Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры (10-е изд., 2005) (1004043), страница 25

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 25)

Займемся теперь площадями других фигур. Каждый треугольник может быть дополнен до параллелограмма, площадь которого равна удвоенной площади треугольника. Поэтому отношение площади образа треугольника к площади этого треугольника удовлетворяет равенству (5). Каждый многоугольник может быть разбит на треугольники. Следовательно, формула (5) справедлива и для произвольных многоугольников. Мы не будем здесь касаться определения площади произвольной криволинейной фигуры.

Скажем лишь, что в тех случаях, когда эта площадь определена, она равна пределу площадей некоторой последовательности многоугольников, вписанных в рассматриваемую фигуру. Из теории пределов известно следующее предположение: если последовательность Я„стремится к пределу Я, то последовательность бЯ„, где о постоянное, стремится к пределу бЯ. На основании этого предложения мы заключаем, что формула (5) справедлива в самом общем случае. В качестве примера найдем выражение площади эллипса через его полуоси. В 82 гл.

П мы доказали, что эллипс с полуосями а и Ь может быть получен сжатием окружности радиуса а к прямой, проходящей через ее центр. Коэффициент сжатия равен Ь/а. В примере 4 8 2 мы получили координатную запись сжатия к прямой х* = х, р* = Лд. Детерминант из коэффициентов в этих формулах равен Л, т. е. в нашем 9 о. Аффинные преобразования 109 случае о/а. Таким образом, отношение площади эллипса к площади окружности равно о/а, и эта площадь равна Я = (о/а)ла .

Окончательно имеем Я = вагаб. 3. Образы линий второго порядка. Мы видели., что прямая линия переходит в прямую. Это частный случай следующего предложения. Предложение 3. Аффинное преобразование переводит алгебраическую линию в алгебраическую линию того же порядка. В самом деле, пусть линия Л в декартовой системе координат О,е1,е2 имеет алгебраическое уравнение порядка р. Согласно предложению 9 ~ 2 образы всех точек линии х при аффинном преобразовании 1 имеют в системе координат 1(0),1(е1),1(е2) те же координаты, что и их прообразы в системе координат О, е1, ег. Следовательно, координаты образов в системе 1(0), 1(е1), Х(е2) связаны тем же алгебраическим уравнением порядка р. Этого достаточно, чтобы сделать нужное нам заключение. Из предложения 3, в частности, следует, что линия второго порядка при аффинном преобразовании перейдет в линию второго порядка.

Мы докажем более сильное утверждение. Именно, в теореме 1 ~ 1 гл. Ш линии второго порядка были разделены на семь классов. Мы увидим, что класс линии сохраняется при аффинном преобразовании. На этом основании классы линий, перечисленные в указанной теореме, называются аффинными классами. Итак, докажем Предложение 4. Линия второго порядка, принадлежащая к одному из аффинных классов, при любом аффинном преобразовании может перейти только в линию того же класса. Каждую линию второго порядка подходящим аффинным преобразованием можно перевести в любую другую линию того же аффинного класса. Д о к а з а т е л ь с т в о, Линию мы назовем ограниченной, если она лежит внутри некоторого параллелограмма. Легко видеть, что при аффинном преобразовании ограниченная линия должна перейти в ограниченную, а неограниченная — — в неограниченную.

1) Эллипс — ограниченная линия второго порядка. Кроме эллипсов ограничены только линии, состоящие из одной точки, т. е. пары мнимых пересекающихся прямых. Поскольку эллипс ограничен и состоит больше, чем из одной точки, он может перейти только в эллипс. 2) Гипербола состоит из двух отдельных ветвей. Это свойство можно сформулировать так, что будет ясна его неизменность при аффинных преобразованиях. Именно, существует прямая линия, не пересекающая гиперболу, но пересекающая некоторые ее хорды. Из всех линий второго порядка только гиперболы и пары параллельных прямых обладают этим свойством.

У гиперболы ветви не прямые линии, и потому при аффинном преобразовании она может перейти только в гиперболу. Гл. Л'. Преобразования плоскости 3) Парабола — неограниченная линия второго порядка, состоящая из одного непрямолинейного куска. Этим свойством не обладают никакие другие линии второго порядка, и потому парабола может перейти только в параболу. 4) Если линия второго порядка представляет собой точку (пару мнимых пересекающихся прямых), прямую (пару совпавших прямых), пару пересекающихся или пару параллельных прямых, то из доказанных ранее свойств аффинных преобразований следует, что эта линия не может перейти в линию никакого другого класса.

Докажем вторую часть предложения. В теореме 1 ~ 1 гл. 111 канонические уравнения линий второго порядка написаны в декартовой прямоугольной системе координат и содержат параметры а, о, ... Если мы откажемся от ортонормированности базиса, то сможем произвести дальнейшие упрощения канонических уравнений и привести их к виду, не содержащему параметров. Например, замена координат х' = х/а, д' = д/о переводит уравнение эллипса х2/и + да/6~ = 1 в уравнение х'г + д'2 = 1, каковы бы ни были а и о. (Последнее уравнение не есть уравнение окружности, так как новая система координат не декартова прямоугольная.) Читатель без труда покажет, что канонические уравнения линий второго порядка переходом к подходящей системе координат могут быть преобразованы в уравнения: 1) х2 + д2 = 1 2) х2 + д2 = П З) 2 — д2 = 1 4) х2 — д2 = 5) д~ = 2х; 6) д~ — 1 = О; 7) д~ = О. Такую систему координат мы назовем афгринной канонической системой координат.

Из предложения 9 ~ 2 следует, что аффинное преобразование, которое совмещает аффинные канонические системы координат двух линий одного аффинного класса, совмещает и эти линии. Это заканчивает доказательство. 4. Разложение ортогонального преобразования. Т е о р е м а 1. Каждое ортогональное преобразование раскладывается в произведение параллельного переноса, поворота и, возможно, осевой симметрии. Доказательство. Пусть 1 — ортогональное преобразование и ЬАВС вЂ” равнобедренный прямоугольный треугольник с прямым углом А.

При преобразовании 1 он перейдет в равный ему треугольник ЬА'В*С" с прямым углом при вершине А*. Теорема будет доказана, если, производя последовательно параллельный перенос р, поворот ц и (в случае необходимости) осевую симметрию г, мы сможем совместить треугольники АВС и А*В*С*. Действительно, произведение гор — — аффинное преобразование так же, как и Г, а аффинное преобразование однозначно определяется образами трех точек, не лежащих на одной прямой. Поэтому гор совпадает с г. ~3.

Аффинные преобразования Итак, переведем А и А* параллельным переносом р на вектор АА* (если А = А*, то р тождественное преобразование). Затем поворотом ц вокруг точки А* совместим р(В) с В" (возможно, и это преобразование окажется тождественным). Точка ц(р(С)) либо совпадает с С', либо симметрична ей относительно прямой А'В*. В первом случае цель уже достигнута, а во втором потребуется осевая симметрия относительно указанной прямой. Теорема доказана.

Следует иметь в виду, что полученное разложение ортогонального преобразования не однозначно. Более того, можно поворот или параллельный перенос разложить в произведение осевых симметрий, произведение параллельного переноса и поворота представить как один поворот и т. д. Мы не будем уточнять, как это сделать, а выясним следующее общее свойство всех таких разложений. Предложение 5. При любом разложении ортогонального преобразования в произведение любого числа параллельных переносов, поворотов и осевых симметрий четность числа осевых симметрий, входящих в разложение, одна и та же. Для доказательства рассмотрим на плоскости произвольный базис и проследим за изменением его ориентации (направления кратчайшего поворота от е1 к еа) при осуществляемых преобразованиях.

Заметим, что поворот и параллельный перенос не меняют ориентацию ни одного базиса, а осевая симметрия меняет ориентацию любого базиса. Поэтому, если данное ортогональное преобразование меняет ориентацию базиса, то в любое его разложение должно входить нечетное число осевых симметрий. Если же ориентация базиса не меняется, то число осевых симметрий, входящих в разложение, может быть только четным.

Определение. Ортогональные преобразования, которые могут быть разложены в произведение параллельного переноса и поворота, называются ортогональными преобразованиями первого рода, а остальные ортогональными преобразованиями второго рода. Ортогональное преобразование в декартовой прямоугольной системе координат записывается формулами (1) ~ 2. При верхних знаках коэффициентов у д в этих формулах детерминант, составленный из коэффициентов, равен +1, а при нижних знаках он равен — 1. Отсюда и из формулы (4) следует П редло жение 6. Ортогональное преобразование первого рода записывается в декартовой прямоугольной системе координат формулами (1) ~2 с верхними знаками у коэффициентов при д, а ортогональное преобразование второго рода — с нижними знаками. 5.

Разложение аффиыного преобразования. Мы видели, насколько аффинное преобразование может изменить плоскость: окружность может перейти в эллипс, правильный треугольник — — в совершенно произвольный. Казалось бы, никакие углы при этом сохраниться не могут. Однако имеет место следующее.

Характеристики

Список файлов книги