Полезности 1 (1005190), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Окончательноуравнение примет вид:()̅ − ̅0 = ∑ ̅=1[T] Изменение количества движения механической системы за время удараравно векторной сумме импульсов всех внешних ударных сил, действующихна точки системы.Отсюда можно записать теорему о движении центра масс при ударе:()̅ − ̅ = ∑ ̅=1Умножим уравнение (6.1) векторно слева на ̅ – радиус-вектор точки̅ (̅) − ̅ (̅ ) = ̅ (̅)̅ × ̅ − ̅ × ̅ = ̅ × ̅ Это уравнение выражает теорему об изменении кинетического моментаточки при ударе.Запишем эту теореу для k-й точки механической системы, состоящей из Nматериальных точек81()()̅ × ̅ − ̅ × ̅ = ̅ × ̅ + ̅ × ̅Суммируя по всем точкам системы и учитывая, что сумма всех моментовимпульсов внутренних ударных сил системы равна нулю, получим:̅ − ̅(0) = ∑ ̅ (̅ () )=1Это уравнение выражает теорему об изменении кинетического моментамеханической системы при ударе:[T] Изменение кинетического момента системы относительно какой-либоточки за время удара равно векторной сумме моментов импульсов внешнихударных сил, приложенных к материальным точкам системы, относительнотой же точки.Умножим уравнение (6.1) скалярно на ̅ и ̅ , получим:2 − ̅̅ = ̅̅ ̅̅ − 2 = ̅̅Сложив данные уравнения и записав их в пополаме, получим:2 2 ̅(̅ + ̅ )−=222А из теоремы об изменении кинетической энергии:(̅ ) =̅(̅ + ̅ )2[T] (Теорема Кельвина) Работа ударной силы, приложенной к материальнойточке, за время удара равна скалярному произведению ударного импульсана полусумму (векторную) скоростей точки до и после удараРассмотрим механическую систему, состоящую из N материальных точек.Запишем теорему Кельвина для k-й точки:()() 2 2 ̅ (̅ + ̅ ) (̅ + ̅ ) (̅ + ̅ )−==2222Суммируя по всем точкам системы, получим82 − 0 = ∑()()(̅ + ̅ ) (̅ + ̅ )2=1А также вспоминая теорему об изменении кинетической энергии длямеханической системы:=1=1=1()()̅ (̅ + ̅ )̅ (̅ + ̅ )+∑∑ = ∑22[T] Изменение кинетической энергии механической системы при ударе равносумме работ внешних и внутренних ударных сил, выраженной через суммыскалярных произведений внешних и внутренних ударных импульсов наполусуммы скоростей точек после и до удара6.1.2.
ТЕОРЕМА КАРНОФаза деформирования. При падении материальной точки на гладкуюповерхность происходит наложение идеальной стационарной неупругойсвязи. В начале фазы деформирования скорость точки равна ̅ , в конце ̅1 =̅ , импульс в фазе деформирования 1̅ . Так как ударная поверхностьгладкая, то 1̅ ̅1 = 0. Запишем теорему Кельвина и теорему об измененииколичества движения:12 2 1̅ (̅1 + ̅ ) 1̅ ̅−==; (̅1 − ̅ ) = 1̅2222Умножив второе уравнение скалярно на 1̅ , получим:1̅ ̅ 12−=22Окончательно поимеем:12 212−=−<0222Фаза восстановления. Скорости точки в начале и в конце фазы будутсоответственно ̅1 и ̅, импульс ударной реакции 2̅ . Так как 2̅перпендикулярен ̅1 , 2̅ ̅1 = 0.
Аналогично записываем2 12 2̅ (̅ + ̅1 ) 2̅ ̅−==; (̅ − ̅1 ) = 2̅222283Умножив второе уравнение скалярно на 2̅ , получим̅2̅22=22Окончательно имеем2 1222−=>0222Сложив два полученных уравнения, получим(1 + 2 )(1 − 2 )2 212 − 22−=−=−2222 = 1 + 2 , 2 = 11 =1−; 1 − 2 =1+1+2 21 − 2−=−221 + 2Вспомнив теорему об изменении количества движения системы:2 21 − (̅ − ̅)2−=−221+2Рассмотрим теперь систему, состоящую из N материальных точек. Пустькоэффициент восстановления К одинаков для всех соударений. Тогда для k-йточки теорема Карно выражается уравнением: 2 21 − (̅ − ̅ )2−=−221+2Суммируя по всем точкам:1− (̅ − ̅ )21− − 0 = −=−∑1+21 + п.с.=1[T] Потеря кинетической энергии системы при упругом ударе в случаемгновенного наложения идеальных связей равна кинетической энергиисистемы, которая соответствует потерянным скоростям точек системы,умноженной на коэффициент1−1+.84Изменение угловой скорости вращающегося тела при удареПусть твёрдое тело вращается вокруг неподвижной оси Az с угловой()скоростью ̅0 .
К телу приложены импульсы ̅ . Определим изменениеугловой скорости тела после их приложения.Кинетические моменты тела относительно оси Az после у до удара равны:(0) = ℐ , = ℐ 0Вспоминая теорему об изменении кинетического момента системы приударе, в проекции на ось Az, получим:()ℐ ( − 0 ) = ∑ (̅ )=1Откуда∆ = − 0 =̅ ()∑=1 ( )ℐ6.2.3. ЦЕНТР УДАРА. УСЛОВИЕ ОТСУТСТВИЯ УДАРНЫХ РЕАКЦИЙ ВОПРАХ ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ТЕЛА[O] Точка N, в которой приложен импульс ̅ при отсутствии ударных реакцийподшипников, называется центром удара.Чтобы при приложении к телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси,ударного импульса, не возникали ударные реакции в опорах, т.е., чтобысуществовал центр удара, необходимо и достаточно выполнить следующиеусловия:1) Ударный импульс должен быть перпендикулярен плоскости,проходящей через оси вращения тела и его центр масс;2) Точка N пересечения линии действия ударного импульса с плоскостью,проходящей через ось вращения тела и его центр масс, должна лежатьв этой плоскости по одну сторону от оси вращения вместе с центроммасс;3) Ударный импульс, произвольный по величине, должен лежать вплоскости, перпендикулярной оси вращения и проходящей через точкуО, для которой ось вращения является главной ось инерции тела.856.3.
ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ ПЕРЕМЕННОЙМАССЫ. УРАВНЕНИЕ МЕЩЕРСКОГО. ПЕРВАЯ И ВТОРАЯЗАДАЧИ ЦИОЛКОВСКОГОРассмотрим точку переменной массы с начальной массой М. От действиясилы ̅ скорость точки постоянной массы изменяется за время dt всоответствии с основным законом динамики точки постоянной массы:̅̅1 = Изменение скорости ̅2 за время dt, вызванное изменением её массы вотсутствие силы, определяют по теореме об изменении количествадвижения системы постоянной массы.
= + = ̅В момент времени t+dt имеются точка массой M-d’M, скорость которой ̅ +̅2 , и отделившаяся частица массой d’M, скорость которой ̅ относительнотой же системы координат. Количество движения в момент + :+ = ( − ′ )(̅ + ̅2 ) + ′ ̅ = (̅ + ̅2 ) + ′ (̅ − ̅ )Приравняем количества движения и сократим подобные:0 = ̅2 + ′(̅ − ̅ )Таким образом, изменение скорости точки М при изменении её массы:′ (̅ − ̅ ) =(̅ − ̅ )̅2 = −Общее изменение скорости:̅ =̅(̅ − ̅ )| ∗ +̅(̅ − ̅ )= ̅ +Данное уравнение называется уравнением Мещерского.(̅ − ̅ ) = ̅ – относительная скорость отделившейся частицы86̅ = ̅ – реактивная силаΦПервая задача ЦиолковскогоПусть точка переменной массы или ракета движется только под действиемтолько одной реактивной силы.
Считаем, что относительная скоростьотделения частиц постоянна и направлена противоположно скорости ракеты.Тогда, проецируя на ось Ox движения ракеты:=− Разделяя переменные и беря интеграл от обеих частей, получим:1∫ = − ∫00 = 0 + ln0Если в данную формулу подставить значения величин, характеризующихконец горения, когда масса ракеты состоит только из несгоревшей части(масса приборов и корпуса ракеты) р , то, обозначая массу топлива как m,для скорости в конце горения имеем:1 = 0 + ln (1 +) = 0 + ln(1 + )рZ – число Циолковского, отношение массы топлива к массе ракеты.Для определения уравнения движения ракеты, имеем:0= 0 + ln = 0 + ∫ ln00Есть два закона изменения массы: линейный = 0 (1 − ) ипоказательный = 0 −Чутка поинтегрировав:87 = 0 +[(1 − ) ln(1 − ) + ] 2 = 0 +2Вторая задача ЦиолковскогоЕсли ракета движется вверх по вертикали вблизи Земли, то, считая полепритяжения однородным и пренебрегая сопротивлением воздуха, получим:= − − Чутка поинтегрировав, получим: = 0 − + ln0 20 = 0 −+ ∫ ln20Используя законы изменения массы: 2 = 0 −+ [(1 − ) ln(1 − ) + ]2 2 2 = 0 −+22ВСЁ!!!!!!!!!88.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
