Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры (10-е изд., 2005) (1004043), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Гл. 17. Линейние пространства Теорема 1. Если р(л) = с1е1(А — ЛЕ) многочлен матрицы А, то р(А) = О. Д о к а з а т е л ь с т в о. Если Л не является характеристическим числом матрицы А, то матрица (А — ЛЕ) имеет обратную, элементы которой можно вычислить по формулам (4) ~ 5 гл. У.
Следовательно, характеристический где В(Л) матрица с элементами 6,.(Л) = ( — 1)'+Из(Л), а множители И~ являются минорами порядка и — 1 матрицы (А — ЛЕ) и, следовательно, многочленами от Л степени, не большей п — 1. Поэтому Ь;з (Л) = Ьо. + Лб,', + ... + Л" — 'Ь,", '. Так как линейные операции с матрицами определены поэлементно, в(л) =в +лв +...+л" 'в„ где Вь матрица с элементами о~ (Й = О,...,п — 1). Равенство (1) можно переписать в виде (А — ЛЕ) В(Л) = с1еС(А — ЛЕ)Е, или (А — ЛЕ)(Во + ЛВ1 + ... + Л ' 'В„1) = р(Л)Е. (2) р(Л)Е = аоЕ+ Ла1Е+ ...
+ Л"а Е. Раскроем скобки в левой части равенства (2) и приравняем матрицы, стоящие при одинаковых степенях Л. Зто законно, так как равенство (2) имеет место для всех Л и по существу означает, что равны друг другу две матрицы, а значит. равны все их соответствующие элементы, являющиеся многочленами от Л. Мы получим АВо АВ1 — во Ав~ — В1 = аоЕ, = а1Е, = а~Е, АВп — 1 Вп — 2 — ап — 1Е> — В„1 —— а„Е Умножим первое из этих равенств на Ао = Е, второе на А, третье — на А и т. д., последнее на А" и сложим все равенства почленно. Тогда справа мы получим р(А) — результат подстановки А в характеристический многочлен, а слева ---- нулевую матрицу, так как все слагаемые взаимно уничтожатся. Это заканчивает доказательство. С л е д с т в и е. Каждое линейное преобразование А линейного пространства У удовлетворяет своему характеристическому уравнению р(А) = О.
Обозначим коэффициенты характеристического многочлена через ао.,а1, ...,а„. Тогда ~ 7. Теорема Жордана 207 2. Корневые подпространства. Рассмотрим и-мерное комплекс- ное линейное пространство У и его линейное преобразование А. Ха- рактеристический многочлен преобразования р® раскладывается на множители в общем случае так: р® = (-1)" (~ — Л,)' (~ — Л,)"'...(~ — А,)" . Именно ради возможности такого разложения мы предполагаем пространство комплексным. Если характеристический многочлен ли- нейного преобразования вещественного пространства имеет только вещественные корни, то все следующие ниже результаты справедли- вы и для такого преобразования. Рассмотрим рациональную функцию 1/р® и разложим ее на эле- ментарные дроби. Для наших целей разложению удобно придать вид 1 И~) + + 6.() ,(~) (~ ~,)л, " (~ А,)а, После приведения к общему знаменателю мы получаем тождество 1=01(~)+...+о,®, где д,(1) многочлен„равный произведению ~,;(1) на многочлен, по- лучаемый из р® вычеркиванием множителя (Й вЂ” Л,)~': ~®= ' ~ „(а=1,...,з).
(ю — л,) ~г Подставим в полученное тождество преобразование А вместо 1: е — О,+...+О, (3) Преобразования Я; = д,,(А) обладают тем свойством, что ЯЯ =О при юф~. (4) Действительно., в произведение д,®д (1) входят все множители. со- держащиеся в разложении р(1), и при подстановке преобразования А это произведение превращается в нулевое преобразование. Умно- жая (3) на Я, и используя (4), мы получим для любого з = 1, ...,8 Я;=Я,Я;. (5) Теперь мы можем разложить пространство У в прямую сумму.
Действуем обеими частями равенства (3) на произвольный вектор х: х = Я1(х) + ... + Я,(х), (6) или х = х1 + ... + х„где х, = Я,(х) Е Я,( У). Разложение такого вида единственно. Действительно, допустим, что х = д1+ ... + д„где д, Е Е Я,(.У) (г = 1, ...,а). Это значит, что найдутся такие векторы ~,, что д, = Я,(~,).
Теперь, действуя на обе части равенства = О (- )+" + О,(~.) преобразованием Я,, мы получаем Я,(х) = Я,(~;) в силу свойств (4) и (5), т. е.х; = д;, как и требовалось. Гл. КГ. Линейные пространства 208 Равенство (6) означает, что У вЂ” сумма подпространств Я,( У), а единственность разложения равносильна тому, что сумма прямая: ~ = О,( ~) е ... е О,(~).
(7) По предложению 3 84 подпрострапства Я,(.У) инвариантны. Они называются корневыми подпространствами. Обозначим их через М; (г = 1, ..., з). Мы доказали П ред ложен и е 1. Каково бы ни было линейное преобразование А комплексного пространства У, это пространство раскладывается в прямую сумму корневых подпространств преобразования А. Ниже мы покажем, как разложить корневое подпространство в прямую сумму инвариантных подпространств, но сначала докажем Предложение 2..Я.', = Кег(А — Л,Е)~* для любого г. Доказательство. В произведение (г — Л;)"'д;(1) входят всемножители, составляющие характеристический многочлен. Поэтому из теоремы Гамильтона Кэли следует, что (А — Л; Е) ~* Я; = О.
Это означает, что для любого х Е У выполнено (А — Л;Е)~'Я,(х) = о, т. е. Я,(х) Е Кег(А — Л,Е)~*', Я,(У) С Кег(А — Л;Е)~'. С другой стороны, пусть х Е Кег (А — Л;Е)~'. В каждое преобразование Я при ~ ф г входит множитель (А — Л,Е)~', обращающий х в нуль. Поэтому формула (6) для такого х имеет вид х = Я,(х). Значит, х Е Я,(У'), и поэтому Кег(А — Л,Е)~' С Я.;( ~~~).
Предложение доказано. С л е д с т в и е. Собственное подпространство принадлежит соответствующему корневому подпространству: Кег(А — Л,;Е) С Л„. Действительно, если (А — Л,Е)(х) = о, то и (А — Л,Е)~'(х) = о. В силу предложения 2 формула (7) может быть написана так: У = Кег (А — Л1Е) ~' 63 ... В Кег (А — Л,, Е)~'. (8) 3. Строение корневого подпространства. Рассмотрим одно корневое подпространство,Я.'; и ограничение преобразования (А— — Л;Е) на нем. Обозначим это ограничение через В. Индекс г для краткости будем пропускать.
Предложение 2 означает, что В * = О. й, Преобразования, некоторая степень которых равна нулевому пре- образованию, называются нильпотентными. Итак, рассматривается комплексное линейное пространство Л' и его нильпотентное преобразование В. В (х) = о для любого х, но вполне может случиться, что для кай кого-то х при й ( й будет В"(х) = о. Число й такое, что В"(х) = о, но Вл 1(х) ф о называется высотой вектора х. Векторы высоты 1 со- ставляют ядро В, т. е. собственное подпространство А.
Пусть ш— 9 7. Теорема Иордана 209 максимальная среди высот всех векторов. Она называется показателем нильпотентности преобразования. Ясно, что т < Й. Подействовав на обе части включения В(А') С г преобразованием В~ ~, мы видим, что В" (.4.") С В~ ~(Л') для любого 6 и 1о) = В (А') С В '(.Ж') С ... С В(,Я С А. Обозначим через 'М'~ пересечение Ва(М') с собственным подпространством Кег В.
Из предыдущих включений следует (о)=.Р™СУ С...СМ' С КегВ. Выберем в Кег В базис следующим образом: базис в М'™ 1 дополним до базиса в ~', полученный базис дополним до базиса ~' и т. д. В результате получится базис е~~, ...,е~ в Кег В, обладающий тем свойством, что векторы из любого М' раскладываются только по тем векторам базиса, которые лежат в ~' ". Ь Пусть базисный вектор ед лежит в У', но не в У' + .
Тем самым он принадлежит к В (М'), и существует вектор е~~ такой, что с~с = 6 = В (е~ь). Этот вектор мы назовем 6-м присоединенным к с~а. Вообще, вектор е =В (е,) (7=1,...,6) (9) называется 2-м присоединенным к е~~. Из формулы (9) видно, что В(е)=В +(е)=е Таким обРазом, по ео опРеДелена Цепочка вектоРов ео, его ..., е", УДовлетворяющая равенствам В(е ) = е, В(е ) = е, ..., В(е") = е" . (10) Такие цепочки векторов называются жордановыми цепочками. Самые длинные цепочки начинаются с векторов из М' и имеют длину ш. Если е," ф ".р", то он единственный вектор в своей цепочке. В~+~(е") = В(ер) = о. Поэтому из (9) следует, что Р-й присоединенный вектор имеет высоту 1+ 1. Обозначим через е систему векторов, получающуюся объединением всех жордановых цепочек, начинающихся с векторов е1, ...,е,1. Предложение 3.
Система векторов е является базисом в М. Д о к а з а т е л ь с т в о. 1'. Линейную независимость системы е нетрудно проверить индукцией по числу векторов в системе. Действительно, если в системе один вектор, то он собственный, и утверждение очевидно. Пусть любая система из з собственных и присоединенных к ним векторов линейно независима при условии, что входящие в нее собственные векторы линейно независимы. Рассмотрим произвольную систему такого вида„содержащую з+ 1 векторов, и какую- 14 Д.В. Беклемишев Гл. И. Линейные пространства нибудь линейную комбинацию векторов этой системы, равную нулю.
Покажем, что она тривиальная. Для этого подействуем на нее преобразованием В. В силу формул (10) мы получим равную нулю линейную комбинацию этой же системы, но содержащую меньше векторов, так как все собственные векторы перейдут в нуль. По предположению индукции все коэффициенты последней линейной комбинации равны нулю. Но это — коэффициенты исходной линейной комбинации, стоящие там при присоединенных векторах. Значит, исходная комбинация могла содержать ненулевые коэффициенты только при собственных векторах.
Собственные векторы линейно независимы, и потому ни одного ненулевого коэффициента нет. 2'. Докажем, что каждый вектор х из А можно разложить по системе е. Сделаем это с помощью индукции по высоте вектора х. Высоту 1 имеют собственные векторы. Они раскладываются по базису е, ..., е,, составляющему часть системы е. Пусть утверждение доказано для векторов высоты < 6. Рассмотрим произвольный вектор х высоты 6+ 1. Для него вектор В (х) собь ственный и принадлежит В ( л,").
Следовательно, В (х) б ~' . Пусть йп1 .~' = р. По построению базиса в Кег В векторы ео, ..., е~ — базис 6 в ~', и В (х) раскладывается по этим векторам. Все они имеют 6-е 6 6 присоединенные, и потому В (х) = а1В (е ) + ... +арВ (е„). Это означает, что вектор у = х — о1е — ... — оре удовлетворяет к ь равенству В (д) = о, т. е. имеет высоту ( 6. По предположению инь дукции р раскладывается по системе е. Отсюда сразу получается разложение х по этой системе. Базис е, построенный в предложении 3, называется жордановым базисом корневого подпространства А, а объединение жордановых базисов всех корневых подпространств жордановым базисом в У'.
Векторы жордановой цепочки, начинающейся с ео, — — — часть жорданова базиса и, значит, линейно независимы. Поэтому они базис в их линейной оболочке Ж'. Такое подпространство Ж'. называется циклическим. Если х Е ®з, то в силу формул (10) В(х) =В(аое,+а1е +...+аье ) =а1е.+...+сц,,е еЖ,. Следовательно, М' инвариантно относительно В. Так как  — ограничение преобразования (А — Л,;Е) на А = А;, то циклическое подпространство инвариантно также и относительно А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
