Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры (10-е изд., 2005) (1004043), страница 20
Текст из файла (страница 20)
существованию решения системы (22). Мы получили Предложение 7. Центральная линия имеет особую точку тогда и только тогда, когда Ь = О. Итак, сочетание о ( О, Ь = О характеризует пары пересекающихся прямых, а о ) О,,Ь = О пары мнимых пересекающихся прямых. Рассмотрим нецентральные линии.
Для них существует центр, хотя бы не являющийся особой точкой, тогда и только тогда, когда Л = О. В этом (и только этом) случае векторы р и с1 коллинеарны. Действительно, так как о = О, по предложению 9 З 2 гл. П, если система уравнений (13) имеет решение, она равносильна одному из составляющих ее уравнений: либо коэффициенты и свободный член одного из уравнений равны нулю, либо коэффициенты и свободные члены обоих уравнений пропорциональны. Тогда Ь = О независимо от г. Гл. Ш..7инии и поверхности второго ггорядна 88 5. Не приводя уравнение к каноническому виду, укажите класс линии Зх + 10хд+ Зу — 2х + 2у — 1 = О.
6. Как разложить на множители левую часть уравнения из упр. 5? 7. Напишите уравнение касательной к линии х2 — 2хд+ Зу = 3 в точке ЛХе(0а 1). З 4. Поверхности второго порядка Подобно тому как в З 2 были описаны все наиболее интересные линии второго порядка, в настоящем параграфе мы опишем важнейшие поверхности второго порядка, а полную классификацию таких поверхностей отложим до гл. У1П. Составить себе общее представление о большинстве поверхностей второго порядка можно, рассматривая поверхности вращения линий второго порядка вокруг их осей симметрии.
1. Поверхности вращения. Поверхность Я называется поверхностью вращения с осью гг, если она составлена из окружностей, которые имеют центры на прямой д и лежат в плоскостях, перпендикулярных данной прямой. В основе этого определения лежит следующее представление. Рассмотрим линию Х, которая лежит в плоскости Р, проходящей через ось вращения д (рис. 43), и будем вращать се вокруг этой оси. Каждая точка линии опишет окружность, а вся линия — поверхность вращения. Выберем начало декартовой прямоугольной системы коорди- нат О, ег, е~, ез на оси д, вектор ез направим вдоль сг, а вектор ег поместим в плоскости Р. Таким образом, О, ег, ез — декартова система координат в плоскости Р. Пусть линия Ь имеет в этой системе координат уравнение Х(х, г) = О. Рассмотрим точку ЛХ(х, у, г).
Через нее проходит окружность, которая имеет центр на оси гХ и лежит в плоскости, перпендикулярной этой оси. Радиус окружности равен расстоянию от ЛХ до оси, т. е. тгхвп Рух. Точка М лежит на поверхности вращения тогда и только тогда, когда на указанной окружности имеется точка ЛХг, принадлежащая вращаемой линии Х. Точка ЛХг(хг, д1, гг) лежит в плоскости Р, и потому дг — — О. Кроме того, я, = и и ~иг ~ = „Гхх ~- ух, так как М, нежит на тпп уке окружности, что и ЛХ.
Координаты точки ЛХг удовлетворяют уравнению линии Е: ~(хг,~г) = О. Подставляя в это уравнение х1 и ~г, мы получаем условие на координаты точки ЛХ, необходимое и достаточное 94'. Поверхности второго порядка 89 для того, чтобы ЛХ лежала на поверхности вращения Я: равенство 1(~ ««««+«««) = О) (1) должно быть выполнено хотя бы при одном из двух знаков перед корнем. Это условие, которое можно записать также в виде «( г;2 +У«)6( — Бг~««) — О (2) и является уравнением поверхности вращения линии Х вокруг оси а.
2. Эллипсоид. Рассмотрим поверхности, которые получаются при вращении эллипса вокруг его осей симметрии. Направив век- ез е1 е1 е2 Рис. 44. Сжатый (а) и вытянутый (б) эллинсоиды вращения тор ез сначала вдоль малой оси эллипса, а затем вдоль большой оси, мы получим уравнения эллипса в следующих видах: е а- 'с- 'и-' с-' Рис. 45 где б = Ла. Поверхность, которая в некоторой декартовой системе координат имеет уравнение (4), называется эллипсоидом (рис.
45). Если (Здесь через с обозначена малая полуось эллипса.) В силу формулы (1) уравнениями соответствующих поверхностей вращения будут е е е е е я Поверхности с такими уравнениями называются соответственно сжатым и вытянутыи эллипсоидаии вращения (рис. 44). Каждую точку ЛХ(х, д, х) на сжатом эллипсоиде вращения сдвинем к плоскости д = О так, чтобы расстояние от точки до этой плоскости уменьшилось в постоянном для Всех точек Отношении Л ( < 1. После сдвига точка попадет в положение ЛХ'(х', д', х'), где х' = х, д' = Лд, ~' = х. Таким образом, точки эллипсоида вращения переходят в точки поверхности с уравнением Е1 /е /е /е (4) Гл. 111. пинии и поверхности второго порядка 90 случайно окажется, что о = с, мы получим снова эллипсоид вращения, но уже вытянутый.
Эллипсоид так же, как и эллипсоид вращения, из которого он получен, представляет собой замкнутую ограниченную поверхность. Из уравнения (4) видно, что начало канонической системы координат-- центр симметрии эллипсоида, а координатные плоскости его плоскости симметрии. Эллипсоид можно получить из сферы х2 + д2 + га = а сжатиями к плоскостям д = О и г = О в отношениях Л = о/а и и = с/а. В этом параграфе нам часто придется прибегать к сжатию, и мы не будем его каждый раз описывать столь подробно. 3. Конус второго порядка. Рассмотрим на плоскости Р пару пересекающихся прямых, задаваемую в системе координат О, е1, ез уравнением а2х2 — с~х2 = О.
Поверхность, получаемая вращением этой линии вокруг оси аппликат, имеет уравнение а (х + д2) — с~х~ = О (6) и носит название прямого кругового конуса (рис. 46). Сжатие к плоскости д = О переводит прямой круговой конус в поверхность с уравнением ах +од — сг =О, (6) называемую конусом второго порядка.
Обратите внимание на то, что левая часть уравнения (6) однородная функция, и поверхность является конусом в смысле определения, введенного в ~ 1 гл. П. Рис. 46 Интересное свойство однополостного гиперболоида наличие у него прямолинейних образующих. Так называются прямые линии, все- 4. Однополостный гиперболоид. Однополостный гиперболоид вращения — это поверхность вращения гиперболы '2 2 2 '> вокруг той оси, которая ее не пересекает. По формуле (1) мы получаем уравнение этой поверхности (рис.
47) х+у г (7) а- 'с-' В результате сжатия однополостного ги- перболоида вращения к плоскости д = О мы получаем однополостный гиперболоид с уравнением 2 9 9 9 х д (8) а- 'о- 'с-' ~~. Поверхности второго порядка 91 ми своими точками лежащие на поверхности. Через каждую точку однополостного гиперболоида проходят две прямолинейные образующие, уравнения которых можно получить следующим образом.
Уравнение (8) можно переписать в виде У 1 У Рассмотрим прямую линию с уравнениями /х — + —:Л 1+— (9) Л -' — -' =р 1 — -",, где Л и,и некоторые числа (Л~ +,и2 ф 0). Координаты каждой точки прямой удовлетворяют обоим уравнениям, а следовательно, и уравнению (8), которое получается их почленным перемножением. Поэтому каковы бы ни были Л и р, прямая с уравнениями (9) лежит на однополостном гиперболоиде.
Таким образом, система (9) определяет семейство прямолинейных образующих. Второе семейство прямолинейных образующих определяется сис- темои (10) Покажем на примере, как найти образующие, проходящие через данную точку поверхности. Рассмотрим поверхность х2 + уа — г2 = = 1 и точку ЛХо(1,1,1) на ней. Подставляя координаты ЛХо в уравнения (9), мы получаем условия на Л и р: 2Л = 2и и 0 Л = О,и. Первое из них определяет Л и р с точностью до общего множителя, но только с такой точностью они и нужны.
Подставляя эти значения в (9), получаем уравнения прямолинейной образующей т+х=1+у, х — г=1 — д. Она проходит через ЛХо, так как Л и р так и выбирались, чтобы координаты ЛХо удовлетворяли этой системе. Аналогично, подставляя координаты ЛХо в (10), находим условия на Л' и р'. 2р' = 0 и 2р' = О. Коэффициент Л' можно взять любым ненулевым, и мы приходим к уравнению второй образующей: х = х, у = 1.
Если вместе с гиперболой мы будем вращать ее асимптоты, то они опишут прямой круговой конус, называемый асилптотическим конусом гиперболоида вращения. При сжатии гиперболоида вращения его асимптотический конус сжимается в асимптотический конус общего однополостного гиперболоида. 5.
Двуполостный гиперболоид. Двуполостный гиперболоид вращения — это поверхность, получаемая вращением гиперболы г —,— —,=1 сг аг гл. Ш..динии и поверхности второго ггорндна вокруг той оси, которая ее пересекает. По формуле (1) мы получаем уравнение двуполостного гиперболоида вращения :г 2+ 2 2 (и) В результате сжатия этой поверхности к плоскости д = 0 получается поверхность с уравнением 9 — — — — Е=1. (12) Ь Поверхность, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат имеет уравнение вида (12), называется двуполостным гиперболоидом (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
