Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры (10-е изд., 2005) (1004043), страница 31

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 31)

Следовательно, ранг матрицы равен г, а подматрица базисная. Из этого следует, что ВдА = г, так как ранг не изменился при элементарных преобразованиях. За базисную подматрицу в А можно Гл. К Матрицьг и системы линейных уравнений принять подматрицу, расположенную в столбцах с номерами 71, ..., 7„ и строках, которые после перестановок попали на места 1, ..., г в упрощенной матрице.

Это видно из того, что, преобразуя матрицу, мы не прибавляли к пересекающим ее строкам никаких строк, которые ее не пересекают. Таким образом, если мы не знали ранга матрицы и ее базисной подматрицы, то приведя ее к упрощенному виду, мы их определим. С другой стороны, имеет место П ред ложен и е 6.

Какова бы ни была базисная подматрица матрицы А, элементарными преобразованиями строк можно привести А к такому упрощенному виду, в котором базисные столбцы будут первыми столбцами единичной матрицы. Действительно, небазисные строки можно обратить в нулевые, вычитая из них подходящие линейные комбинации базисных. После этого можно превратить базисную подматрицу в единичную так, как это было сделано в предложении 8 ~ 2. (Элементарные преобразования производятся, конечно, над полными строками.) Улражнения 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ю-либо б 1.

Дана матрица А = а) Найдите ее ранг и каку азисную подматрицу. б) Найдите коэффициенты разложения небазисной строки по базисным строкам и небазисного столбца по базисным столбцам. в) Прибавьте в матрице вторую строку к первой и убедитесь, что линейная зависимость между столбцами осталась прежней. г) Сколько всего базисных подматриц в этой матрице? 2. Квадратная матрица порядка и имеет нулевую подматрицу порядка и — 1.

Оцените ранг матрицы. 3. Пусть А — матрица с элементами а,, г = 1, ..., пг; г' = 1, ..., п и Ня А = = 1. Докажите, что найдутся числа сгг,...,сг и Д,...,Д„, не все равные нулю, такие, что и; = сг;Д для всех г и г. 4. В матрице ранга г отмечены г линейно независимых строк и г линейно независимых столбцов. Докажите, что на их пересечении стоит невы- рожденная подматрица порядка г. Покажите на примере, что утверждение не верно, если число отмеченных строк меньше г. 5. Докажите, что для любых матриц А и В одинаковых размеров ранг суммы не больше суммы рангов. 8 4. Детерминанты 1. Определение детерминанта. Мы будем говорить, что на множестве квадратных матриц порядка п задана числовая функция, если каждой матрице из этого множества сопоставлено некоторое число. Примерами могут служить две часто употребляемые функции: ф~.

Детерминанты след матрицы — — функция, сопоставляющая каждой квадратной матрице сумму ее диагональных элементов аы + ... + а„„; евклидова норма матрицы — функция, сопоставляющая каждой матрице квадратный корень из суммы квадратов всех ее элементов. Во многих вопросах необходимо уметь определить, вырождена данная матрица или нет. При этом полезна такая функция от матрицы, которая равна нулю для вырожденных матриц, отлична от нуля для невырожденных и при этом сравнительно просто вычисляется.

Для матриц второго и третьего порядка такими функциями являются их детерминанты, уже известные нам. Определение. Числовая функция г на множестве всех квадратных матриц порядка и называется детерминантом (или определителем) порядка п, а ее значение на матрице А — детерминантом А, если она обладает следующими тремя свойствами. 1. Какую бы строку матрицы мы ни взяли, функция является линейным однородным многочленом от элементов этой строки. Для ~-й строки матрицы А это значит, что ~(А) = Ь1ап+ Ь2ад+ ...

+ Ь„а,„, где Ь1, ..., Ь„коэффициенты, не зависящие от элементов г-й строки ач, ..., а;„, но зависящие от остальных элементов матрицы. 2. Значение функции на любой вырожденной матрице равно нулю. 3. Значение функции на единичной матрице равно 1. Детерминант матрицы А обозначается дел А или, если нужно вы- писать элементы матрицы, прямыми линиями по бокам матрицы. Рекомендуем читателю проверить, что известные нам детерминанты второго и третьего порядков удовлетворяют приведенному определению.

Для матрицы порядка 1, состоящей из одного элемента, детерминантом является этот элемент. Когда определение состоит из условий, которым должен удовлетворять определяемый объект, заранее не ясно, выполнимы ли эти условия, т. е. существует ли объект, им удовлетворяющий. Кроме того, если такой объект существует, то не ясно, однозначно ли он определен этими условиями.

Ниже мы докажем существование и единственность детерминанта. Мы докажем также, что для любой невырожденной матрицы детерминант отличен от нуля. Однако сначала необходимо изучить условия, определяющие детерминант. Условие 1 выражает свойство линейности детерминанта по строке. Его равносильную формулировку дает следующее Предложение 1.

Функция ~ на множестве квадратных матриц порядка п обладает свойством линейности по строке тогда и только тогда, когда для каждой строки произвольной матрицы А выполнено следующее: если эта строка есть линейная комбинация ар + Гл. К Матрицы и системы линейных уравнений + Дс1, строк р и с1, то ~(А) = сс~(А, ) + ~~(А ), (2) где матрицы Ар и Ад получены из А заменой этой строки на р и с1.

Д о к а з а т е л ь с т в о. 1'. Пусть функция ~ обладает свойством линейности по строке (1). Если г-я строка А есть линейная комбинация оР+ Дс1, то пРи любом Й элемент асс этой стРоки Равен аР~ + ДУ~, где Рь и аь соответствУющие элементы стРок Р и с1. Следовательно, ~(А) = 61(ор1 + ~1ц) + ... + 6„(ор„+ ~3д„). Группируя члены, мы получим ~(А) = о(61р1 + ... + Ь„р„) + Д(61ц1 + ...

+ Ь„д„). Здесь 61, ..., 6„не зависят от элементов г-й строки, и потому Ь,р, + ... + Ьнр„= ~(А~) и 61д1 + ... + бисти — — ~(Ач). Таким образом, получено равенство (2). 2'. Докажем обратное. Возьмем г-ю строку матрицы А и разложим ее в линейную комбинацию строк единичной матрицы аче1 + ... + а;„е„. Последовательно применяя равенство (2), получаем отсюда ~(А) = а 1~(А1) + ... + а;„~(А„), с1е$А = а1с1е1А1+ ... + а, с1е1А„ (3) где А1, ... А, — матрицы, получаемые из А заменой рассматриваемой строки соответственно на р1, ..., р,.

Предложение 2. Если к некоторой строке матрицы прибавить другую ее строку, умноженную на число, то детерминант матрицы не изменится. где матрицы А~ „...., А„получены из А заменой г-й строки на соответствующую строку единичной матрицы. Они пе зависят от элементов з-й строки А, а потому значения ~ на данных матрицах также не зависят от этих элементов. Предложение доказано.

Сформулированное в предложении 1 свойство также называют свойством линейности по строке и часто формулируют в виде двух отдельных утверждений ° Множитель, общий для всех элементов строки, может быть вынесен за знак детерминанта. ° Если какая-либо из строк матрицы А есть сумма двух строк, то бес А равен сумме детерминантов матриц, получаемых из А заменой этой строки на каждое из слагаемых. Разумеется, если строка матрицы представлена как линейная комбинация о1р1 + ...

+ о,р, любого числа в строк, то ф~. Детерминанты 139 Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть в матрице А мы заменили г-ю строку а; на строку а, + Ла ., ~ ф з. Тогда по свойству линейности детерминант полученной матрицы А' равен с1ес А' = с1е1 А + Л с1е1 А., где матрица А получается из А заменой г-й строки на з-ю. В эту матрицу строка а; входит дважды: на г-м и на з-м местах. Поэтому матрица вырожденная, и с1ес А = О. Итак, с1еФА = с1ес А'. Предложение 3. Если две строки матрицы поменять местами, то ее детерминант умножится на ( — 1). Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть матрица А' получается из А перестановкой г-й и з-й строк.

Выполним следующую последовательность преобразований матрицы А, не меняющих детерминанта в силу предложения 2: а, + а~ а; + аз а, + аз аг 2. Единственность детерминанта. Начнем с того, что с помощью известных нам свойств детерминанта вычислим детерминанты элементарных матриц. Если матрица 51 получена из единичной умножением какой-либо строки на число Л ф: О, то йе151 — — Лс1е1Е = Л, согласно свойству линейности детерминанта по строке. Если матрица 59 получена из Детерминант последней матрицы равен детерминанту А и отличается только знаком от детерминанта матрицы А'. Свойство, выраженное предложением 3, носит название антисимметрии детерминанта по строкам.

В дальнейшем нам потребуется Предложение 4. Пусть некоторая функция ~ на множестве квадратных матриц линейна по строкам, и для матриц, имеющих две одинаковые строки, ее значение равно нулю. Тогда на всех вырожденных матрицах ее значение равно нулю. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть А произвольная вырожденная матрица. Если строк больше одной, и они линейно зависимы, то одна из строк есть линейная комбинация остальных.

Допустим для определенности, что строка а1 разложена по а2,...,а„ с коэффициентами оа, ..., а„. Тогда последовательно применяя формулу (2), получаем ~(А) = о2~(А2) + ... + а„~(А„), где матрицы А2...., А„ получены из А заменой первой строки на ее 2-ю,...,и-ю строки. Каждая из них имеет две одинаковых строки, и потому ~(А,) = О, г = 2, ...,п. Отсюда ~(А) = О, как и требовалось. Гл.

Характеристики

Список файлов книги