Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры (10-е изд., 2005) (1004043), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Упражнения 1. Докажите, что каждое подпространство, лежащее в Кег А, и каждое подпространство, содержащее 1гп 4, инвариантно относительно 4. 2. Докажите, что сумма и пересечение инвариантных подпространств инвариантны. / 3. Докажите, что размерность подпространства ~~, определенного в предложении 8, — четное число. 4. Пусть А: У вЂ” ~ У. Докажите, что У= КегА® 1гпА тогда и только 2 тогда, когда Кег А = Кег А.
5. Пусть У' = КегА Ю 1гпА. Какой вид имеет матрица преобразования А в базисе е, если е1, ..., е„Е 1гп А, а е„~л, ..., е Е Кег А? 6. Пусть х и у — столбцы высоты и. Докажите, что с1еЦЕ+ хут) = = 1+х у. 7. Найдите собственные значения и собственные подпространства преобразования, заданного матрицей — 2 6 6 3 3 — 2 95.
Линейные функции 191 8. Каждой квадратной матрице порядка п сопоставляется ее транспонированная матрица. Этим определено преобразование Т пространства матриц. Найдите его собственные векторы и собственные подпространства. Докажите из этих соображений, что каждая матрица однозначно представляется как сумма симметричной (А" = А) и кососимметричной (Ат = — А).
9. Пусть А и  — квадратные матрицы одного порядка и йе1 А ~ О. Докажите, что характеристические многочлены матриц АВ и ВА совпадают. 10. Пусть А диагонализуемо. Докажите, что ограничение А на любом инвариантном подпространстве также диагонализуемо. 11. В исходном базисе преобразование А задано матрицей — 2 7 — 1 Найдите какой-либо базис, в котором его матрица А' — верхняя треуголь- ная и напишите эту матрицу.
9 5. Линейные функции 1. Определение функции. Мы будем рассматривать линейное пространство У', вещественное или комплексное. Слово "число', употребленное без уточнения, означает комплексное число для комплексного пространства и вещественное число для вещественного. О п р е д е л е н и е. Будем говорить, что на линейном пространстве У задана функция г от одного вектора, если каждому вектору х Е Е ~." сопоставлено число г(х), а также, что задана функция а от двух векторов, если каждой упорядоченной паре векторов х, .д из ~' сопоставлено число ~(х, д). Функции на бесконечномерных пространствах, элементы которых сами являются функциями, называют функционалами.
Пусть пространство.2' имеет размерность гг. При выбранном базисе каждому вектору х из .2' сопоставлены и его компонент ~~, ..., ~". Напомним, что в математическом анализе функцией от и перемен- ных называют закон, который ставит в соответствие некоторое число каждому упорядоченному набору из и чисел ~', ..., ~", входящему в определенную совокупность таких наборов. Таким образом, при выбранном базисе функция 1 на линейном пространстве .У задается функцией от и переменных, определенной на множестве всевозможных наборов ~1, ..., ~". Если базис изменится, тому же вектору х будут соответствовать новые компоненты, и, следовательно, прежняя функция г будет задана новой функцией от и переменных.
2. Линейные функции. Вводом О п р е д е л е н и е. Функция 1 на линейном пространстве Р называется линейной, если для любых х и д из,У и любого числа а выполнены равенства г(х+ д) = г(х) + г(д), г(ах) = аХ(х). (1) Гл. И. Линейные пространства Читатель может заметить, что линейная функция на пространстве Р не является новым для него объектом. Это в точности то же самое, что линейное отображение У в одномерное арифметическое пространство. П р и м е р 1. Функция, сопоставляющая каждому вектору число О, линейная. Функция, сопоставляющая всем векторам одно и то же число, отличное от нуля, не линейная, так как для каждой линейной функции 1(о) = О.
П р и м е р 2. Рассмотрим геометрическое пространство векторов — направленных отрезков. Выберем в нем некоторый фиксированный вектор а. Каждому вектору х можно сопоставить число ~ = (а, х). Ясно, что равенства (1) выполнены, и мы имеем линейную функцию. П р и мер 3. Пусть в и-мерном пространстве У выбран базис е. Сопоставим каждому вектору х его д-ю компоненту в базисе е. Очевидно, что это соответствие — — линейная функция на У. Мы обозначим ее р'.
Так может быть построено и функций рд, ..., р". Конечно, они зависят от того, какой базис в У был выбран. П р и м е р 4. Рассмотрим пространство Ж функций, определенных и непрерывных на отрезке (О, 1~ (пример 1 ~1). Пусть о — — фиксированная функция из Ж Тогда каждой функции и из Ж можно сопоставить число Нетрудно проверить, что это соответствие линейный функционал. Еще один линейный функционал на том же пространстве ®' мы получим, если сопоставим каждой функции и ее значение в нуле и(0). Рассмотрим и-мерное линейное пространство У и выберем в нем базис ед,...,е„.
Значение линейной функции 1 на векторе х может быть выражено через координаты этого вектора ~д, ..., (". 1(х) = 1(~~ед + ... + ~"е„) = ~~1(ед) + ... + ~"1(е„). Числа д(ед), ..., д(е„) не зависят от вектора х, а определяются только функцией 1 и базисом. Мы доказали следующее Предложение 1. Каждая линейная функция на и-мерном линейном пространстве в произвольном базисе е задаетсл линейным однородным многочленом (2) от координат вектора в этом базисе. Коэффициенты многочлена рд, ..., ~р„равны значениям функции на базисных векторах.
Значения функции 1 на векторах базиса е удобно называть компонентами или коэффициентами функции 1 в базисе е. Матрица линейного отображения и-мерного пространства в одномерное имеет размеры 1 х и, т. е. это строка длины и. Предоставим читателю проверить, что это строка ~~ ~рд ...~р„~~. Формула (2) в матричном виде уо. Линейные функции записывается так: (3) Каждая строка ~р по формуле (3) определяет линейную функцию. В самом деле, <р(~ + ц) = <р('+ ~рт~ и ~р(с~~) = сыр®.
Формула (6) ~ 3 выражает матрицу отображения в новых базисах через его старую матрицу и матрицы перехода к новым базисам. Так как в одномерном арифметическом пространстве базис фиксирован раз и навсегда, для линейной функции эта формула принимает вид (4) Здесь ~р — строка коэффициентов функции в базисе е, а ~р' — строка ее коэффициентов в базисе е' = е5. Разумеется, формулу (4) легко получить и непосредственно. Действительно, ~р', = 1(е',) = ~рсг; для любого г. Координатный столбец ст; вектора е', есть г-й столбец матрицы перехода Я. Отсюда прямо следует (4).
3. Сопряженное пространство. В ~3 введены определения линейных операций для линейных отображений. В применении к линейным функциям эти определения формулируются так. Определение. Суммой линейных функций 1 и ~ называется функция и, значение которой для любого вектора х определяется равенством Ь(х) = 1(х) + я(х). Произведением линейной функции 1 на число о называется функция ~, значение которой на векторе х определяется как д(х) = аК(х). Предложение 2. Пусть | и ц — линейные функции, а ~р и ф— их строки коэффициентов в некотором базисе е. Тогда сумма 1+ + ц --- линейная функция, и ее строка коэффициентов равна <р+ ф. Для произвольного числа а произведение а1 линейная функция, и ее строка коэффициентов есть снр Докажем первую часть предложения. Вторая часть доказывается аналогично. Для произвольного вектора х значения функций записываются как 1(х) = ~о~ и ~(х) = ф(.
Тогда значение суммы 1 + ~ на том же векторе равно у( + ф~ = (~р + ф)~. Это показывает, что 1+ д— линейная функция со строкой коэффициентов ~р + ф. Предложение 3. Множество .У всех линейных функций на п-мерном линейном пространстве У по отношению к введенным выше линейным операциям представляет собой и-мерное линейное пространство.
Действительно, существует взаимно однозначное отображение множества У на множество строк длины п, причем сумме функций соответствует сумма строк, а произведению функции на число произведение ее строки на это число. Поскольку аксиомы линейного 13 Д.В. Беклемишев Гл. 1'7. Линейные пространства пространства выполнены для операций со строками, они будут выполнены и для операций в У' . Следовательно, У линейное пространство, изоморфное пространству строк длины п.
О п р е дел е н и е. Линейное пространство.У' всех линейных функций на линейном пространстве У называется сопряженным для У'. Выберем базис е в пространстве У и рассмотрим линейные функции р' (г = 1, ..., и), определяемые равенствами р'(х) = (', где ~' — г-я координата вектора х (пример 3). Это означает, что р'(е.) = ' ..' (г,~ = 1, ...,п), (5) или, иначе, строка коэффициентов функции р' есты-я строка единичной матрицы. Отсюда легко следует, что функции р', ..., р" линейно независимы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
