Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры (10-е изд., 2005) (1004043), страница 36

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 36)

Любым двум функциям ~ и д из Ж можно сопоставить их сумму, которая принадлежит Ж Вещественному числу а и функции ~ сопоставляется функция а~ — произведение функции на число, которое также принадлежит Ж Легко видеть, что основные свойства линейных операций те же, что для векторов и для матриц, причем роль нуля играет функция, тождественно равная нулю. Вспомним одну из важных задач математического анализа: по заданной функции ~(х) найти ее первообразную, т.

е. такую функцию К(х), что Г'(х) = ~(х). Общее решение этой задачи, как известно, таково: если существует хоть одна первообразная Ео, то любая из них может быть получена по формуле Р(х) = Ро(х) + С, где С произвольная постоянная. Заметим, что постоянная — решение однородного уравнения Р'(х) = О. Теперь очевидно, что эта формула сходна с общим решением системы линейных уравнений: общее решение есть сумма одного из решений и общего решения однородного уравнения. Сходство здесь, конечно, не случайное. Оно следует из совпадения алгебраических свойств операций дифференцирования и матричного умножения по отношению к линейным операциям.

Естественно возникает необходимость исследовать множество, состоящее из элементов какой угодно природы, в котором определены 158 Гл. 17. Линейные пространства операции сложения двух элементов и умножения элемента на число. Эти операции могут быть определены любым образом, лишь бы они обладали определенным набором свойств. О и р с д е л е н и е.

Множество У называется линейным пространством, а его элементы векторами, если: задан закон (операция сложения), по которому любым двум элементам х и у из У сопоставляется элемент из У, называемый их суммой и обозначаемый х+ д; задан закон (операция умножения на число), по которому элементу х из У и числу а сопоставляется элемент из У, называемый произведением х на а и обозначаемый ах; для любых элементов х, д и ~ из У' и любых чисел а и,З выполнены следующие требования (или аксиомы): 1) х+д = у+х; 2) (х + у) + ~ = х+ (у + ~); 3) существует элемент о такой, что для каждого х из У выполнено х+о= х; 4) для любого х существует элемент — х такой, что х + ( — х) = о; 5) а(х+ у) = ах+ ау; 6) (а + Ях = — ах + ~3х; 7) а(,Зх) = (аД)х, 8) произведение х на число 1 равно х, т.

е. 1х = х. Если мы ограничиваемся вещественными числами., то Ы' называется вещественным линейным пространством, если же определено умножение на любое комплексное число, то линейное пространство У называется комплексным. Вектор — х называется противоположным вектору х, вектор о на- зывается нулевым вектором или нулем. Мы будем обозначать векторы строчными латинскими буквами, а числа, как правило, греческими. П р и м е р 2. Пусть У' множество всех многочленов от одной переменной, степень которых не превосходит заданного числа п. Сумма двух многочленов из У многочлен степени не выше п и, следовательно, принадлежит .2'. Произведение многочлена из У на число также принадлежит Ж Аксиомы линейного пространства выполнены и в этом случае.

Роль нуля играет многочлен, все коэффициенты которого равны нулю. У' будет вещественным или комплексным пространством, смотря по тому, рассматриваем мы многочлены с вещественными или с комплексными коэффициентами. П р и м е р 3. Множество комплексных чисел по отношению к обычным операциям сложения и умножения на комплексное число будет комплексным линейным пространством. Аналогично, множество вещественных чисел по отношению к обычным операциям является вещественным линейным пространством.

~1. Основные понятия 159 П р и м е р 4. Множество комплексных чисел по отношению к обычной операции сложения и умножения на вещественное число представляет собой вещественное линейное пространство. П р и м е р 5. Существует линейное пространство, состоящее из одного элемента. Его элемент является нулем и самому себе противоположным. Такое пространство называется нулевым и обозначается 1о1. Операции в нем задаются равенствами о+ о = о и оо = о. 2. Простейшие следствия. Из аксиом, входящих в определение, вытекает, что может быть только один нулевой вектор и для каждого вектора только один противоположный. Действительно, допустим, что существуют два нулевых вектора о1 и о2.

Тогда их сумма должна быть равна каждому из них: о1 + о2 — — о1 — — о2. Аналогично, если какой-нибудь вектор х имеет два противоположных — х1 и — х2, то сумма ( — х1) + х + ( — х~) должна быть равна и — х1, и — х2. Равенство о+ о = о означает, что противоположным для нулевого вектора является он сам, а из равенства х + ( — х) = о следует, что противоположным для — х является вектор х. Сумму векторов д и — х мы будем обозначать д — х и называть разностью векторов д и х. Легко видеть, что Ох = о для любого вектора х. В самом деле, Ох = Ох + х — х = (1 + О)х — х = о.

Отсюда вытекает, что ~ — 1)х = — х для любого х. Действительно, ( — 1)х+ т = ( — 1+ 1)х = Ох = о. Отметим также, что произведение любого числа на нулевой вектор равно нулевому вектору, поскольку ао = а(х — х) = ах — ах = о. Если ах = о, то либо а = О, либо х = о. В самом деле, если а ф О, то, умножая равенство ах = о на о 1, получаем 1х = о В сказанном здесь читатель заметит мало нового: таковы же свойства операций с векторами и с матрицами.

Теперь мы видим, что все это верно и в произвольном линейном пространстве. Выражение вида а1х1+ ... + аьхь, как и в предыдущих главах, мы будем называть линейной комбинацией векторов х1, ..., х~ с коэффициентами а1, ..., а~. 3. Линейная зависимость. По аналогии с соответствующими определениями для векторов и для матриц мы можем дать определения линейно зависимой и линейно независимой системы векторов в линейном пространстве. Напомним, что линейная комбинация называется тривиальной, если все ее коэффициенты равны нулю. О п р е д е л е н и е.

Система векторов в линейном пространстве .У называется линейно независииои, если нулевой вектор раскладывается единственным образом по этой системе векторов. Иными словами, векторы линейно независимы, если из равенства нулю их линейной Гл. г'г'. Линейные пространства 160 комбинации следует, что она тривиальная. Наоборот, если существует нетривиальная линейная комбинация, равная нулевому вектору, то система векторов называется линейно зависимой. В ~ 1 гл.

1 и ~ 1 гл. Ч мы получили свойства линейно зависимых и линейно независимых систем векторов (направленных отрезков) и матриц. При их доказательстве использовались только те свойства линейных операций, которые совпадают с аксиомами линейного пространства. Поэтому для систем векторов в любом линейном пространстве имеют место те же свойства. Приведем только формулировки, так как доказательства не отличаются от доказательств соответствующих предложений ~ 1 гл.

У. Предложение 1. Система из й ) 1 векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из векторов есть линейная комбинация остальных. Предложение 2. Если в систему векторов входит нулевой вектор, то система линейно зависима. Предложение 3. Если некоторые из векторов аг, ...,аь составляют сами по себе линейно зависимую систему, то вся система аг, ...,аь линейно зависима. П ред ложен и е 4.

Любые векпгоры, входящие в линейно независимую систему векторов, сами по себе линейно независимы. Предложение 5. Если вектор раскладывается по линейно независимой системе векторов, то коэффициенты разложения определены однозначно. 4. Базис. Введем Определение. Базисом в линейном пространстве У мы назовем упорядоченную конечную систему векторов, если: а) она линейно независима; б) каждый вектор из У раскладывается в линейную комбинацию векторов этой системы. В определении сказано, что базис упорядоченная система векторов.

Это означает, что из одного и того же множества векторов можно составить разные базисы, по-разному нумеруя векторы. Коэффициенты линейной комбинации, о которой идет речь в определении базиса., называются компонентами или координатами вектора в данном базисе. Векторы базиса ег, ..., е„мы будем записывать в виде строки: е = = !) ег ... е„!), а компоненты ~г, ..., ~" вектора х в базисе е — в столбец: который назовем координатным столбцом вектора. Теперь разложение вектора по базису можно записать в любом ~1. Основные понятия 161 из следующих видов: и х = ~ ~'е; = )) е1 ... е„)) Из предложения 5 непосредственно следует, что компоненты вектора в данном базисе определены однозначно.

Предложение 6. Координатный столбец суммы векторов равен сумме их координатных столбцов. Координатный столбец произведения вектора на число равен произведению координатного столбца данного вектора на это число. Для доказательства достаточно выписать следующие равенства: х + у = е~ + еи = е® + ц), ах = ае(' = е(аф, где ~ и и — — координатные столбцы векторов х и д. Здесь использованы свойства умножения матриц предложения 3 и 4 ~ 2 гл.

У. Из предложения 6 видно, что координатный столбец линейной комбинации векторов есть линейная комбинация их координатных столбцов с теми зке коэффициентами. Отсюда следует Предложение 7. Векторы линейно зависимы тогда и только тогда, когда линейно зависимы их координатные столбцы. Предложение 8. Если в линейном пространстве существует базис из и векторов, то любая система из т > и векторов линейно зависима. Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что в пространстве существует базис е1, ...,е„, и рассмотрим систему векторов Г1, ..., 1', причем т > и. Каждый из векторов 1'1, ..., ~ мы разложим по базису и составим матрицу из их координатных столбцов. Это матрица размеров и х т, и ранг ее не превосходит и.

Характеристики

Список файлов книги