Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры (10-е изд., 2005) (1004043), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Беклемишев Предложение 9. Линейное отображение А имеет обратное тогда и только тогда, когда оно --- изоморфизм. Рассмотрим линейное отображение А: У вЂ” ~ У и выберем базисы е и Г в У и ~."'. Пусть А матрица отображения А в этих базисах. 1'. Пусть А — — изоморфизм. Тогда А --- невырожденная квадратная матрица и имеет обратную матрицу А 1. Рассмотрим отображение В: .~ — + У, определяемое матрицей А 1 в базисах Г и е.
Очевидно, что оно удовлетворяет условиям (8), и потому является обратным для А. Гл. ?7.,Линейные пространства 178 2. Пусть А не изоморфизм. Тогда либо г < т, либо г < и. В первом случае в .У' найдется вектор и, не принадлежащий 4( У). Если существует обратное отображение, мы приходим к противоречию: и = А(А 1(и)) Е А(.У). Во втором случае существует вектор ~ ~ о, ~ е Кег А. Если существует А 1, мы приходим к противоречию: г = = А '(4(~)) = А '(о) = о.
Одновременно мы доказали, что матрица обратного отображения в базисах ?' и е есть А Упражнения 1. Все квадратные матрицы порядка 2 умножаются справа на матрицу 1 2 3 2 4 6 Этим определено отображение А пространства матриц порядка 2 в пространство матриц размеров 2 х 3. Найдите: а) матрицу этого отображения в стандартных базисах (упр.
1 8 1); б) базис в Кет А; в) базис в ?тА. 2. Какому условию должна удовлетворять матрица С размеров 2 х 3 для того, чтобы отображение, определенное в упр. 1, было инъективным? Может ли оно быть сюръективным? 3. Пусть С~ — пространство функций, имеющих й непрерывных производных на отрезке (О, Ц. Дифференцирование отображает Сь в С . Проверьте, что это — линейное отображение.
Будет ли оно: а) инъективным; б) сюръективным? 4. Пусть А: У вЂ” ~ У и Ф'= А( ~,"). Определим отображение А': У-+ Ф' равенством А'(х) = А(х). Докажите, что: а) КетА = КетА; б) В,дА = ВдА; в) А сюръективно. 5. Пусть .х' = У'1 63 х' и х = х1+х, х1 Е х'1, х Е Ы'е. Определим преобразования Р1 и Ре пространства Я формулами Р1(х) = х1 и Р (х) = = х (такие преобразования называются проектироеанипми). Докажите, что Р1 + Р. = Е, Р1 Р. .= Р2Р1 — — О, Р; '= Р, (г = 1, 2), где О нулевое, а Е тождественное преобразования. 6. Докажите теорему 2, приводя матрицу линейного отображения элементарными преобразованиями строк и столбцов к виду (7).
7. Пусть 4 — линейное отображение. Верно ли, что: а) 4( ~" й У"') = 4( х'") й 4(У"); б) А( х'" Г1 У"') С А( х") йА( У"')? 3 4. Задача о собственных векторах 1. Линейные преобразования. Линейное преобразование это отображение, которое отображает линейное пространство в то же самое пространство. В этом параграфе мы будем заниматься исключительно преобразованиями. Все результаты об отображениях верны и для преобразований, но здесь должны быть сделаны существенные оговорки, касающиеся координатной записи преобразования.
~~. Задача о собспгвеннвгх векторах Именно, для координатной записи отображения А: У вЂ” «У выбираются базисы в обоих пространствах У и У . Если же пространст- I ва У и ~." совпадают, естественно пользоваться одним и тем же базисом и для векторов, и для их образов. Поэтому вводится следующее Определение. Митрицей линейного преобразования А: У' — «.У в базисе е = ~~ ег ...
е„~~ называется матрица, столбцы которой — координатные столбцы векторов А(ег), ..., А(е„) в базисе е. В соответствии с этим определением формула (6) ~3 для матрицы преобразования принимает вид А' = Я 'АЯ. (1) Множество матриц А', получаемых из данной матрицы А по формуле (1), уже, чем множество матриц, получаемых из той же матрицы А по формуле (6) ~ 3 при несвязанных между собой матрицах Я и Р. В более узком множестве, вообще говоря, не найдется матрицы канонического вида (7) ~ 3, и теорема 2 ~ 3 не верна для преобразований.
Не следует думать, что это --- случайное обстоятельство, связанное с "неудачным" определением матрицы преобразования. Матрица отображения задает это отображение, и потому все свойства отображения содержатся среди свойств его матрицы. Свойствами отображения являются те свойства его матрицы, которые инвариантны, т.
е. не меняются при переходе к другой паре базисов, а остальные описывают как бы его расположение по отношению к базисам. Теорема 2 ~ 3 по существу означает, что единственным свойством отображения является его ранг. Линейные преобразования имеют больше свойств, чем линейные отображения. Это связано с тем, что образ вектора лежит в том же пространстве, и мы получаем возможность говорить о взаимном расположении вектора и его образа.
Например, приобретают смысл вопросы о том, коллинеарен ли вектор своему образу, имеют ли ядро и множество значений ненулевое пересечение. Для отображения У' в другое пространство ~' эти вопросы лишены смысла. Естественно, что матрица преобразования должна иметь больше инвариантных свойств, чем матрица отображения, а это означает, что множество матриц, задающих преобразование в различных базисах, должно быть уже, чем соответствующее множество для отображения. 2. Умножение преобразований. Линейные преобразования обладают той особенностью, что произведение определено для любых преобразований одного пространства.
В частности, если А и В преобразования пространства ~, то определены АВ и ВА. Эти произведения, вообще говоря, различны. Однако может случиться., что АВ = ВА. В этом случае говорят, что А и В перестановочньг или комлутируют. Произведение АА естественно обозначить А~ и определить целую 12" 180 Гл.
17. Линейнь~е пространства положительную степень А по индукции соотношением Аь = АА~ Нулевой степенью преобразования по определению считают тождественное преобразование Е. Линейное преобразование В, представленное как линейная комбинация целых неотрицательных степеней преобразования А ооЕ+ о1А+ ... + а~А~, называется многвчленол от преобразования А или, точнее, значением многочлена р® = ао + а11 + ... + сц1ь на преобразовании А, и обозначается р(А).
Нетрудно проверить, что любой многочлен от А перестановочен с А и что любые два многочлена от А перестановочны. Отметим, что при нашем определении матрицы преобразования сохраняется все сказанное о связи алгебраических операций над отображениями с соответствующими операциями над их матрицами. В частности, матрицей произведения ВА преобразований в базисе е будет произведение ВА их матриц, и для произвольного много- члена р(А) матрицей в каком-либо базисе будет матрица р(А). 3.
Инвариантные подпространства. Рассмотрим линейное пространство У и его линейное преобразование А. Определение. Подпространство У С .У называется инвариантныл относительно А, если для каждого вектора х из У' образ А(х) лежит в У', или, что то же, А( У ) С У' П р и м е р 1. Рассмотрим обычное геометрическое пространство и поворот А этого пространства на угол а вокруг заданной оси р. При повороте вектор переходит в вектор, и, следовательно, поворот порождает преобразование трехмерного векторного пространства. Очевидно, что это преобразование линейное. Векторы, лежащие на оси р, образуют одномерное инвариантное подпространство, так как для них А(х) = т.
Векторы, перпендикулярные оси р, образуют двумерное инвариантное подпространство, так как вектор, перпендикулярный оси, после поворота останется сй перпендикулярным. П р и м е р 2. Нулевое подпространство инвариантно относительно любого преобразования. Пример 3. Пространство ~,", рассматриваемое как подпространство, является инвариантным относительно любого преобразования. П р и м е р 4.
Каждое подпространство является инвариантным относительно то кдественного и нулевого преобразований. П р и м е р 5. Ядро преобразования и множество его значений являются его инвариантными подпространствами. Пусть в и-мерном линейном пространстве У задано линейное преобразование А, и пусть Й-мерное подпространство У' инвариантно относительно А. Выберем в ~!' базис е1,...,е„ так, чтобы векторы е1, ...,еь лежали в У'.
Матрица А преобразования А может быть ~~. Задача о собспгвенных векпгорах 181 разделена на четыре подматрицы, или, как говорят, клетки: Аг А2 Аз а.г Клетки Аг, А~, Аз и А4 имеют размеры й х й, й х (п — й), (п — й) х й и (и — й) х (и, — й) соответственно. Докажем, что Аз — — О, т. е. элементы а' матрицы А равны нулю при з' = 1, ..., й и г = й + 1, ..., и.
Действительно, первые й столбцов матрицы А -- координатные СтОЛбцЫ ВЕКтОрОВ А(Е1), ...,А(Ег,). ТаК КаК .У' — ИНВарИаНтНОЕ ПОдпространство, эти векторы лежат в У, и их компоненты по базисным векторам еь+1, ...,е равны нулю. Легко видеть, что и, обратно, если в каком-либо базисе матрица линейного преобразования А имеет вид | ~1 12 О А4 (2) Аг О А2 Такие матрицы называются клеточно-диагональными или блочно-диагональными. Итак, имеет место Предложение 2.
Матрица линейного преобразования является клеточно-диагональной тогда и только тогда, когда базис есть то линейная оболочка векторов ег, ..., еь инвариантна относительно А. В самом деле, в этом случае для всех г = 1, ...,й имеем А(е ) = = а'ег+ ... + сг"еь, и потому образ линейной комбинации векторов ег, ..., ег, есть линейная комбинация этих же векторов. Матрицы вида (2) называют клеточно-треугольныли.
Получено Предложение 1. Матрица линейного преобразования клеточно- треугольная тогда и только тогда, когда линейная оболочка базисных векторов ег, ..., ег, — инвариантное подпространство. Если мы поместим в инвариантное подпространство не первые Й базисных векторов, а базисные векторы с номерами р+ 1, ...,р+ Й при каком-то р, то повторением тех же рассуждений мы получим для элементов матрицы А равенства сг' = О при з' = р+ 1, ...,р+ й и г ( р + 1 или г ) р + Й. Это значит, что в столбцах с номерами р+ 1, ...,р+ Й может быть отлична от нуля только квадратная клетка порядка Й в строках с теми же номерами, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
