Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры (10-е изд., 2005) (1004043), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Тождественным преобразованием плоскости Р называется преобразование, сопоставляющее каждой точке плоскости эту же точку. 3. Произведение отображений. Результат последовательного выполнения двух отображений называется их произведением или композицией. Точнее, вводится следующее Определение. Пусть даны отображения Х: Р -+ В и я: В -+ -+ Я. Отображение Ь, сопоставляющее точке А на плоскости Р точку фХ(А)) на плоскости Я, называют произведением отображения Х 91. Опгображения и преобразования 97 на отображение а и обозначают ф. Отображение, которое делается первым, пишется справа.
Подчеркнем, что для того, чтобы существовало произведение двух отображений, нужно, чтобы плоскость, в которую отображает псрвое из них, совпадала с плоскостью, которая отображается при втором. Для двух преобразований одной плоскости это условие выполнено. Разумеется., произведение отображений зависит от порядка сомножителей, т. е. ф не совпадает с 1~. Оба произведения определены только тогда, когда Г: Р -+ Л, а ~: Л -+ Р.
При этом ф — преобразование плоскости Р, а 1), преобразование плоскости .В. Зависит от порядка сомножителей и произведение преобразований, хотя оба произведения являются преобразования- с( (А)) с(к(А ми той же плоскости. яЯА)) д(А) Действительно, пусть 1 параллельный перенос плоскости на вектор а, а д О гомотетия с центром в точке О. Из рис.
54 видно, что 1(),(А)) отлично от ~(1(А)). Рис. 54 Рассмотрим свойства умножения для преобразований плоскости. Эти свойства с соответствующими изменениями могут быть перенесены на отображения, но мы займемся только преобразованиями. Умножение преобразований ассоциативно. Это значит, что для любых трех преобразований 1, ц и 6 выполняется равенство ®)Ь = 1(),Ь). Действительно, для любой точки А преобразование $), переводит точку 6(А) в точку 1(ф6(А))), а преобразование 1 переводит точку ц(6(А)) в ту же точку 1(я(6(А))). Если мы обозначим через е тождественное преобразование плоскости, то для любого преобразования 1 выполнено 1е=е1=1. Таким образом, тождественное преобразование играет ту же роль по отношению к умножению преобразований, как число 1 по отношению к умножению чисел. По определению при любом отображении 1: Р— ~ Л каждая точка плоскости Р имеет только один образ. Примеры 4 и 6 показывают, что точка плоскости Л может иметь много прообразов, а в примерах 5, 6 и 7 не каждая точка плоскости Л имеет прообраз, т.
е. служит образом какой-либо точки. Определение. Отображение 1: Р -+ Л называется взаимно однозначным, если каждая точка плоскости Л имеет прообраз, и притом только один. Разумеется, это определение распространяется на преобразования. Отображения, рассмотренные в примерах 2 и 3, взаимно однозначны, а в примерах 4 — 7 — нет. 7 Д.В. Беклемишев Гл. Л1. Преобразования плоскости Пусть дано преобразование 1 плоскости Р. Каждой точке А из Р оно сопоставляет ее образ 1(А). Теперь попробуем, наоборот, точке 1(А) сопоставить точку А.
Такое соответствие удовлетворяет определению преобразования в том и только том случае, когда каждая точка плоскости является образом некоторой точки, и притом только одной. Это равносильно взаимной однозначности 1. Определение. Обратным преобразованием для взаимно однозначного преобразования $ плоскости Р мы назовем такое преобразование 1, что 1 ~(1(А)) = А для каждой точки А плоскости Р.
Очевидно, что определение обратного преобразования равносильно соотношению 1 1 = е, где е тождественное преобразование. — 1 Совпадающие точки должны иметь совпадающие образы, поэтому 1ф 1фА))) = 1(А) или 1(1 1(В)) = В для любой точки В на плоскости. Это может быть записано как 1 1 = е. Отсюда, в частности, следует, что преобразование 1 имеет обратное (и потому взаимно однозначно), и этим обратным является 1. Предложение 1.
Пусть преобразования 1 и ~ плоскости Р взаимно однозначны. Тогда их произведение 1д взаимно однозначно, и(1д) '=д Ч Действительно, по условию существуют Г 1 и д 1. Поэтому определено произведение (1~)(д Ч 1). В силу ассоциативности умножения преобразований его можно записать как 1(дд 1)1 1. По определению обратного преобразования это равно 1е1 1 = Н ' = е. Этим доказано, что 1~ имеет обратное преобразование нужного вида. Но существование обратного преобразования для преобразования 1ц равносильно его взаимной однозначности.
Предложение доказано. 4. Координатная запись отображений. Пусть нам задано некоторое отображение 1: Р -+ В. По определению это означает, что задан закон, по которому каждой точке А на плоскости Р сопоставлен ее образ А" = 1(А) на плоскости В. Если мы выберем на плоскости Р систему координат О,е1,е~, а на плоскости В систему координат Я, р1, р2, то точка А будет определена парой чисел (х,д), а точка А' парой чисел (х*,д').
Следовательно, при выбранных системах координат на плоскостях Р и В отображение сопоставляет парс чисел (х„д) пару чисел (х*, д'). Таким образом, задать отображение при выбранных системах координат все равно, что задать две функции, каждая из которых зависит от двух независимых переменных: т,* =~.р(т,,д), д* = ф~(т,,д). (1) Координатной записью мы пользовались в примере 4. Подчеркнем, что системы координат на плоскостях Р и В никак не связаны между собой: точка Я может не совпадать с образом точки О, а векторы р1, ра с образами векторов е1, е2. При координатной записи преобразования достаточно выбрать одну систему координат, так как и точка, и ее образ находятся на одной 9 2.
Линейные преобразования 99 плоскости. Обратно, рассмотрим две функции, зависящие от двух независимых переменных каждая. Если они определены для любых пар чисел, то по формулам (1) при выбранных системах координат на плоскостях Р и В они определяют отображение Р в Л. Упражнения 1. Нарисуйте три крестика и четыре нолика. а) Как должны идти стрелки от крестиков к ноликам, чтобы получилось отображение множества крестиков в множество ноликов? б) Можно ли провести стрелки так, чтобы каждый образ имел единственный прообраз? в) Можно ли провести их так, чтобы каждый нолик имел прообраз? г) Ответьте на те же вопросы, если крестиков четыре, а ноликов три.
д) При каком числе ноликов возможно взаимно однозначное отображение множества из трех крестиков'? 2. Пусть преобразования 1, ц и й имеют обратные. Найдите преобразование, обратное к их произведению Гф. 3. Напишите формулы, задающие осевую симметрию относительно прямой, имеющей уравнение х + д = 5 в декартовой прямоугольной системе координат. ~ 2.
Линейные преобразования 1. Ортогональные преобразования. Так называются преобра- зования плоскости, которые не меняют расстояния между любыми двумя точками, т. е. преобразования Х ортогональное, если для любых точек А и В выполнено ~АВ~ = ~Х(А)Х(В)~. Основными примерами ортогональных преобразований служат параллельный перенос, поворот и осевая симметрия. Получим координатную запись ор- м, И* 2 тогонального преобразования в декартовой прямоугольной системе коорди- В нат О, е1, ез. Обозначим через А и В концы базисных векторов: е1 —— ОА, А О* А* ез — — ОВ (рис.
55). При ортогональном М1 преобразовании равнобедренный прямо- Рис. 55 угольный треугольник ОАВ перейдет в равный ему треугольник О*А*В'. Рассмотрим произвольную точку ЛХ(х,д). Она перейдет в точку ЛХ' с координатами (х*,д*). Нам надо выразить (х*, д') через (х., д).
По определению координат ОЛХ = хОА+ дОВ. Отсюда следует, что О" ЛХ* = хО*А" + дО*В*. Действительно, векторы О*А* и О*В' взаимно перпендикулярны и по длине равны 1, а потому компоненты О" ЛХ' по этим векторам равны его скалярным проекциям на них. Зти Гл. Л'. Преобразования плоскости 100 проекции равны проекциям ОМ на е1, ег, что видно из равенства соответствующих треугольников. Теперь мы можем написать ОЛХ* = 00' + 0'М* = 00* + хО'А' + уО" В'. (1) Обозначим через ~р угол между О*А* и е1.
Поскольку ~О*А'~ = 1, координаты этого вектора в базисе е1, е2 равны (совр,яви). Тог- да перпендикулярный вектор единичной длины О*В* имеет коорди- наты (~ вш р, ~ сов ~р), причем верхние знаки берутся в том случае, когда пара векторов 0'А' и О*В* ориентирована так же, как е1, ег. Координаты точки 0* обозначим через (с1, са). Теперь мы можем разложить все члены равенства (1) по базису: х" = х сов р ~ у яви+ с1, (2) у* = х яву ~ усову+ с2. Итак, доказано Предложение 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
