2 +2 2 ′ () = −4(1 − 2 ) + 2 2 = 2( 2 − 2 + 2 2 )′′ ()2= 2( − 2 + 22)2+ 8 = 12 − 4 (1 − )222Приравняв к нулю ′(), получим два значения z, соответствующиеэкстремумам:1 = 0, 2 = √1 −2, ≤ √22Если < √2, то ′′ () отрицательна при 1 и положительна при 2 ,следовательно, 1 соответствует максимуму y(z) и минимуму (), а 2 –минимуму y(z) и максимуму (). Максимальное значение при этом:(2 ) =1224√( ) + 2 − 22=Д2√1 − 4При ≥ √2 остаётся только одно экстремальное значение 1 = 0.
В этомслучае имеет место минимум () и максимум (). На рисункепредставлена амплитудно-частотная характеристика.65Для исследования фазочастотной характеристики в безразмерном видеразделим числитель и знаменатель аргумента арктангенса на 22 = arctan=arctan1 − 2 / 21 − 2Производная () по z независимо от значения d (кроме d=0) положительнопри всех значениях z, т.е. () представляет собой монотонно возрастающуюфункцию. Тогда при = 0 = 0, при = 1 = , при → ∞ = 2На рисунке представлена фазочастотная характеристика66Инерционное возбуждение0 = ̃0 2Тогда = ̃0 инин =2√( 2 − 2 )2 + 4 2 2=2√(1 − 2 )2 + 2 2Заменим коэффициент расстройки z обратной ему величиной = , получимин =1/ 222√(1 − 12 ) + 267=1√(1 − 2 )2 + 2 2По структуре ин () полностью совпадает с () при силовом иликинематическом возбуждении. Следовательно, при = 0 → ∞, ин = 0;при → ∞ = 0, ин = 1; при = 1 = 1, ин =1= Д.При < √2 имеет место максимальное значение ин =Д√1−2, которому4соответствует = √1 −22или = 1/√1 − 2 2, т.е.
в отличие от силовогоили кинематического возбуждения максимальное значение коэффициентадинамичности смещено вправо от резонансной частоты.Фазочастотная характеристика не зависит от способа возбуждения5.2. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ С ДВУМЯСТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ5.2.1. КРИТЕРИЙ СИЛЬВЕСТРА. ВЫВОД ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХУРАВНЕНИЙ. ПАРЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ И ПАРЦИАЛЬНЫЕ ЧАСТОТЫРассмотрим механическую систему, состоящую из N материальных точек иимеющую n степеней свободы, на которую наложены голономные68стационарные связи. Предполагая, что система имеет устойчивое положениеравновесия, будем отсчитывать от этого положения обобщённыекоординаты ( = 1, 2, … , ).
Воспользуемся уравнениями Лагранжавторого рода: = = Π + Д + ()( )− ̇ В силу стационарности наложенных на систему связей радиус-векторы точекзависят только от обобщённых координат:̅ = ̅ (1 , … , )Тогда̅̅̅ ==∑̇ =1И, следовательно, кинетическая энергия системы:211̅1̅ ̅ = ∑ ̅2 = ∑ (∑̇ ) = ∑ ∑ ∑̇ ̇222 =1=1 =1=1=1 =11̅ ̅1= ∑ ∑ ∑ ̇ ̇ = ∑ ∑ ̇ ̇ 2 2=1 =1 =1=1 =1Разложим в ряд Маклорена (1 , 2 , … , ) = ( )0 + ∑ () +⋯ 0 =1В силу малости колебаний будем учитывать только первые членыразложения, которые обозначим ( )0 = .
называются обобщённымикоэффициентами инерции, причём = Окончательно имеем1 = ∑ ∑ ̇ ̇ 2=1 =169Кинетическая энергия механической системы может быть положительна,если отлична от нуля хотя бы одна обобщённая скорость, либо равна нулюпри всех равных обобщённых скоростях. Следовательно, квадратичнаяформа кинетической энергии является положительно-определённой.Составляющая обобщённой силы от потенциальных сил:Π = −ΠРазложим потенциальную энергию системы Π(1 , 2 , … , ) в ряд МаклоренаΠ(1 , 2 , … , )Π12Π= Π(0) + ∑ ( ) + ∑ ∑ () 02 0 =1=1 =113Π+ ∑∑∑() +⋯6 0 =1 =1 =1Первый член в разложении равен нулю, так как потенциальная энергия иобобщённые координаты отсчитываются от положения равновесия; вторыечлены также равны нулю, поскольку в положении равновесия потенциальнаяэнергия имеет экстремум; четвёртый и последующие члены отбрасываем всилу предположения о малости колебаний.
Тогда12Π1Π(1 , 2 , … , ) = ∑ ∑ () = ∑ ∑ 2 02=1 =1=1 =1 – квазиупругие коэффициенты, причём = Потенциальная энергия представляет собой квадратичную форму. Согласнотеорема Лагранжа, достаточным условием устойчивости положенияравновесия консервативной системы является наличие в нём локальногоминимума потенциальной энергии, т.е. квадратичная форма должна бытьположительно-определённой.В соответствии с критерием Сильвестра:[T] Для того, чтобы квадратичная форма была положительно-определённой,необходимо и достаточно, чтобы все главные диагональные минорыматрицы коэффициентов квадратичной формы были строго больше нуля.70Поскольку всегда можно изменить нумерацию обобщённых коэффициентови любую из них сделать первой, то очевидно, что все элементы матрицыкоэффициентов, стоящие на главной диагонали, должны быть строго большенуля.Для консервативной системы с двумя степенями свободы выражения длякинетической и потенциальной энергий примут вид:1 = (11 ̇ 12 + 212 ̇ 1 ̇ 2 + 22 ̇ 22 )21Π = (11 12 + 212 1 2 + 22 22 )2Подставляя в уравнения Лагранжа второго рода, получаем ДУ для свободныхколебаний консервативной системы с двумя степенями свободы: Π=−()− ̇ 111 Π=−()−22{ ̇ 2(11 ̇ 1 + 12 ̇ 2 ) − 0 = −(11 1 + 12 2 ){( ̇ + 22 ̇ 2 ) − 0 = −(12 1 + 22 2 ) 12 1 ̈ + 12 ̈ 2 + 11 1 + 12 2 = 0{ 11 112 ̈ 1 + 22 ̈ 2 + 12 1 + 22 2 = 0В силу положительно-определённой квадратичной формы кинетическойэнергии:211 > 0; 11 22 − 12> 0; 22 > 0Аналогичные соотношения для квазиупругих коэффициентов:211 > 0; 11 22 − 12> 0; 22 > 0Это достаточные условия положения равновесия системы.Коэффициенты 12 и 12 , называют соответственно коэффициентамиинерционной и упругой связи.71[O] Парциальной системой, соответствующей обобщённой координате 1 ,называют условную колебательную систему с одной степенью свободы,получаемую из исходной системы, если наложить запрет на изменение всехобобщённых координат, кроме 1 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
