Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры (10-е изд., 2005) (1004043), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Найдите объем параллелепипеда. 3 2. Линейные преобразования евклидовых пространств 1. Преобразование, сопряженное данному. Все сказанное в предыдущей главе о линейных преобразованиях линейных пространств остается, конечно, в силе и для евклидовых пространств. С введением скалярного произвсдсния преобразования приобретают новые свойства подобно тому, как векторы приобретают длину. О п р е д е л е н и е. Линейное преобразование А* евклидова пространства называется сопряженным преобразованию А, если для любых векторов х и у имеет место равенство (А(х), О) =- (х, А'Ь)). Допустим, что данное преобразование А имеет сопряженное А*. Выясним, как связаны матрицы преобразований А и А* в некотором базисе е.
Обозначим эти матрицы через А и А', а координатные столбцы векторов т и д через с и т~. Тогда равенство (1) можно переписать в координатной форме (А~)тГз1 = ~тГА"ц, где Г матрица Грама базиса е. Выполнив транспонированис, получаем ~"А Г1=~ ГА*~. (2) Это равенство показывает, что левая и правая части (1) являются билинейными функциями, а А~Г и ГА* -- матрицы этих функций в базисе е. Если значения функций равны при любых ж и д, то матрицы этих функций равны. Поэтому АтГ ГА (3) Итак, матрицы преобразований А и А* связаны соотношением (3).
В частности, если базис ортонормированный, АФ вЂ” Ат (4) Предложение 1. Каждое линейное преобразование евклидова пространства имеет единственное сопряженное преобразование. Для доказательства выберем ортонормированный базис е и рассмотрим линейное преобразование В, матрица которого в базисе е 15 Д.В. Беклемишев а) Чему равна абсолютная величина элемента такой матрицы? б) Докажите, что такие матрицы существуют, если п = 2, где Й-- й натуральное число. 5. Найдите ЯВ-разложение матрицы: 226 Гл. Ъ'П.
Евклидовы и унитарные пространства равна Ат. Подставим В вместо А* в определение (1). Это приведет к очевидному равенству для матриц (А~)тц = с~(А~ и). Таким образом, В является сопряженным для А. Если бы имелось два преобразования, сопряженных одному и тому же А, то в силу (4) их матрицы совпадали бы.
Предложение доказано. Поскольку (А~ )~ = А, из формулы (4) вытекает, что (А")* = А. (5) Для любых двух преобразований А и В из (АВ) ~ = В~А~ получаем (АВ)* = В" А". (6) Из той же формулы (4) следует, что характеристические много- члены А и А* совпадают. Следовательно, собственные значения преобразований и их кратности одинаковы. В качестве приложения понятия сопряженного преобразования дадим геометрическое истолкование теоремы Фредгольма для системы Ах = Ь из п уравнений с и неизвестными. Для этого рассмотрим и-мерное евклидово пространство и ортонормированный базис в нем. Каждый столбец будет координатным столбцом некоторого вектора, а матрица А — матрицей линейного преобразования А. Система совместна, если существует такой вектор х, что 4(х) = 6, т.
е. 6 принадлежит множеству значений 1гпА преобразования А. С другой стороны, сопряженная однородная система А~у = о равносильна условию 4 (д) = о, т. е. является системой уравнений для Кег А". Таким образом, теорема Фредгольма эквивалентна следующему утверждению: Ь Е 1т 4 тогда и только тогда, когда (6, д) = О для любого д б Кег А . Мы приходим к такой ее формулировке: Предложение 2. Множество значений преобразования 4 совпадает с ортогональным дополнением ядра его сопряженного преобразования: 1гпА =-- (КегА*) В гл. У мы доказали теорему Фредгольма (для более общего случая), но и эта ее формулировка легко проверяется.
Действительно, для любого х и любого д б Кег 4* (А(т)., д) = (х, А'(д)) = (х, о) = О. Следовательно, 1гп А С (Кег 4') . Сравнение размерностей показывает, что пространства совпадают. 2. Самосопряженные преобразования. Линейное преобразование А евклидова пространства называется самосопряженным, если А = 4*. Это равносильно тому, что (А(х),д) = (х, 4(д)) для любых х и д.
Из формулы (4) следует Предложение 3. Преобразование является самосопряженным тогда и только тогда, когда его матрица в ортонормированном базисе симметрична. ~2. Линейные преобразования евклидовых пространств 227 Собственные значения и собственные подпространства самосопряженных преобразований обладают рядом важных свойств, к изучению которых мы переходим. Ниже нам дважды придется воспользоваться следующими замечаниями: ограничение А' самосопряженного преобразования А на любом инвариантном подпространстве является самосопряженным. Собственный вектор ограничения является собственным и для преобразования. Оба утверждения очевидны.
Они сразу следуют из соответствующих определений и того, что А (х) = А(х) для тех векторов, для которых определено А'. Те о р е м а 1. Все корни характеристического многочлена самосопряженного преобразования вещественны. Д о к а з а т е л ь с т в о. Допустим, что самосопряженцое преобразование А имеет не вещественный корень характеристического много- члена. Тогда согласно предложению 8 ~ 4 гл. Ъ'1 существует двумерное инвариантное подпространство Г', не содержащее собственных векторов А.
Обозначим через А' ограничение А на Г'. Поскольку А — — самосопряженное преобразование, в ортонормированном базисе оно будет иметь симметричную матрицу Характеристический многочлен этой матрицы Л вЂ” (а + 7) Л + + (а 7 —,3~) имеет дискриминант (а + 7) — 4(а 7 — 1з~). Последнее легко преобразуется в (о — 7)2+ 42. Следовательно, дискриминант неотрицателен, характеристический многочлен имеет вещественный корень, а преобразование А' — собственный вектор, что противоречит выбору подпространства Г'.
Теорема доказана. Доказанное утверждение допускает следующую матричную фор- мулировку. Предложение 4. Если А — вещественная симметричная матрица, то все корни уравнения с(еФ(А — ЛЕ) = О вещественны. Т е о р е м а 2. Собственные подпространства самосопряженного преобразования попарно ортогональны.
Теорема равносильна следующему утверждению. Если собственные векторы самосопряженного преобразования принадлежат различным собственным значениям, то они ортогональны. Докажем его. Пусть А(х) = Лх и А(д) = рд, причем Л ф р. Тогда (А(х), д) = Л(х, д). Но иначе можно получить (4(х), д) = (х, 4(д)) = р(х, д). Из этих двух равенств следует (Л вЂ” р)(х, .д) = О, откуда (х, д) = О, как и требовалось. Т е о р е м а 3. Если подпространство Г' инвариантно относительно самосопряженного преобразования А, то ортогональное дополне- 15" 228 Гл. Ъ11. Евклидовы и унитарные пространства ние 6"~- этого подпространства — — также инвариантно относительно 4. Д о к а з а т е л ь с т в о.
Нам дано, что для каждого х из К' образ 4(х) также лежит в Г. Поэтому (А(х), д) = О для любого д Е Ж"-~. Но для самосопряженного А это равносильно (х, 4(д)) = О, и, следовательно, А(д) Е 6"-~, как и требовалось. Теперь мы можем доказать основную теорему о самосопряженных преобразованиях. Теорема 4. Пусть А самосопряженное преобразование евклидова пространства Ж Тогда в 6' существует ортонормированный базис из собственных векторов А.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим через У сумму собственных подпространств преобразования А и докажем, что она совпадает с Ж Сумма собственных подпространств инвариантное подпространство. Действительно, если вектор х раскладывается в линейную комбинацию собственных векторов (принадлежащих каким бы то ни было собственным значениям), то его образ раскладывается по ним же. Из теоремы 3 следует, что ортогональное дополнение У также инвариантно. Допустим, что подпространство У ненулевое и рассмотрим ограничение А преобразования А на У . Это — самосопря! женное преобразование, и потому оно имеет вещественные характеристические числа и, следовательно, хоть один собственный вектор.
Этот вектор собственный и для А и должен лежать в Ж Так как он ненулевой, в .У он лежать не может. Полученное противоречие показывает, что У нулевое подпространство, и ~ совпадает с 6'. Поскольку сумма собственных подпространств - прямая сумма, требуемый базис в 6'можно выбрать как объединение ортонормированных базисов собственных подпространств. Этот базис будет орто- нормированным, так как векторы базиса, лежащие в разных собственных подпространствах, ортогональны по теореме 2. Доказанная теорема допускает такую матричную формулировку.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
