Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры (10-е изд., 2005) (1004043), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Например, из чисел 1 и 2 образуются две перестановки: 1, 2 и 2, 1. Перестановку чисел 1, ..., и обозначим г1....., г„. Число гь виновно в нарушении порядка в перестановке г1, ..., г„, если оно стоит левее меньшего числа: й ( 8, но г1, ) гл Например, при и = 4 в перестановке 2, 4, 3, 1 числа 2 и 3 виновны каждое в одном нарушении порядка, а число 4 в двух. Итак, общее число нарушений порядка в перестановке равно четырем. Число всех нарушений порядка в перестановке г1, ...,2'„мы обозначим Х(г1, ...,2„). Перестановка называется четной, если Х(г1, ..., г„) — четное число, и нечетной в противном случае.
Докажем формулу полного разложения: а11 ... а1„ (10) ан1 ... а„„ Сумма в правой части равенства берется по перестановкам. Это означает, что каждой перестановке чисел 1, ..., и соответствует слагаемое. Слагаемое для перестановки г1,...,1„, составляют так: берут из 1-й строки г1-й элемент, из 2-й строки г2-й элемент и т. д. и перемножают их.
В результате в произведение входит по одному и только по одному элементу из каждой строки и каждого столбца. Произведения складываются со знаками, определяемыми четностями соответствующих перестановок. Формулу (10) мы докажем по индукции. Пусть при и = 2 дана матрица О11 О12 а21 а22 Двум перестановкам 1, 2 и 2, 1 отвечают, соответственно, слагаемые ( — 1)~~~ ~)а11а22 и ( — 1)~1~ ~)и12и21. Их сумма равна а11а22— — а12а21, т.
е. как раз детерминанту данной матрицы. Допустим, что формула верна для матриц порядка и — 1, и докажем ее для произвольной матрицы А порядка о. Напишем разложение Йе$ А по первой строке: с1еФА = ) ( — 1) +'агади. (и) 1=1 В й-е слагаемое этого разложения входит множитель 41ь, равный детерминанту подматрицы Р1~. Порядок этой матрицы 12 — 1, и по предположению индукции Йм = с1е1 Рм = ) ( — 1) """"-')а2.„пз., а„,„„.
(11,...,1„1) Здесь все номера г1, ...,г„1 отличны от Й, а первые индексы у сомножителей равны 2, ..., и, так как, сохраняя старые обозначения для элементов матрицы А, мы должны учесть, что в Р1ь не входят первая строка и Й-й столбец. ф4. Детерминанты 145 Теперь в й-м слагаемом формулы (11) можно внести множитель ( — 1) "+ а1д, под знак суммы и записать это слагаемое так: ( 1) а1ЙА3с = ~~)' ( Ц ' ' " а1иа2й аз~~" аы„ (гд,...,г„д) Числа Й, г1, ..., г 1 образуют перестановку чисел 1, ..., п, причем Х(л:, г1, ..., гь 1) = Х(г1, ..., г„1) + й — 1д Упражнения 1.
Пусть А — квадратная матрица порядка и. Выразите сдеФсдА через с1е(А. 2. Пусть А — квадратная матрица порядка 2п+1, и А = — А. Докат жите, что с1ес А = О. 3. Докажите, что детерминант любой треугольной матрицы равен произведению ее диагональных элементов. 4. Вычислите 1 О 8 1 1 4 О 3 2 О 9 3 1 5 4 1 5. Матрица А порядка дд содержит нулевую подматрицу размеров тп х й, причем ш+ й > и. Докажите, что сдеФ А = О. 6. Пусть матрица Р порядка и разделена на 4 подматрицы так: Здесь А и С вЂ” — квадратные матрицы порядков й и и — й, а О - — нулевая матрица размеров (и — й) х й.
Докажите, что с1еФ Р = сдет А с1е1 С. 7. К каждому элементу матрицы А прибавлено одно и то же число 1. Пусть получившаяся матрица А®. а) Докажите, что с1еФ А(1) = И+ б, где Й и Ь не зависят от 1. б) Найдите Й и б. 8. Вычислите детерминант порядка и: 2 1 1 — 1 2 1 1 1 — 1 — 1 ... 2 1 — 1 — 1 ... — 1 2 10 Д.В. Беклемишев так как правее й стоит ровно й — 1 чисел, меньших й.
Следовательно, Х(Й, ~1, ..., г'„1) имеет ту же четность, что и Х(г1, ..., г„1) + Й + 1, и мы имеем ( — 1) "+'ад ьд1ь = ~ ( — 1) ( '"""""-д) а1ьаЗ;, аЗ;, ...а„,,„,. (гд,...,г„д) В правой части этого выражения собраны все те члены из суммы (10), которые соответствуют перестановкам, имеющим й на первом месте. В сумму (11) входят слагаемые для любого й, и потому сумма (11) содержит все члены суммы (10) и, конечно, не содержит никаких других членов. Этим формула полного разложения доказана.
1л. 1'. Матрицы и системы линейных уравнений 146 9. Два квадратных многочлена ахе+ Ьх+ с и ах'+ 1?х+ 1, имеют общий корень. Докажите, что а Ь с О О а Ь с а Д 'у О О о 3 -у 10. Сколько нарушений порядка в перестановке (5, 4, 3, 2, 1)? 9 5. Системы линейных уравнений (основной случай) 1. Постановка задачи. Систему уравнений вида а1х1 + а1х2 + + а1 хи — Ь1 1 2 2 1+ 2.2+ + 2 и, Ь2 атХ1 + атХ2 + + атХи Ь™ 1 2 '" и мы будем называть системой т линейных уравнений с и неизвестными х', ..., х". Коэффициенты этих уравнений мы будем записывать в виде матрицы а1 а2 ... а 1 1 1 о,"' т ... о '1 '2 ' ' си а1 а1 ...
а1 Ь1 1 2 " и ат ат ат Ьт 1 2 "' и Если свободные члены всех уравнений равны нулю, то система называется однородной. О п р е д е л е н и е. Совокупность и чисел а~, ..., аи называется решением системы (1), если каждое уравнение системы обращается в ЧИСЛОВОЕ раВЕНСтВО ПОСЛЕ ПОдСтаНОВКИ В НЕГО ЧИСЕЛ а1, ..., О и ВМЕСТО соответствующих неизвестных х', ..., х . Пользуясь определением линейных операций со столбцами, мы можем записать систему (1) в виде 1 а 1 аи х ат 1 называемой латрицей системы. Числа, стоящие в правых частях уравнений, образуют столбец Ь, называемый столбцом свободных членов. Матрица системы, дополненная справа столбцом свободных членов, называется расширенной матрицей системы и в этой главе обозначается А*: уй.
Системы линейных уравнений (основной случай) 147 (пример 1 ~ 1) или, короче, х аг + ... + х"а„„= Ь, где аг, ..., а„— столбцы матрицы системы, а Ь вЂ” столбец свободных членов. Отсюда сразу вытекает следующая интерпретация решения системы линейных уравнений.
Предложение 1. Решение системы линейных уравнений это совокупность коэффициентов, с которыми столбец свободных членов раскладывается по столбцам матрицы системы. Используя умножение матриц, можно записать систему (1) еще короче: Ах = Ь (пример 1 ~ 2). Выбор обозначений определяется решаемой задачей. Наша цель состоит в нахождении всех решений системы (1), причем мы не делаем заранее никаких предположений относительно коэффициентов и свободных членов системы и даже относительно числа уравнений и неизвестных.
Поэтому могут представиться различные возможности. Система может вообще не иметь решения, как система х~+х- = 1, х~+х~ = О определяющая две параллельные прямые. Система может иметь бесконечное множество решений, как система (и = 2, т = 1) х~ + х2 = О, решением которой является любая пара чисел, равных по модулю и отличающихся знаком. Примеры систем, имеющих одно-единственное решение, в изобилии встречаются в школьном курсе. Системы, имеющие решения, называются совместными, а не имеющие решений несовместными. Как следствие предложения 1 и предложения 6 ~ 1 мы получаем П р е д л о ж е н и е 2.
Если столбцы матрицы системы линейно независимы, то система не может иметь двух различных решений: она или несовместна, или имеет единственное решение. Основным средством исследования и решения систем линейных уравнений для нас будут элементарные преобразования матриц. Причину этого показывает Предложение 3.
Элементарным преобразованиям строк расширенной матрицы системы (1) соответствуют преобразования системьс уравнений, не меняющие множества ее решений. Действительно, если строка матрицы А" умножается на число Л ф О, то преобразованная матрица является расширенной матрицей для системы, получаемой из (1) умножением соответствующего уравнения на Л. Если в матрице г-я строка прибавляется к 7'-й, то в системе уравнений г-е уравнение прибавляется к 7'-му. В любом случае преобразованная система является следствием исходной. Но элементарные преобразования обратимы, а значит, и исходная система может быть получена из преобразованной и является ее следствием.
Поэтому множества решений обеих систем совпадают. 1о" Гл. К Матрицы и системы линейных уравнений 2. Основной случай. В этом параграфе мы рассмотрим основной случай, когда число уравнений равно числу неизвестных: т = и. Кроме того, мы наложим определенные ограничения на коэффициенты системы. Если этого не сделать, то нам придется изучать здесь, например, и систему из одного уравнения, повторенного и раз. Мы хотим, чтобы ни одно уравнение не было следствием остальных. Для этого во всяком случае необходимо, чтобы ни одно из них не было линейной комбинацией остальных (в действительности, этого и достаточно, но мы можем не вникать сейчас в этот вопрос).
В случае т = и для линейной независимости уравнений необходимо потребовать, чтобы матрица системы была невырожденной, или, что то же, чтобы ее детерминант был отличен от нуля. Действительно, если одно из уравнений линейная комбинация остальных с коэффициентами о1, ..., а„1, то соответствующая строка расширенной матрицы есть линейная комбинация остальных строк с теми же коэффициентами.
То же относится и к матрице системы. Теорема 1. Пусть дана система из и уравнений с и неизвестньсми а'х' + а'хз + ... + а1хи = ь" 1 2 а2х1 + а'-х~ + + а2 т" — о2 1 2 (2) а1х' + а~ х- '+ ... + а,",х" = о". Если детерминант матрицы системы отличен от нуля, то система имеет решение, и притом только одно. В самом деле, зная предложение 1, мы можем сформулировать эту теорему иначе. Пусть А квадратная матрица порядка и и с1еФ А ~ О. Тогда любой столбец Ь высоты и раскладывается по столбцам А, и коэффициенты разложения определены однозначно. Так как отличие детерминанта от нуля равносильно невырожденности матрицы, это утверждение совпадает с теоремой 1 ~ 2.
3. Правило Крамера. Правилом Крамера называются формулы для нахождения решения системы из и уравнений с и неизвестными и детерминаптом, отличным от нуля. Для того, чтобы найти значения неизвестных, составляющие решение, выберем произвольный номер неизвестной ~ и рассмотрим детерминант матрицы, получаемой из матрицы системы заменой ее г-го столбца столбцом свободных членов Ь: Ь' = с1еФ ~)а1 ... а, 1 Ь а,+1 ... а„~! . Если х1, ..., х" — - решение, то Ь = х1а1+ ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
