Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры (10-е изд., 2005) (1004043), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Точка ЛХ1 определяется равенством О.ЛХ1 — — — ОЛХ. Если (а, ~3) — координаты вектора ОМ, то х = хо + а, д = до +,3, а х1 — — хо — а, д1 — — до —,3. Теперь ясно, что в силу (11) из Ф(х,у) = 0 следует Ф(х1, д1) = О. Предложение доказано. Предложение 3. Если линия содержит хотя бы одну точку и имеет центр симметрии О(хо, уо), то О является иентром.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим пересечение линии с прямой, проходящей через О, приняв эту точку за начальную точку прямой. Имеются две возможности: 1) Точка О лежит на линии. Пусть прямая имеет неасимптотическое направление. Тогда О единственная точка пересечения, так как иначе с учетом симметрии точек пересечения было бы не меньше трех. Следовательно, уравнение (4) имеет кратный корень Х = О, откуда вытекает Я = О. Итак, координаты точки О удовлетворяют равенству (12) при любых а и Д, соответствующих неасимптотическим направлениям.
Выберем два различных неасимптотических направления (а,уЗ) и (а',,3') и рассмотрим равенства (Ахо + Вуо + .О) а + (Вхо + Суо + -Е) 3 = О, (Ахо + Вдо + О) а' + (Вхо + Оуо + Е) ~' = 0 как систему уравнений с коэффициентами а, Д, а', о', причем (аД'— — а'Д у4 0). Мы получаем равенства (13), как и требовалось. 2) Точка О не лежит на линии. Если прямая пересекает линию в точке ЛХ, которой соответствует значение параметра ~1 ф О, то существует симметричная точка пересечения со значением параметра — 11.
Тогда Р1~~+ 2®1+ Л = 0 и Р11 — 2~®1+.й = О, откуда следует Я = О. Таким образом, если линия имеет точки пересечения с двумя различными прямыми, проходящими через О, то, как и выше, мы можем получить равенства (13) для координат О. Докажем, что такие прямые обязательно найдутся. Действительно, в противном случае все Гл. 111..акинин и поверхности второго ггорпдка точки линии лежат на одной прямой. Согласно теореме 1 ~ 1 линии только двух классов обладают этим свойством: пары совпавших прямых и пары мнимых пересекающихся прямых.
Но и для того, и для другого класса все центры симметрии принадлежат линии, что противоречит сделанному предположению. Предложение доказано. 5. Сопряженные направления. Направление (а',, г'), определяемое диаметром, сопряженным направлению (а,®, называется сопряженным направлению (а,,З). Компоненты (а',,3'), направляющего вектора диаметра (10) согласно предложению б ~ 2 гл. П удовлетворяют условию (Аа + ВЯа' + (Ва + СЯф = 0 (15) или Ааа' + В(а'Д + а,З') + СДД' = О. (1б) В последнее выражение пары чисел (а,,З) и (а',,3') входят симметричным образом. Поэтому имеет место Предложение 4. Если направление (а',~3'), сопряженное с (а,~З), Рис. 41 Рнс. 42. Сопряженные направления у параболы не является асимптотическим, то сопряженным для (а', ~3') будет направление (а,,)) (рис.
41). Возникает вопрос, при каких условиях направление, сопряженное какому-нибудь направлению (а,,)) может оказаться асимптотическим. Это легко выяснить. Из равенства (15) следует, что в качестве а' и,З' можно выбрать соответственно — (Ва+ С,З) и (Аа+ +ВД). Подставим это в уравнение (9) для асимптотических направлений: А(Ва+ С®2 — 2В(Ва+ СД)(Аа+ ВЯ+ + С(Аа+ В®~ = О. После преобразований получаем (АС вЂ” В2) х х(Аа~ + 2ВаД + Сф) = О. Поскольку исходное направление не асимптотическое, это произведение может обратиться в нуль только за счет первого сомножителя.
Мы получаем Предложение 5. Если линия не центральная (д = 0), то для любого направления (а,Д) сопряженное направление — асимптотическое (рис. 42). Если линия центральная (д ф 0), то уЗ. Линия второго порядка, заданная общим уравнением 85 направление, сопряженное любому направлению, не асимптотическое. 6. Главные направления. Если диаметр перпендикулярен хордам, которым он сопряжен, то он является осью симметрии рассматриваемой линии. Введем следующее Определение. Направление (о, ~3) и направление (а', Д') сопряженного ему диаметра называются главными направлениями, если они перпендикулярны. Если система координат декартова прямоугольная, то для главного направления компоненты (а,~З) должны быть пропорциональны коэффициентам уравнения (10), т.
е. должно существовать такое Ао+ В~ = Ла, Во+ СД = ЛД. (17) Исключая Л, мы получаем уравнение для а и,З: (А — С)оД+ В(3~ — а~) = О. (18) Если положить а = совр, ~3 = 81пр, то уравнение (18) превратится в уравнение (2) 8 1, которое, как мы видели, обязательно имеет решение относительно ~р. Поэтому имеет место Предложение 6. Каждая линия второго порядка имеет хотя бы одну пару главных направлений. Более подробное исследование уравнения (18) показывает, что либо эта пара единственная, либо каждая пара перпендикулярных направлений является главной. Последний случай имеет место, когда А = С, В = О. При этом уравнение линии приводится к одному из канонических видов:х2 + д~ = а2,х2 + д2 = — а2 или х2 + дз = О.
В двух последних случаях линия не имеет хорд, и результат лишен геометрического смысла. 7. Касательная к линии второго порядка. Как известно, касательной к какой-либо линии называется предельное положение секущей, когда хорда стягивается в точку. Выведем уравнение касательной к линии второго порядка, заданной уравнением (1).
Дадим предварительно следующее Определение. Особой точкой линии второго порядка называется ее центр, который лежит на линии. Особыми точками являются: точка пересечения пары пересекающихся прямых, единственная точка пары мнимых пересекающихся прямых и каждая точка пары совпавших прямых. В особой точке касательная не определена. Если точка лежит на прямой, входящей в состав линии, то касательная в этой точке совпадает с прямой. Исключив эти случаи, мы фактически ограничиваемся рассмотрением касательных к эллипсам, гиперболам и параболам. Рассмотрим точку ЛХо(хо,до), лежащую на линии Х, и прямую с начальной точкой ЛХо, заданную уравнением (2).
С нашей точки зрения, приведенное выше определение касательной означает, что урав- Гл. 111..7инии и поверхности второго порпдни 86 пение (4), определяющее точки пересечения Ь и прямой, имеет два совпадающих корня. Так как начальная точка принадлежит Х, в уравнении (4) В = О, и один из его корней равен нулю. Корни совпадают, если и второй корень равен нулю, для чего необходимо, чтобы Я = О.
Если при этом окажется, что и Р = О, то прямая принадлежит линии второго порядка. Этот случай мы исключили, и потому уравнение имеет кратный корень 1 = 0 в том и только том случае, когда Я = О. Мы рассматриваем равенство Я = 0 как условие, определяющее направляющий вектор касательной: (Ахо + Вдо + В)а + (Вхо + Сдо + Е)Д = 0 (19) Так как ЛХо не особая точка, обе скобки здесь одновременно в пуль нс обращаются, и условие (19) опредсляст а и Д с точностью до общего множителя.
Точка ЛХ(х,у) лежит на касательной тогда и только тогда, когда вектор МоМ коллинеарен а(а, Д), т. е. его координаты х — хо и д — уо удовлетворяют тому же условию, что и (а, Д): (4хо + Вуо + О)(х — хо) + (Вхо + Суо + Е)(у — до) = 0 (20) Это и есть уравнение касательной к линии Х в точке ЛХо, лежащей на линии. Уравнение (20) можно записать и иначе„если заметить, что координаты Мо удовлетворяют уравнению (1) и, следовательно, (Ахо + Вдо + Юхо + (Вхо + Сдо + Е)уо + Охо + Еуо + 1" = О.
Прибавляя это равенство к (20) и группируя слагаемые, получим окончательное уравнение Аххо + В(хуо + хо у) + Сухо + О(х + хо) + Е(у+ уо) + Р = О. (21) 8. Особые точки. Напомним, что особая точка линии второго порядка -- это ее центр, лежащий на линии. Исследуем, при каких условиях линия второго порядка имеет особую точку. Для координат (хо, до) особой точки должны быть справедливы равенства Ахо + Вуо + О = О, Вхо + Сдо + Е = О, Ах~ о+ 2Вхоуо + Сдоо + 21)хо + 2Еуо + Е = О. Умножим первое из них на хо, второе на уо и вычтем из третьего. Мы получим эквивалентную систему уравнений Ахо+ Вдо+ Р = О, Вхо + Сдо + Е = О, (22) 1~хо+ Еуо+ Р = О. Выберем какой-нибудь базис в пространстве и рассмотрим вспомога- тельные векторы р(А,В,.0), ц(В,С,.Е) и г(.0,Е,Е).
Равенства (22) представляют собой координатную запись векторного равенства хоР+ Уо 1= — г. (23) уЗ. Линия второго порядка, заданная общим уравнением 87 Отсюда следует, что при наличии особой точки векторы р, с1 и г компланарны, и потому А В О В С .Е Я Я" (24) Обратно, пусть для нецентральной линии Ь = О. Докажем, что р и Ч коллинеарны, что равносильно совместности уравнений центра. Действительно, в противном случае г по ним раскладывается, и согласно (23) существует особая точка.
Она — центр., р и с1 коллине- арны, и мы получаем противоречие П редло жение 8. Для нецентральных линий условие Ь = О равносильно существованию центра. Итак, сочетание о = Ь = О характеризует пары параллельных прямых (вещественных, мнимых или совпавших). Из предложений 7 и 8 следует, что равенство Ь = О является инвариантным: оно не может измениться при переходе к другой системе координат.
Упражнения 1. Линия второго порядка описана около параллелограмма, если его вершины лежат на линии, а остальные точки на ней не лежат. Докажите, что такая линия обязательно центральная, и центр ее совпадает с центром параллелограмма. 2. На плоскости нарисованы эллипс, гипербола и парабола. Как с помощью циркуля и линейки построить их оси симметрии и асимптоты ги пер болы7 3. Докажите, что сумма квадратов длин хорд, лежащих на сопряженных диаметрах эллипса, постоянна. 4. Не приводя уравнение к каноническому виду, найдите центр и асимптоты гиперболы Зх + 10ху + Зу2 — 2х + 2у — 9 = О. Если линия центральная, то векторы р и с1 не коллинеарны, и условие компланарности (24) равносильно существованию разложения (23), т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
