Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры (10-е изд., 2005) (1004043), страница 27
Текст из файла (страница 27)
П р и м е р 1. Пусть р1, ..., рь — столбцы одинаковой высоты и. Тогда столбец с1 той же высоты по ним разложен, если при некоторых коэффициентах а1, ..., а~ Ч = а1Р1 +" + аьРь или, в более подробной записи, р1 В силу определения линейных операций это матричное равенство равносильно и числовым равенствам Ч = а1Р1 + " + а~рь 1 1 1 о" = а1р", + ...
+ аьр~. 5. Линейная зависимость матриц. Какова бы ни была система матриц фиксированных размеров т х и, нулевая матрица тех же размеров раскладывается по этим матрицам в линейную комбинацию с нулевыми коэффициентами. Такую линейную комбинацию называют тривиальной. Как и для векторов, введем следующее О п р е д е л е н и е.
Система матриц А1, ..., Аь линейно независима, если нулевая матрица раскладывается по ней однозначно, т. е. из а1А1+ ... +аьА~ = О (3) следует а1 —— ... — — аь = О. В противном случае, т. е. если существуют й чисел а1, ..., аь, одновременно не равных нулю и таких, что выполнено равенство (3), система матриц называется линейно зависимой. Гл. К Матрицы и системы линейных уравнений 118 Пример 2. Столбцы Е1 —— (в столбце е, на г-м месте стоит 1, а остальные элементы равны нулю) являются линейно независимыми.
Действительно, равенство а1е1 + ... + а„е„= о можно записать подробнее так: О1 ~-~2 + ... + о„ Отсюда видно, что а1 — — а2 — — ... — — о„= О. Это равенство показывает также, что произвольный столбец высоты гь может быть разложен по столбцам е1, ..., е„. Действительно, в качестве коэффициентов линейной комбинации нужно взять элементы раскладываемого столбца. Определение.
Квадратная матрица порядка и, состоящая из столбцов (4): О 1 ... О О О ... 1 называется единичной матри цей порядка о или просто единичной матрицей, если порядок известен . Строки единичной матрицы отличаются от ее столбцов только формой записи. Итак, мы можем сформулировать Предложение 2. Столбцы (строки) единичной матрицы линейно независимы и обладают тем свойством, что каждый столбец (строка) с тем же числом элементов раскладывается по ним.
Укажем несколько свойств линейно зависимых и линейно независимых систем матриц. Эти свойства были доказаны в 8 1 гл. 1 для векторов, и доказательства совпадали с приводимыми ниже. Предложение 2. Система из й > 1 матриц линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы одна из матриц есть линейная комбинация остальных. В самом деле, пусть система линейно зависима. По определению выполнено равенство вида (3), где хотя бы один коэффициент отличен от нуля. Допустим для определенности, что это а1. Тогда мы можем представить первую матрицу как линейную комбинацию с~2 схь А1 — — — — А2 — ...
— — Ад. щ ск1 ~1. Матрицы 119 В = а1А1 + ... + аьАд и В = ~~ А1 + ... +,З~Аь. Вычитая одно разложение из другого, мы получаем О = (о1 —,о1) А1 + ... + (ол — ОЬ) АЬ МатрИцЫ А1, ...,Аь ЛИНЕЙНО НЕЗаВИСИМЫ, ЗНаЧИт, О; — Д = О дЛя всех ~ = 1, ..., Е Итак, коэффициенты обоих разложений совпадают. Упражнения 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1. Дана матрица а) Выпишите подматрицу, расположенную в строках 1 и 3 и столбцах 1 и 3. б) Сколько квадратных подматриц второго порядка имеет данная матрица? в) Сколько всего подматриц она имеет? 2 3 5 6 8 9 1 2 3 4 5 6 2. Даны матрицы А = В= Можно ли сложить матрицы: а) АиВ б) А~иВ.
в) АиВ~. г) А иВ~? 1 1 1 2 2 1 — 1 1 4 3 1 5 3. Даны матрицы А = Обратно, если одна из матриц разложена по остальным, то это разложение преобразуется к виду (3), где один из коэффициентов равен 1. Предложение 4. Если некоторые из матриц А1, ..., Аь составляют сами по себе линейно зависимую систему, то вся система А1, ..., Аь линейно зависима. Действительно, пусть существует нетривиальная линейная комбинация некоторых из матриц системы, равная нулевой матрице. Если мы добавим к ней остальные матрицы с нулевыми коэффициентами, то получится равная нулевой матрице нетривиальная линейная комбинация всех матриц.
В частности, если в систему матриц входит нулевая матрица, то система линейно зависима. Предложение 5. Любые матрицы, входящие в линейно независимую систему матриц, сами по себе линейно независимьь В самом деле, в противном случае мы пришли бы к противоречию на основании предыдущего предложения. Предложение 6. Если матрица В разложена по линейно независимой системе матриц А1, ..., Аь, то коэффициенты разложения определены однозначно. Действительно, пусть мы имеем два разложения ~2.
Умножение матриц 121 Р11 — г' ~ -~ г1 ° 1=1 ~=1 1=1 1=1 2. Определение и примеры. Рассмотрим сначала строку а с элементами а; (г = 1, ..., и) и столбец Ь с элементами 6 (~ = 1, ..., и). Существенно, что в а и в Ь число элементов одинаково. Произведением а на Ь называется число, равное сумме произведений элементов с одинаковыми номерами, т. е. аЬ = и161 + ... + а„б„. Пусть теперь дана матрица А размеров т х и и матрица В размеров и х р. Матрицы таковы, что длина строки (число столбцов) первой матрицы равна высоте столбца (числу строк) второй. Умножим каждую строку А на каждый столбец В.
Полученные тир произведений запишем в виде матрицы С размеров т х р. Именно, каждый столбец С составим из произведений всех строк А на соответствующий столбец матрицы В. Любая строка С состоит из произведений строки А, имеющей тот же номер, на все столбцы В. Таким образом, элементы матрицы С для всех г = 1, ..., т и 1 = 1, ..., р равны С11 — ~~' ПИ Ь~ ° й — 1 О п р е д е л е н и е.
Матрицу С, элементы которой выражаются через элементы матриц А и В по формулам (4), назовем произведением А на В и обозначим АВ. Определение произведения матриц формулируется более сложно и выглядит менее естественно, чем определение суммы. Однако из дальнейшего читатель увидит, что именно такое определение оказывается полезным в целом ряде вопросов.
Как легко заметить, если матрицу В записать как строку из столбцов, то произведение АВ запишется как строка из столбцов так: АВ = А)(Ь1 ... Ь, )! = ))АЬ1 ... АЬ,, !). (5) ла по одному из них, а затем полученные суммы по-другому: (Скобки обычно не пишутся.) Эта двойная сумма содержит слагаемые, соответствующие всевозможным парам значений индексов. Если мы запишем Р,.
для всех г = 1, ...,и и 1 = 1, ...,1и в виде матрицы, то сумма в скобках равна сумме элементов г-й строки, а во внешней сумме складываются результаты для всех строк. То же самое число мы, конечно, .получим, если сначала сложим элементы по столбцам, а затем просуммируем полученные суммы для всех столбцов.
Поэтому и т т и Гл. К Матрииы и системы линейных уравнений 122 Действительно, для получения 1'-го столбца произведения мы умножаем последовательно все строки А на столбец Ь . Аналогично, строки А — — - произведения строк А на матрицу В: а1В а1 а В ат Приведем несколько примеров. П р и м е р 1. Матрица А размеров т х и умножается на столбец х высоты и х1 .2 а1х1 + + а1 хп а2~х1+ ... + аах" а1 ... а„ 1 1 а1 ...
а„ 2 2 Ах = атХ1 + + атХп 1 и, ат .. ат Это столбец высоты т,. В обратном порядке эти матрицы при т ~~ 1 перемножить нельзя: произведение хА не определено. Правую часть последнего равенства можно записать также и как линейную комбинацию столбцов матрицы А ~пример 1 ~ 1).
Это показывает, что столбец Ах есть линейная комбинация столбцов матри- цы А с коэффициентами, .равными элементам столбца х: Ах = х1а1 + ... + х а„. П р и мер 2. Произведение строки длины т на матрицу В размеров ш х и будет строкой длины и: 61 61 Ь2 ... 62 Х,11'„ 1=1 т Хг ~11 Ьт 1 , 2 Х О2 1 а2 х а,„ 1 , 2 С1и х1а1 Х 01 )(а1 ... а„)) = а1 Х™и2 " Х С"н П р и м е р 4. Пусть А — матрица размеров ж х и, е; — г-й столбец единичной матрицы порядка т, а е 1-й столбец единичной матрицы порядка и.
Тогда е~Ае — матрица размеров 1 х 1 с эле- П р и мер 3. Произведение столбца высоты т на строку длины и есть матрица размеров т х и. ~2. Умножение матриц 123 ментом а;.: а11 а21 а1и ази е, Ае~ = ))О а, 1 ... а 1 1 0 0 1 1 0 О 1 1 0 О 0 0 1 1 0 0 1 1 О 0 1 1 Если какие-нибудь две матрицы А и В удовлетворяют равенству АВ = ВА, то они называются перестановочными.
Перестановочные матрицы существуют. Например, единичная матрица порядка п пе- рестановочна с любой квадратной матрицей того же порядка: АЕ=ЕА=А. Вообще, если определены произведения ВЕ и ЕС, то ВЕ=В и ЕС=С. Предоставим читателю самостоятельно проверить это в качестве упражнения на умножение матриц. Равенства (6) выражают важное свойство единичной матрицы, которому она обязана своим названием. Если бы какая-нибудь другая матрица Е' обладала этим свойством, мы имели бы Е'Е = Е и Е'Е = = .Е', откуда следовало бы Е = Е'. Очевидно, что произведение нулевой матрицы О (справа или слева) на любую другую матрицу равно нулевой матрице: АО = О'„ОВ = О". Предложение 1. ~-й столбец матрицы АВ есть линейная комбинация столбцов матрицы А с коэффициентами равными элементам ~-го столбца матрииы В. г-я строка матрицы АВ есть линейная комбинация строк матрицы В с коэффициентами, равными элементам г'-й строки матрицы А.
Оба утверждения доказываются одинаково. Докажем первое. Мы видели, что г-й столбец произведения есть произведение А на г-й столбец В (формула (5)). Но произведение матрицы А на столбец — это линейная комбинация столбцов А с элементами второго сомножителя в качестве коэффициентов (пример 1). 3. Свойства умножения матриц. Умножение матриц не коммутативно.
Если А матрица размеров ш х п, то оба произведения АВ и ВА определены только в том случае, когда В имеет размеры п х т, т. е. такие же, как Ат. При этом А — квадратная матрица порядка т, а ВА — порядка и. Итак, о равенстве АВ = ВА может идти речь, только если А и В квадратные матрицы одного порядка. Но и в этом случае равенство выполнено далеко не всегда.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
