Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры (10-е изд., 2005) (1004043), страница 30

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 30)

на, то у нее существует обратная, и мы можем написать равенство Ь = АА 1Ь. Из него видно, что столбец Ь получается умножением матрицы А на столбец А 1Ь и, следовательно, является линейной комбинацией столбцов матрицы А. Для доказательства последнего утверждения достаточно вспомнить, что столбцы невырожденной матрицы линейно независимы, и сослаться на предложение 6 ~ 1. Применяя теорему 1 к транспонированной матрице, мы получаем Следствие. Пусть А — невырожденная матрица порядка п. Тогда любая строка длины и раскладывается по строкам А, причем коэффициенты разложения однозначно определены. Гл. К Матрицы и системы линейных уравнений 7. Найдите обратную для матрицы 1 О О 1 1 2 1 1 3 8.

Разложите матрицу из упр. 7 в произведение элементарных. 8 3. Ранг матрицы 1. Определение. Введем О п р е д е л е и и е. Пусть в матрице А существует линейно независимая система из г строк, и нет линейно независимой системы из большего числа строк. Тогда мы будем говорить, что строчньш" ранг матрицы А равен г. Нулевая матрица не содержит никакой линейно независимой системы строк, и ее строчный ранг по определению равен нулю. Аналогично определяется столбцовый ранг матрицы. Он равен г1, если есть линейно независимая система из г1 столбцов, и нет линейно независимой системы из большего числа столбцов.

Столбцовый ранг нулевой матрицы по определению равен нулю. Предложение 1. Система из г строк линейно независима тогда и только тогда, когда в этих строках найдется невырожденная подматрица порядка г. Д о к а з а т е л ь с т в о. 1'. Пусть г строк линейно зависимы. Рассмотрим произвольную подматрицу порядка г, расположенную в этих строках. Если строки линейно зависимы, то также линейно зависимы (с теми же коэффициентами) и отрезки этих строк, составляющие подматрицу, и подматрица является вырожденной.

2'. Обратное утверждение докажем по индукции. Одна строка линейно независима, если она не нулевая. В этом случае она содержит ненулевой элемент, составляющий невырожденную подматрицу порядка 1. Пусть теперь даны г линейно независимых строк. Первые г — 1 из них также линейно независимы, и по предположению индукции содержат невырожденную подматрицу порядка г — 1. Пусть з1, ..., 7'„ — номера столбцов этой подматрицы. Рассмотрим отрезок г-й строки, расположенный под подматрицей, т. е. составленный из элементов с номерами з1, ..., з, 1.

По следствию из теоремы 1 ~ 2 этот отрезок раскладывается в линейную комбинацию строк подматрицы. Коэффициенты этой линейной комбинации обозначим а1,...,а, Теперь будем рассматривать полные строки. Вычтем из последней строки линейную комбинацию предыдущих с теми же коэффициентами а1, ..., а„1. Это обратит в нуль з1, ..., з„1-й элементы г-й строки, но не всю строку, так как строки линейно независимы. Таким образом, в преобразованной г-й строке есть ненулевой элемент а', и его ~3. Ранг матрицы номер ~ отличен от номеров ~1, ..., з„ В преобразованной матрице рассмотрим столбцы, имеющие номера з1, ..., з„1, з. (Мы для удобства пишем ~ на последнем месте, хотя в действительности столбцы располагаются в порядке возрастания номеров.) Легко видеть, что эти столбцы линейно независимы.

Действительно, пусть а1аз, + ... + о„1а „, + оа = о (1) их нулевая линейная комбинация. Тогда для последних элементов столбцов а10+ ... + а,„10+ аа" = О. Так как а" ф О, отсюда следует а = О, и мы получаем а1а,, + ... + а„1а.„, = о. Если бы среди коэффициентов этой линейной комбинации были отличные от нуля, то столбцы с номерами ~1, ..., з„1 были бы линейно зависимы. Это противоречило бы тому, что исходная подматрица порядка и — 1 невырождена. Таким образом, все коэффициенты в (1) равны нулю., и столбцы с номерами ~1, ..., ~„1, ~г линейно независимы. Отсюда следует, что составленная ими подматрица порядка г невырождена. Невырождена соответствующая подматрица и в непреобразованной матрице, так как элементарными преобразованиями мы превратили ее в невырожденную матрицу.

Это заканчивает доказательство. О п р е д ел е н и е. В матрице А размеров т х п подматрица порядка г называется базисной, если она невырождена, а все квадратные подматрицы большего порядка, если они существуют, вырождены. Столбцы и строки матрицы А, на пересечении которых стоит базисная подматрица, называются базисными столбцами и строками А. В силу предложения 1 базисные столбцы и строки линейно независимы. О п р е д е л е н и е. Рангом матрицы называется порядок базисной подматрицы или, иначе, самый большой порядок, для которого существуют невырожденные подматрицы. Ранг нулевой матрицы по определению считают нулем. Отметим два очевидных свойства ранга. ° Ранг матрицы не меняется при транспонировании, так как при транспонировании матрицы все ее подматрицы транспонируются, и при этом невырожденные подматрицы остаются невырожденными, а вырожденные вырожденными. ° Если А' подматрица матрицы А, то ранг А' не превосходит ранга А, так как любая невырожденная подматрица, входящая в А', входит и в А.

2. Основные теоремы. Из предложения 1 прямо следует теорема о ранге матрицы: Те о р е м а 1. Ранг любой матрицы равен ее строчному рангу и ее столбцовому рангу. Действительно, если строчный ранг А равен г, то в А найдется линейно независимая система из г строк, а значит, и невырожденная Гл. К Матрицы и системы линейных уравнений подматрица порядка г. Если при этом есть р ) г различных строк А, то они линейно зависимы, и любая подматрица порядка р в них вырождена. Столбцовый ранг равен строчному рангу А~, значит, и рангу А~, а потому — рангу А.

Таким образом, мы видим, что все три определения на самом деле определяют одно и то же число, и впредь не будем их различать. Будем говорить ранг матрицы и обозначать его ВдА. Из теоремы о ранге матрицы мы получаем теорему о базисном миноре, на которую существенно опирается все дальнейшее изложение. Слово "минор" означает "детерминант подматрицы". В частности, базисный минор ---- это детерминант базисной подматрицы.

О детерминантах будет речь в следующем параграфе, а здесь это слово можно воспринимать просто как составную часть названия теоремы. Теорема 2. Каждый столбец матрицы раскладывается в линейную комбинацию ее базисных столбцов. Д о к а з а т е л ь с т в о. Каждый из базисных столбцов, разумеется, раскладывается по базисным: для этого достаточно взять его самого с коэффициентом 1, а остальные с нулевыми коэффициентами. Пусть теперь а — не базисный столбец.

Базисные столбцы обозначим через а;,, ..., а, . По теореме о ранге матрицы любые г + 1 столбцов линейно зависимы, и найдутся такие коэффициенты, что а1аг + ... + с~та;,„+ оа~ — — о. При этом мы можем быть уверены, что а ~ О, так как иначе это равенство означало бы линейную зависимость базисных столбцов. Деля на а, мы получаем нужное нам разложение а~ —— — о а1аг ... — си сита;„ Следствие. Каждая строка матрицы раскладывается по ее базисным строкам. 3. Ранг произведения матриц. Согласно предложениям 6 и 7 ~ 2 элементарные преобразования не меняют столбцового ранга. Таким образом, справедливо П р е д л о ж е н и е 2.

Ранг матрицы не меняется при элементарных преобразованиях. Отсюда и из предложения 9 ~ 2 прямо следует Предложение 3. Если матрица А невырождена и определены произведения АВ и СА, то В~АВ = Ве:В и ВяСА = ВяС. В общем случае имеет место Предложение 4. Ранг произведения двух матриц не превосходит рангов сомножителей. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть определено произведение АВ. Рассмотрим матрицу Р, составленную из всех столбцов матриц А и АВ.

Так как А — подматрица, В~ АВ ( Ва Р. ~3. Ранг матрицы По предложению 1 ~ 2 столбцы А — — линейные комбинации столбцов А. Легко видеть., что приписывание к матрице линейной комбинации ее столбцов не меняет ранга матрицы. Действительно, не меняя ранга, элементарными преобразованиями столбцов мы можем обратить приписанный столбец в нулевой, а добавление нулевого столбца не создает новых невырожденных подматриц. Отсюда следует, что Вд В = И,е: А. Итак, Вд АВ < В,8 А.

Аналогично доказывается, что Вл: АВ < Ве В. Для этого надо составить матрицу Х)' из всех строк матриц В и АВ. 4. Нахождение ранга матрицы. Введем О п р е д е л е н и е. Матрица размеров т х и называется упрощенной (или имеет упрощенный вид), если некоторые г ее столбцов являются первыми г столбцами единичной матрицы порядка т и, в случае т ) ) г, ее последние гп — г строк — нулевые. Предложение 5.

Каждую матрицу с помощью элементарных преобразований строк можно превратить в упрощенную матрицу. Д о к а з а т е л ь с т в о. Если матрица нулевая, то она уже упрощенная (г = 0). В общем случае применим метод Гаусса. В предложении 8 ~ 2 мы превратили квадратную невырожденную матрицу элементарными преобразованиями строк в единичную матрицу. Это --- частный случай доказываемого предложения. То обстоятельство, что матрица невырождена, использовалось, когда мы в очередной строке преобразованной матрицы находили ненулевой элемент.

В общем случае ненулевой элемент может не найтись, т. е. очередная строка окажется нулевой. Все встречающиеся нулевые строки будем переставлять на последние места и будем продолжать преобразования так, как при доказательстве предложения 8 ~ 2. Преобразования закончатся, когда либо будут исчерпаны все строки, либо останутся только нулевые строки. При этом не существенно, квадратная матрица или нет. Конечно, может случиться, что некоторые столбцы не будут превращены в столбцы единичной матрицы, но это нам и не требуется.

Пусть всего в столбцы единичной матрицы преобразовано г столбцов. Если остались строки ниже г-й, они нулевые, иначе преобразования можно продолжить. Предложение доказано. Пусть мы привели матрицу А к упрощенному виду, и в упрощенной матрице А', столбцы а „, ...,а, О1 « ... з„) превращены в столбцы единичной матрицы е1, ..., е,. Можно считать, что а., -+ еь для всех Й = 1, ..., г. Это достигается перестановкой строк. Рассмотрим упрощенную матрицу А'. В ней есть невырожденная подматрица порядка г, а невырожденных подматриц большего порядка, очевидно, нет.

Характеристики

Список файлов книги