Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры (10-е изд., 2005) (1004043), страница 39
Текст из файла (страница 39)
+д„гдето;,д; Е ~'* (г =1, ...,в). Тогда (х~ — д1) + ... + (х, — д,,) = о. Если хоть одна из разностей отлична от нуля, мы получаем противоречие со свойством а). 3. Докажем теперь также от противного, что из свойства б) следует в). Не уменьшая общности, мы можем допустить, что У имеет ненулевое пересечение с суммой ~ + „, +.У', В этом случае существует ненулевой вектор ~ = х1 б У, представимый в виде суммы х2 + ... + т,. Но равенство х1 — — х2 + ... + х, означает, что ~ двумя способами представлен как сумма векторов, выбранных по одному из каждого У .
4. Докажем, наконец, что из свойства в) следует г). Рассмотрим систему векторов, получаемую объединением базисов подпространств У' (т = 1, ..., з). Каждый вектор из суммы У' обязательно раскладывается по этой системе, и нам остается доказать, что при условии в) эта система линейно независима. Сделаем это от противного. Допустим, что существует равная нулю нетривиальная линейная комбинация всех векторов, входящих в рассматриваемые базисы подпространств ~" (г = 1, ...,з). Сгруппируем слагаемые в этой линейной комбинации так, чтобы объединить все слагаемые, относящиеся к одному подпространству. Мы получим равенство вида х1+ ...
+ х, = о, где хотя бы один вектор отличен от нуля. Не уменьшая общности, можно считать, что это к1. Тогда х1 = — х2 — ... — х,. Это значит, что ненулевой вектор х1 Е принадлежит также сумме У + ... + У'. Получено противоречие со 2 Гл. 17. Линейные пространства 170 свойством в). Это заканчивает доказательство всего предложения.
Отметим как частный случай свойства в), что сумма двух подпространств прямая, если их пересечение нулевое. Легко видеть, что при сложении подпространств можно произвольно расставлять и убирать скобки. Это относится и к прямой су м- ~,~1, У2) с, ~ У~3 . У4) У~~1 ~Р2 . У~3 У~4 Если У" С .У", то .У'+ У"' = У"'. В частности, для любого подпространства У + ~ = У .
Предложение 6. Для любого подпространства У" пространства ~," найдется такое подпространство У"', что У = У" 6~ У"'. Д о к а з а т е л ь с т в о. Выберем базис с1, ..., еь подпространства У и дополним его до базиса пространства .У векторами ел+1, ..., е . Линейную оболочку еь+1, ..., е„обозначим через У". Из предложения 5 видно, что У = У 63 У . Теорем а 1.
Размерность суммы двух подпространств равна сумме их размерностей минус размерность их пересечения. Если сумма прямая, утверждение справедливо: размерность равна сумме размерностей, а пересечение нулевое. Пусть теперь У и У подпространства с ненулевым пересечением. Согласно предложению 6 найдется такое подпространство Ф, что ~,"~ = .ФВ ( У' Г1 У~). Тогда У~ + У~ = У~ + ( У~ Г1.2'~) + Ф'.
Отсюда видно, что 2'~ +.У~ = .У~ + Ф', так как (.У~ й.У~) С .У~. Докажем, что .2' + Ф' — прямая сумма. Для этого рассмотрим 1 произвольный вектор ~ Е У й.Ф: Из з Е Ф'С ~' следует ~ Е У' Г1 Г1 Р, а следовательно, г Е ( У Г~ У ) Г1 Ф. Отсюда з = о, и пересечение У й Ф нулевое. По определению прямой суммы с11гп( У~ + У'~) = йп1 У~ + сПгп Ф. Кроме того, с1пп У~ = йтп( У~ й У~) + с1пп,Ф: Вычитая эти равенства почленно, приходим к требуемому заключению.
Уиражнения 1. В линейном пространстве У заданы векторы а1, аз и аз с координатными столбцами 9 10 11 12 в базисе е1, е~, ез, е4. Найдите базис их линейной оболочки У . 2. Найдите систему уравнений, задающую подпространство.У из упр. 1. 3. Найдите какое-нибудь подпространство Ф, которое вместе с подпространством У' из упр.
1 удовлетворяет условию .!с = ~.'" ® Ф'. 4. Подпространство У' определено в упр. 1, подпространство У натянуто на векторы Ь1 и Ьа с координатами 1,1,1,2 и 2,2,2,5. Найдите: а) базис в У' + У ; б) базис в У П У . ~ 3. Линейные отображения 5. В четырехмерном пространстве заданы: а) четыре подпространства; б) пять подпространств; в) пять ненулевых подпространств. Может ли их сумма быть прямой? 3 3. Линейные отображения 1. Определение.
Пусть У и ~~ два линейных пространства, оба вещественные или оба комплексные. Под отображением А пространства Т в пространство У понимается закон, по которому каждому вектору из У' сопоставлен единственный вектор из .У. Мы будем писать А: У -+ У. Образ вектора х обозначается А(х). Определение.
Отображение А: У'-+ У называется линейным, если для любых векторов х и д из У и любого числа а выполнены равенства А(к+д) = А(х) + А(д), А(ат) = аА(х). (1) Следует подчеркнуть, что знак + в левой и правой частях первой из формул (1) обозначает две, вообще говоря, различные операции: сложение в пространстве .2' и сложение в пространстве Ж Аналогичное замечание относится и ко второй формуле. Линейное отображение мы будем называть линейным преобразованием, если пространства У и У совпадают. Пример 1. Пусть Л - фиксированное число. Сопоставим каждому вектору х пространства У вектор Лх. Легко видеть, что это - —— линейное преобразование. П р и м е р 2.
При аффинном преобразовании плоскости двумерное пространство векторов, на ней лежащих, отображается само на себя. В силу формул (11) ~ 2 гл. 1У вЂ” это линейное преобразование. П р и мер 3. Выберем в и-мерном линейном пространстве. У' какой- нибудь базис. Это сопоставит каждому вектору его координатный столбец и тем определит линейное отображение пространства У в п-мерное арифметическое пространство (пространство столбцов).
Пусть Т вЂ” вещественное пространство. Сопоставляя каждому вектору его первую компоненту в выбранном базисе, мы получаем линейное отображение ~е в линейное пространство вещественных чисел. П р и м е р 4. Пусть Со ~ — 1, Ц и Со ~0, 2~ пространства функций, непрерывных соответственно на отрезках ~ — 1, Ц и ~0, 2~. Сопоставим функции ~® из первого пространства функцию ~р(а) = 1"(а — 1) из второго. Это отображение, очевидно, является линейным.
Пример преобразования можно получить, если сопоставить функции из Со( — 1, Ц ее первообразную К(1), удовлетворяющую условию К(0) = О. П р и м е р 5. Рассмотрим и-мерное арифметическое пространство М" и прямоугольную матрицу А размеров т х и. Сопоставим Гл. 17. Линейные пространства столбцу ~ Е Я" столбец А(. Он имеет высоту ти. Таким образом, определено отображение,У" в,У™.
В силу свойств умножения матриц это отображение линейное. П р и м е р 6. Отображение, сопоставляющее каждому вектору из .У нулевой вектор из х', является линейным. Оно называется нулевым отображением. В дальнейшем в этом параграфе п и ш будут обозначать размерности пространства .У и У соответственно. Из определения немедлеьпю вытекает, что при линейном отображении линейная комбинация векторов переходит в такую же линейную комбинацию их образов. Нулевой вектор переходит в нулевой, поскольку А(о) = А(Ох) = = ОА(х) = о. (Обратим внимание, что нулевые векторы пространств.У и .У мы обозначаем одинаково.) Из сказанного следует., что при линейном отображении линейно зависимые векторы отображаются в линейно зависимые.
Как показывает пример 6, обратное вовсе не обязательно верно. Предложение 1. При линейном отображении А: .У вЂ” + У линейное подпространство Т' С У переходит в линейное подпространство А(.У') С У, причем Йт А( У') < сйп У'. Для нулевого подпространства утверждение очевидно. Рассмотрим подпространство У' размерности й ) О. Пусть е1,...,еь базис в .У' . Для любого вектора х Е .У имеем х = ~~в~ + ... + (~еь и А(х) =- А(~~е1+ ...
+ ~~еь) =- ~~А(е1) + ... + ~~А(еь). (2) Это означает, что произвольный элемент множества А( У') образов всех векторов из У есть линейная комбинация векторов А(е1), ... ..., А(ед). Наоборот, каждая такая линейная комбинация, очевидно, является образом вектора из У'. Итак, множество А(У') — линейная оболочка А(е1), ..., А(еь), и, следовательно, есть подпространство.
Размерность его не превосходит й в силу предложения 1 ~ 2. Необходимо отметить частный случай доказанного предложения: множество образов всех векторов из У является подпространством А( У) в У. Оно называется множеством значений отображения и обозначается 1т А.
О п р е д е л е н и е. Размерность множества значений отображения называется рангом отображения. Если ранг А равен т, то А( У) совпадает с .У, и каждый вектор из .У является образом некоторого вектора из У. Отображение, обладающее этим свойством, называется сюрьентивным отображением. Определение. Множество векторов, отображающихся в нулевой вектор при отображении А, называется ядром отобра"кения А и обозначается Кет А. Предложение 2. Ядро есть линейное подпространство в У.
~ 8. Линейные отображения 173 Действительно, ядро не пусто: оно во всяком случае содержит нулевой вектор. Далее, если 4(х) = о и 4(у) = о, то 4(ах +,од) = аА( )+,ЗА(У) — . Пусть ядро А ненулевое: оп КегА > 1. Тогда каждый вектор из А(У) имеет бесконечно много прообразов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
