Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры (10-е изд., 2005) (1004043), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Например, Гл. '»'. Матрицы и системы линейных уравнений 124 (Размеры матриц О, О' и О", возможно, различны.) Предложение 2. Умножение матриц ассоциативно, т. е. если определены произведения АВ и (АВ)С, то определены ВС и А(ВС), и выполнено равенство (АВ)С = А(ВС). Действительно, пусть размеры матриц А, В и С соответственно равны тл х п,1, тв х пв и и1с х ис. Если АВ определено, то пл = тд» и матрица АВ имеет размеры тл х п»з.
Поэтому, если определено (АВ)С, то пв = тс. Матрица АВ состоит из элементов ПА ) аиби (г =1,...,тл, 1=1,...,пв) 1=1 и, следовательно, элементы (АВ) С имеют вид ПВ ПА а;1бд с1, (г = 1,...,тЛ, 1=1 1=1 в = 1, ...,пс). (7) Поскольку пв = тс, определено произведение ВС. Его элементы ПВ '~ бдс1, (Й = 1, ...,тд, в = 1, ...,пс). 1=-1 Так как пл = тв» определено произведение А(ВС) с элементами ПА ПВ а.;Ь ~«» бЫ с1, (г = 1, ...,тл', в = 1, ...,пс). (8) ., („ ) В силу формул (1) и (3) выражения (7) и (8) совпадают, и наше утверждение доказано.
Предложение 3. Умножение матриц дистрибутивно по отно1иению н сложению: если имеет смысл выражение А(В+ С), то А(В+ С) = АВ+ АС, если имеет смысл выражение (В+ С)А, то (В + С)А = ВА + СА. Обе части предложения доказываются одинаково. Докажем первую из них. Очевидно, что В и С должны иметь одинаковые размеры т х и, а А размеры р х т (р может быть любым). Выпишем элементы матрицы А(В + С) через элементы А, В и С: т а„(б, +с;, ) (в=1,...,р; з =1,...,и). 1=1 Раскроем скобки в каждом слагаемом и сгруппируем члены: Е ал1бу' + )» азль» ° 1=1 1=1 Эти суммы равны элементам матриц АВ и АС, стоящим в строке с номером 8 и столбце с номером з. Утверждение доказано.
Из формулы (1) следует такое свойство умножения матриц: ~2. Умножение матриц 125 Предложение 4. Если произведение АВ определено, то при люа(АВ) = (аА)В = А(аВ). Предложение 5. Если определено произведение АВ, то определено и произведение ВтАт и выполнено равенство (АВ)т = Вт Ат. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть матрицы А и В имеют, соответственно, размеры т х и и и х р.
В матрице АВ на пересечении ~-й строки и ~-го столбца стоит элемент и аиб~ (г =1,...,т; з =1,...,р). (9) й — 1 ~-я строка матрицы Вт состоит из элементов 61:, ..., б„~, а г-й столбец матрицы А из элементов ап, ..., а,,„. Поэтому произведение В А т т т определено, и в нем на пересечении ~-й строки и г-го столбца стоит элемент 6~, ад., А=1 (~ =1,...,р:, г=1.....,т). Он совпадает с элементом (9), а индексы г и ~ принимают в обоих выражениях одни и те же значения. Этим предложение доказано. Последовательно применяя доказанную формулу, мы получим (А~ А2 ...
А~) = А~~... А~~А~~. 4. Элементарные преобразования. Элементарные матрицы. В этом пункте впервые появляются элементарные преобразования матриц. Они играют большую роль в теории матриц и широко используются в вычислениях. О п р е д е л е н и е, Мы назовем элементарными преобразованиями строк матрицы следующие преобразования: 1) умножение строки па число, отличное от нуля; 2) прибавление одной строки к другой строке. Аналогично определяются элементарные преобразования столбиов матрицы. Все, сказанное ниже об элементарных преобразованиях строк, переносится на элементарные преобразования столбцов. Следующие более сложные преобразования получаются последовательным применением нескольких элементарных преобразований: а) прибавление к одной строке другой строки, умноженной на число, в частности, вычитание одной строки из другой; б) перестановка двух строк.
Покажем, как эти преобразования сводятся к элементарным на примере матрицы, состоящей из двух строк а и Ь. Если в матрице есть еще строки, не участвующие в преобразованиях, они переписываются без изменения: Гл. К Матрицы и системы линейных уравнений 126 оа Ь+ аа а Ь+ аа а) а+Ь Ь а+Ь Ь вЂ” а — Ь Ь а б с д а б с+а д+й 1 О 1 1 Те матрицы, умножение на которые осуществляет элементарные преобразования, называются элементарными матрицами. Последовательное выполнение нескольких элементарных преобразований строк осуществляется умножением слева на произведение со- Эти два типа преобразований также часто относят к числу элементарных.
При описании длинных последовательностей элементарных преобразований мы будем включать в последовательность преобразования этих двух типов, не разлагая их на элементарные. Возможность вычитать одну строку из другой и отличие числового множителя от нуля имеют следующее принципиальное значение: элементарные преобразования обратимы. Это значит, что перейдя от матрицы А к матрице В последовательностью элементарных преобразований, с помощью другой последовательности мы сможем вернуться от В к А. Каждое элементарное преобразование строк матрицы А размеров тп х п равносильно умножению А слева на некоторую квадратную матрицу Я порядка т. При этом Я не зависит от А, а полностью определяется преобразованием., которое она осуществляет.
Именно, пусть Я1 матрица, получаемая из единичной матрицы Е порядка тв заменой г-й единицы на диагонали на число Л ~ О. Тогда матрица 51А отличается от А тем, что ее г-я строка умножена на Л. Пусть 52 — матрица, которая отличается от Е заменой на единицу нулевого элемента на пересечении г-й строки и ~-го столбца. Умножение А слева на 52 равносильно прибавлению ~-й строки к г-й. Оба утверждения доказываются одинаково. Докажем второе.
Рассмотрим строку матрицы Я2А с номером й ф г'. Согласно предложению (1), эта строка линейная комбинация строк А с коэффициентами равными элементам й-й строки Е. Это значит, что в линейную комбинацию входит (с коэффициентом 1) только Й-я строка А, и потому й-я строка 52А равна й-й строке А. Для г-й строки положение другое: в линейную комбинацию входят г-я и ~-я строки с коэффициентами 1. Значит, г-я строка 52А равна сумме г-й и ~-й строк А Пример о.
1 О а ~ а О Л а Лс Ла ~2. Умножение матриц 127 ответствующих элементарных матриц, причем множитель, который соответствует преобразованию., сделанному позже, стоит левее. Легко найти матрицу Я, умножение на которую производит заданную последовательность элементарных преобразований строк: надо осуществить эту последовательность элементарных преобразований над единичной матрицей. Это видно из равенства ЯЕ = Я. Элементарные преобразования столбцов сводятся к умножению матриц аналогично. Разница состоит в том, что множители помещаются справа, а не слева от преобразуемой матрицы, и эти множители получаются из единичной матрицы подходящего порядка элементарными преобразованиями ее столбцов, а не строк.
5. Вырожденные и невырожденные матрицы. Квадратная матрица называется вырожденной, если ее строки линейно зависимы. Вырожденной будет, например, матрица, имеющая нулевую строку, или матрица, имеющая две одинаковых строки. Примером невырожденной матрицы является единичная матрица (предложение 2 ~ 1). Предложение 6. Элементарные преобразования строк переводят линейно независимые строки в линейно независимые, а линейно зависимые — в линейно зависимые. Точно так же при элементарных преобразованиях столбцов сохраняются линейная зависимость и независимость столбцов. Докажем это предложение для строк. Пусть строки аг, а2, ..., а,,„ линейно независимы, и мы прибавили, допустим, первую строку ко второй. Рассмотрим произвольную линейную комбинацию полученных строк, равную нулевой строке: 01а1 + 02(а1 + а2) + ...
+ 0~а~ = (01 + 02)а1 + 02а2 + ... + 0~а~ = о. Так как исходные строки линейно независимы,ог + а2 = О, а2 = = О, ..., а„= О. Отсюда следует, что аг также нуль., и система строк, полученная прибавлением одной строки к другой, линейно независима. Сохранение линейной независимости системы строк при умножении г-й строки на число Л ~ О доказывается аналогично. Пусть теперь строки линейно зависимы. Вспомним, что последовательности элементарных преобразований обратимы. Если мы из ли- нейно зависимой системы строк с помощью элементарных преобразований получили линейно независимую, то обратный переход должен переводить линейно независимую систему в линейно зависимую, что невозможно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
