Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры (10-е изд., 2005) (1004043), страница 26
Текст из файла (страница 26)
112 Гл. Л'. Преобразования плоскости Предложение 7. Для каждого аффинного преобразования существуют две взаимно перпендикулярные прямые, которые переходят во взаимно перпендикулярные прямые. Для доказательства рассмотрим какую-либо окружность. При данном аффинном преобразовании она перейдет в эллипс.
Каждая ось эллипса множество середин хорд, параллельных другой оси. При аффинном преобразовании хорда перейдет в хорду, параллельность должна сохраниться, а середина отрезка переходит в середину его образа. Поэтому прообразы осей эллипса — отрезки, обладающие тем же свойством: каждый из них есть множество середин хорд окружности, параллельных другому отрезку. Такие отрезки непременно являются двумя взаимно перпендикулярными диаметрами окружности. Это то, что нам требовалось: существуют два взаимно перпендикулярных диаметра окружности, которые переходят во взаимно перпендикулярные отрезки оси эллипса. Стоит отметить один особый случай: окружность при аффинном преобразовании может перейти в окружность. В этом случае то же рассуждение проходит с любыми двумя взаимно перпендикулярными диаметрами окружности-образа.
Очевидно, что при этом любые два взаимно перпендикулярных направления остаются перпендику- лярными. О п р е д е л е н и е. Два взаимно перпендикулярных направления называются главными или синугулярными направлениями аффинного преобразования $, если они переходят во взаимно перпендикулярные направления.
Теорема 2. Каждое аффинное преобразование раскладывается в произведение ортогонального преобразования и двух сжатий к двум взаимно перпендикулярным прямым. Доказательство аналогично доказательству теоремы 1. Рассмотрим аффинное преобразование 1 и выберем равнобедренный прямоугольный треугольник АВС так, чтобы его катеты АВ и АС были направлены вдоль главных направлений преобразования Г. Обозначим через А', В' и С* образы его вершин. Сделаем такое ортогональное преобразование ~, при котором а(А) = А', а точки д(В) и а(С) лежат соответственно на лучах А*В* и А*С*.
(Этого легко добиться, как и в теореме 1, параллельным переносом, поворотом и осевой симметрией.) Пусть Л = ~А*В*)/)А*~(В) ~, а р = (А" С'(/~А*д(С) !. Тогда сжатие р, к прямой А*С* в отношении Л переведет д(В) в р (д(В)) = В* и не сдвинет точек А* и я(С). Аналогично, сжатие р2 к прямой А*В" переведет д(С) в р (а(С)) = С' и не сдвинет точек прямой А"В'.
Это означает, что произведение р. р1а переводит точки А, В и С в точки А*, В* и С" так же, как и заданное нам преобразование 1. Согласно предложению 8 ~ 2 имеем р2р, ц = 1, как и требовалось. ~3. Аффинные преобразования Упражнения 1. Найдите площадь треугольника, если его стороны лежат на прямых с уравнениями х — д + 1 = О, х + д — 1 = О и 2х + д = 2 в декартовой прямоугольной системе координат. 2. Пусть при аффинном преобразовании точки А, В и С перешли в точки А", В" и С*.
Докажите, что точка пересечения медиан ЬАВС перейдет в точку пересечения медиан ЬА"В*С*. 3. Будем говорить, что аффинное преобразование растягивает вектор а в а раз, если ~а'~ = а(а~. Для преобразования, заданного в декартовой прямоугольной системе координат формулами х" = 4х + 7д, д* = 8х + д, найдите векторы, для которых растяжение: а) максимально: б) минимально.
4. Пусть прямая касается линии второго порядка. Докажите, что при произвольном аффинном преобразовании образ прямой касается образа линии. 5. Докажите, что вершины ромба, описанного около эллипса, лежат на его осях симметрии. б. Представьте как произведение двух осевых симметрий: а) параллельный перенос на вектор а; б) поворот на угол ~р вокруг точки О. 7. Представьте сжатие к оси абсцисс декартовой прямоугольной системы координат как произведение сжатия к другой прямой и параллельного переноса на а(О, а).
8 Д.В. Беклемишев ГЛАВА Ъ' МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ~ 1. Матрицы 1. Определение. Мы будем называть матрицей размеров т х и совокупность тп чисел, расположенных в виде таблицы из сп строк и и столбцов: а1 а2 ... а 1 1 1 2 2 2 а1 а2 " а„ а~ а"' ... а™ 1 2 ''' и Числа, составляющие матрицу, мы будем называть элементами матрицы. Если число строк в матрице равно числу столбцов, то матрица называется квадратной, а число строк — ее порядном.
Остальные матрицы носят название прямоугольньп. Можно дать и такое определение матрицы. Рассмотрим два множества целых чисел 1 = (1, 2, ..., т) и,У = (1, 2, ..., и). Через 1 х 1 обозначим множество всех пар вида сс, Я, где с' с= 1, а з б Х Матрицей называется числовая функция на 1 х,У, т. е. закон, сопоставляющий каждой паре (с, Я некоторое число а'. Для читателя, знакомого с программированием, заметим, что матрица это в точности то же, что и двумерный массив. Две матрицы называются равными, если они имеют одинаковые размеры, и равны их элементы, стоящие на одинаковых местах. Рассматривая произвольные матрицы, мы будем обозначать их элементы буквами с двумя индексами. Если оба индекса расположены внизу, то первый из пих обозначает помер строки, а второй -- номер столбца; если один из индексов расположен сверху, как в написанной выше матрице, то этот индекс обозначает номер строки.
Не следует путать верхние индексы с показателями степени. Матрицу размеров 1 х и., состоящую из одной строки., мы будем называть строкой длины п или просто строкой. Матрицу размеров гп х 1 называют столбцом вьссотьс т или просто столбцом. Столбцы и строки мы будем обозначать полужирными буквами. Часто бывает удобно записывать матрицу как столбец из строк ~1. Матрицы 115 или как строку из столбцов. Пусть 1 а2 , 2 2 а1 а2 1 1 а„ 2 а„ а1 —— а2 ат 1 ат 2 ат и Тогда написанную в начале матрицу !) а1 а2 можно записать в виде а„ Аналогично, если а1 = а1 ...
а1 ), ..., а = )!а, ... а™ )), то та же матрица записывается в виде а1 ат Рассмотрим матрицу А размеров т х и и выберем какие-нибудь г номеров строк г1, ...,з„и а номеров столбцов 11, ..., 1'„причем будем предполагать, что номера выбраны в порядке возрастания: ~1 < г2 < ...
< г„и 11 < 12 < ... < 1,. Матрицу А' размеров г х а, составленную из элементов А, стоящих на пересечении выбранных строк и столбцов, мы назовем подмагприцей матрицы А. Итак, аг1 аг1 21 2ю а' ... а'" 31 25 Если матрица квадратная, то множество тех ее элементов а",., 2. Транспоннрование матриц. Рассмотрим матрицу аы а12 а21 а22 а1„ а2д ат1 ат2 ... атл из тд строк и п столбцов. Ей можно сопоставить матрицу В из и строк и т столбцов по следующему правилу. Элементы каждой стро- ки матрицы А записываются в том же порядке в столбцы матри- цы В, причем номер столбца равен номеру строки.
Эту матрицу а,„1 ат2 а11 а21 а12 а22 а1 и а2и ... атп называют транспонированной по отношению к А и обозначают А~ . Переход от А к А~ называют гпранспонированием. у которых номер строки равен номеру столбца, называется главной диагональю или просто диагональю матрицы. 116 Гл. К Матрицы и системы линейных уравнений димости. 4. Сложение и умножение на число. Пусть А и  — матрицы размеров т х и. Мы можем сопоставить им третью матрицу С размеров т х и, элементы которой с,, связаны с элементами а,- и 6;. матриц А и В равенствами сг,~ = ац' + ~>~ (~ = 1> "> т> 3 = 1> "> и).
(1) Определение. Матрица С, определяемая по А и В формулой (1), называется их суммой и обозначается А+ В. Определение. Матрица С, элементы которой с;,. равны произведениям элементов а., матрицы А на число а, называется произведением А на а и обозначается аА. Мы имеем (2) с,; =аа, (г =1,...,ги, ~ =1,...,п). Из свойств сложения и умножения чисел легко вытекает Предложение 1. Для любых матриц А, В, С и любых чисел а и >3 выполнены равенства А + В = В + А> (А + В) + С = А + (В + С), о(А+ В) = аА+ аВ> (а+,>))А = аА+ ДА, (асЗ)А = а(ДА).
Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей. Если Π— нулевая матрица размеров т х и, то для любой Видно, что г-я строка В состоит из тех же элементов в том же порядке, что и г-й столбец А. Ясно также, что (А> )т = А. Определение транспонированной матрицы можно записать в виде тп равенств, связывающих элементы матриц А и В: б, =ач (г=1,...,т, 1=1,...,п). 3. Некоторые виды матриц. Введем определения некоторых часто употребляемых видов матриц. Все матрицы предполагаются квадратными.
1. Матрица А называется симметричной или симметрической, если Ат = А. Для такой матрицы а; = а, при всех г и ~ — элементы, расположенные симметрично относительно главной диагонали, равны. 2. Матрица А называется кососимметричной или антисимметричной, если А~ = — А.
Для такой матрицы а;. = — ахч при всех г и ~ —— элементы, расположенные симметрично относительно главной диагонали, отличаются знаком. Диагональные элементы равны нулю. 3. Матрица А называется верхней треугольной, если ее элементы, расположенные ниже главной диагонали, равны нулю: а, = О при г ) > ~. Аналогично определяется нижняя треугольная матрица: а, = О при г (~.
4. Матрица А называется диагональной, если у нее равны нулю все недиагональные элементы: а; = О при г ф ~. Другие частные виды матриц будем определять по мере необхо- ~1. Мапгрицы матрицы тех же размеров А+О=А. Матрицу ( — 1)А называют противоположной матрице А и обозпачают — А. Она обладает тем свойством, что А + ( — А) = О. Сумма матриц В и — А называется разностью матриц В и А и обозначается  — А.
Мы видим, что сформулированные выше свойства линейных операций с матрицами совпадают со свойствами линейных операций с векторами, перечисленными в предложении 1 ~ 1 гл. 1. Используя линейные операции, мы можем составлять из матриц одинаковых размеров А1, ..., Аь и чисел а1, ...,аь выражения вида а1А1 + ... + аьАь. Такие выражения называются линейными комбинациями матриц. Если какая-то матрица представлена как линейная комбинация других матриц, то говорят, что она по ним разложена.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
