Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры (10-е изд., 2005) (1004043), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Произвольное ортогональное преобразование в декартовой прямоугольной системе координат записывается формулами (2), где ~р угол, на который поворачивается первый базисный вектор, а с1 и с2 — координаты образа начала координат. При этом выбираются верхние знаки, если образы базисных векторов ориентированы так же, как и сами эти векторы, и нижние знаки в противо- положном случае. П р и м е р 1. Параллельный перенос на вектор с сопоставляет точке ЛХ с координатами (х, д) в некоторой декартовой системе координат точку ЛХ* с координатами х : х + с1~ у д + с2~ где с1 и с2 координаты с. П р и мер 2. Напишем уравнения поворота плоскости на угол со вокруг некоторой точки., приняв эту точку за начало декартовой прямоугольной системы координат. В этом случае О = 0* и, следовательно, с1 — — с2 — — О.
Должны быть выбраны верхние знаки. Итак, х* = хсоэ~р — дэшр, д' = хашу+ усоэ~р. П р и м е р 3. Рассмотрим осевую симметрию относительно некоторой прямой. Примем ось симметрии за ось абсцисс декартовой прямоугольной системы координат. Тогда точка М(х, д) переходит в точку ЛХ* с координатами Здесь с1 — — с2 — — О и сз = О при нижних знаках в формулах (2). 2.
Определение линейных преобразований. Основным объектом для нас будет более широкий класс преобразований, включающий в себя ортогональные преобразования. О п р е д е л е н и е. Преобразование Х плоскости Р называется линейным, если на Р существует такая декартова система координат, в ~ 2. Линейные преобразования 101 которой Г может быть записано формулами х* = а1х+ б1д+ с1, (3) д" = а2х + 62д + с2.
Взаимно однозначное линейное преобразование называется аффинным преобразованием. Подчеркнем, что в определении линейного преобразования, вовсе не требуется, чтобы коэффициенты в формулах (3) не обращались в нуль одновременно. Они могут быть любыми. Однако имеет место Предложение 2. для того чтобы преобразование, задаваемое формулами (3), было взаимно однозначным, необходимо и достаточно, чтобы ~о. (4) Таким образом, аффинное преобразование определяется формулами (3) при условии (4). Д о к а з а т е л ь с т в о. Наше утверждение вытекает по существу из предложения 9 ~2 гл. П.
Нам нужно узнать, при каком условии каждая точка плоскости имеет единственный прообраз. Формулы (3) связывают координаты (х*, д*) точки ЛХ' и координаты (х, у) ее прообраза. Их можно рассматривать как систему линейных уравнений для нахождения х и у, и эта система имеет единственное решение при любых свободных членах х" — с1 и д* — с2 (а значит, при любых х* и д") тогда и только тогда, когда выполнено условие (4). Как видно из предложения 1, ортогональные преобразования являются линейными.
Проверка условия (4) показывает, что они аффинные. Рассмотрим другие примеры. Пример 4. Рассмотрим сжатие к прямой (пример 3 ~ 1) и примем эту прямую за ось абсцисс декартовой прямоугольной системы координат. Легко видеть, что в такой системе координат сжатие с коэффициентом Л записывается формулами х* — х, д' = Лд. Сжатие к прямой — аффинное преобразование. Пример 5. Проектирование на прямую (пример 6 ~ 1) в такой декартовой прямоугольной системе координат, для которой эта прямая ось абсцисс, записывается формулами х*=х, у*=О.
Это — линейное, но не аффинное преобразование. П р и м е р 6. Для записи уравнений гомотетии не существенно, чтобы система координат была прямоугольной, но уравнения проще, если начало координат поместить в центр гомотетии. По определению гомотетии с коэффициентом Л вектор О.ЛХ переходит в вектор ОМ' = ЛОЛХ. Если О начало координат, координаты точек ЛХ и ЛХ* будут связаны равенствами х'=Лх, у*=Лд. 102 Гл. Л'. Преобразования плоскости Гомотетия — аффинное преобразование.
П р и м е р 7. Преобразование, сопоставляющее каждой точке плоскости одну и ту же точку С., записывается формулами х* = с1, д* = с2, где с1 и с2 координаты точки С. Оно линейное, но не аффинное. Определение аффинного преобразования содержит упоминание о некоторой определенной системе координат, и заранее не известно, будет ли преобразование записываться формулами вида (3) в какой- либо другой системе координат.
Устраним это сомнение. Предложение 3. В любой декартовой системе координат, линейное преобразование задается формулами вида (3). Д о к а з а т ел ь с т во. Пусть преобразование задано равенствами (3) в системе координат О, е1, ез. Перейдем к системе координат О', е1, е~~. Как мы знаем, старые координаты точки ЛХ(х,д) выражаются через новые координаты (х', д') по формулам (7) ~ 3 гл. 1: х=а1х +Дд + 71, д=а2х +Яу +-~2. (5) Для образа М' точки ЛХ нам нужно будет, наоборот., выразить новые координаты (х", у'*) через его старые координаты (х*, у"). Они выражаются такими же формулами, разумеется, с другими коэффициентами: х'* = Л1х* + р1у' + и1, д'* = Л2х* + р2у' + и2.
Нам требуется найти выражение новых координат (х'*,д'*) точки М' через новые координаты (х', у') точки М. С этой целью подставим в равенства (6) значения х* и д* из формул (3): х'* = Л1(а1х + б1д + с1) + р1(а2х + о2д + с2) + и1, д = Л2(а1х + о1д + с1) + р2(а2х + о2у + сг) + иа. Для нас важно, что правые части этих равенств — многочлены сте- пени не выше 1 относительно х и д: х'* = А1х+ В1д+ С1, д'* = Азх+ В2у+ С2. (7) Подставив сюда выражения х и д по формулам (5), мы найдем искомую зависимость: = А1(а1х + д1д + 71) + В1(02х + ~2д + 72) + С1 ~ у ~2(с~1х + д1у + 71) + Ва(02х + Д2д + 72) + С2.
Мы видим, что правые части этих равенств многочлены степени пе выше 1 относительно х' и у'. Это нам и требовалось доказать. Заметим, что аффинные преобразования выделяются из линейных требованием взаимной однозначности, которое не зависит от системы координат. Поэтому без дополнительных проверок мы можем быть уверены, что формулы, задающие аффинное преобразование в новой системе координат, удовлетворяют условию (4). 3. Произведение линейных преобразований. Доказательство предложения 3 было основано на том, что результат подстановки ~ 2. Линейные ~реобразования г03 многочленов степени не выше 1 в многочлен степени не выше 1 оказывается таким же многочленом. Это же обстоятельство лежит в основе следующего предложения.
Предложение 4. Произведение линейных преобразований является линейным преобразованием. Произведение аффинных преобразований — аффинное преобразование. Доказательство Пусть заданы линейные преобразования» и ~ и выбрана система координат. Тогда координаты точки $(М) выражаются через координаты точки ЛХ формулами х* = а»х+ Ь»д+ с», у* = а~х+ Ь~у+ са, (8) а координаты точки д(Х(ЛХ)) через координаты точки»(ЛХ) формулами х** = а»х* + е»д* + з», д"* = д~х* + е2д* + Д. (9) Подстановка равенств (9) в (8) выражает координаты ~(Х(ЛХ)) через координаты ЛХ.
В результате подстановки мы получаем многочлены степени не выше 1, что и доказывает первую часть предложения. Для доказательства второй части достаточно вспомнить, что по предложению 1 ~ 1 произведение двух взаимно однозначных преобразований взаимно однозначно. Предложение 5. Преобразование, обратное аффинному преобразованию, также является аффинным. Если преобразование Х записано уравнениями (3), то координатная запись его обратного преобразования получается решением уравнений (3) относительно х и д.
Для того чтобы решить эти уравнения, умножим первое из них на Ьз, второе — на Ь» и вычтем одно уравнение из другого. Мы получим (а»Ьа — а2Ь»)х = Ьа(х* — с») — Ь»(д* — са). Из условия (4) следует, что х — - линейный многочлен от х' и д*.
Вы- ражение для д получается аналогично. 4. Образ вектора при линейном преобразовании. Рассмотрим вектор ЛХ».ЛХз. Если координаты точек ЛХ» и М2 в системе координат О, е», е2 обозначить соответственно х», д» и х2, д2, то компоненты вектора будут равны х2 — х» и д~ — д». Пусть формулы (3) задают преобразование Х в выбранной системе координат. Тогда образы ЛХ* и М* точек ЛХ2 и ЛХ» имеют абсциссы х.* = а»х2 + Ь»д2 + с», х", = а»х» + Ь»д» + с». Следовательно, первая компонента вектора ЛХ" ЛХ" равна х,* — х,' = а2(х2 — х») + Ь»(у2 — д»). Аналогично находим вторую компоненту этого вектора у2 — у» = а ( — х ) + Ь (у — д»). Обратим внимание на то, что компоненты ЛХ»ЛХ2 выражаются только через компоненты ЛХ»М2, а не через координаты точек ЛХ» Гл. Л'.
Преобразования плоскости 104 и ЛХ2 по отдельности. Два равных вектора имеют одинаковые компоненты и, следовательно, при линейном преобразовании перейдут в векторы, компоненты которых также одинаковы. Итак, мы получаем Предложение 6. При линейном преобразовании равные векторы переходят в равные векторы. Компоненты о1, а2 образа вектора выражаются через его компоненты о1,а2 формулами = а101 + о102, 112 — а201 + 6202. (10) Если быть точным, говорить об образе вектора при преобразовании 1 неправильно: преобразование отображает точки, а не векторы. Точнее было бы сказать, что 1 порождает преобразование 1 множества векторов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
