Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры (10-е изд., 2005) (1004043), страница 34

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 34)

+ х"а„, и в силу линейности детерминанта по столбцу Ь' = х с1е1 ~ ~ а1 ... а, 1 а1 а,+1 ... а„( ~ + ... ... + х' с1еФ !) а1 ... а, 1 а; а;+1 ... а„!) + х" с1еС )( а1 ... а, 1 а„а;+1 ... а„!) . 9 б. Системы линейных уравнений (оби4ая теория) 149 Все слагаемые, кроме г-го, равны нулю, так как матрицы в них имеют по два одинаковых столбца. Поэтому Ь' = х' 11еФ А.

Отсюда ~г х = (7, = 1, ..., и ) (З) с1е1 А Формулы Крамера при и = 3 мы вывели в п. 6 ~ 4 гл. 1. 4. Формулы для элементов обратной матрицы. Рассмотрим квадратную матрицу А с детерминантом, отличным от нуля. Правило Крамера позволяет получить формулы, выражающие элементы обратной матрицы А 1 через элементы А. Пусть е — ~-й столбец единичной матрицы. Заметим, что ~-й столбец А 1 при произвольном 1' равен А 1е . Если мы обозначим его х, то Ах = е . Применим правило Крамера для нахождения г-й неизвестной в решении этой системы: х' = Ь'/с(е1 А, где Ь' — детерминант матрицы, получаемой из А заменой ее г-го столбца на ~-й столбец единичной матрицы.

Разлагая Ь' по этому столбцу., мы имеем только одно слагаемое, так как в е. только ~-й элемент равен 1, а остальные равны нулю. Следовательно,л1' = ( — 1)'+101, где д," -- дополнительный минор элемента а~ в матрице А. Подчеркнем, что этот элемент стоит в позиции, симметричной с позицией, в которой расположен вычисляемый нами элемент х'.. Окончательно, ( 1)1+1 ~.1 х' = (4) Формулы (4), как и правило Крамера, имеют некоторое теоретическое значение, но для численного решения систем линейных уравнений и обращения матриц применяются совсем другие методы, Унра мнения 1.

Пусть числа х1,х2,хз попарно различны. Докажите, что при любых у1, у, уз найдется единственный многочлен степени не выше двух,. график которого проходит через точки с координатами (х1, у1), (х2, у ), (хз, уз). 2. Пользуясь формулами (4), найдите обратную для матрицы а Ь д ~ 6.

Системы линейных уравнений (общая теория) 1. Условия совместности. Общие определения, касающиеся систем линейных уравнений, были введены в начале ~5. Теперь мы займемся изучением систем из т уравнений с и неизвестными. Систему а1х + а2х + ... + а„х" = Ь, +с1х + +а х"=Ь 1 2 атХ1 + атХ2 + + ОтХн Ьт 1 2 150 Гл. К Матрицы и системы линейных уравнений мы можем кратко записать в виде Ах =Ь. Система задается своей расширенной матрицей А*, получаемой объединением матрицы системы А и столбца свободных членов Ь. Простое и эффективное условие., необходимое и достаточное для совместности системы (1), дает следующая теорема, называемая теоремой Кронекера — Капелли.

Теорема 1. Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы. Иначе утверждение теоремы можно сформулировать так: приписывание к матрице А размеров т х п столбца Ь высоты ти не меняет ее ранга тогда и только тогда, когда этот столбец линейная комбинация столбцов А. Докажем это. Если Ве А* = Вя А, то базисный минор А является базисным и для А*. Следовательно, Ь раскладывается по базисным столбцам А. Мы можем считать его линейной комбинацией всех столбцов А, добавив недостающие столбцы с нулевыми коэффициен- тами. Обратно, если Ь раскладывается по столбцам А, то элементарными преобразованиями столбцов можно превратить А* в матрицу Ао, получаемую из А приписыванием нулевого столбца.

Согласно предложению 2 ~ 3, Вя Ао -— — ВяА*. С другой стороны, ВяА0 —— ВяА, так как добавление нулевого столбца не может создать новых невырожденных подматриц. Отсюда Вя А = Вя А*, как и требовалось. П р е д л о ж е н и е 1. Пусть матрица А* приведена к упрощенному виду с помощью элементарных преобразований строк. Система (1) несовместна тогда и только тогда, когда в упрощенную матрицу входит строка ~~ О ... О 1 ~~. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть рассматриваемая система не совместна, и ВяА" ) ВяА = г. В упрощенном виде матрицы А последние т — г строк нулевые. Последний столбец матрицы А* должен быть базисным, и в упрощенном виде матрицы А* последний столбец— г + 1-й столбец единичной матрицы.

Поэтому г + 1-я строка этой матрицы есть !) О ... О 1 )). Обратно, если в матрице содержится такая строка, то последний столбец не может быть линейной комбинацией остальных, и система с упрощенной матрицей несовместна. Тогда несовместна и исходная система (предложение 3 ~ 5). Иначе это предложение можно сформулировать так. С л е д с т в и е. Система линейных уравнений несовместна тогда и только тогда, когда противоречивое равенство О = 1 является линейной комбинацией ее уравнений. Равенство рангов матрицы системы и расширенной матрицы можно выразить, понимая ранг матрицы как строчный ранг. Это приведет ~б.

Системы линейных уравнений (общая теория) 151 нас к важной теореме, известной как теорема Фредгольма. Транспонируем матрицу А системы (1) и рассмотрим систему из и линейных уравнений а1~д1+ а~1д2+ ... + а1'у = О, а2д1 + а2у2 + ... + а2 д,„= О, (2) а~ у1 + а-„д2 + ... + а™у = 0 с ти неизвестными, матрицей Ат и свободными членами, равными нулю. Она называется сопряженной однородной системой для системы (1).

Если у — столбец высоты ш из неизвестных, то систему (2) можно записать как Ату = о, или лучше в виде утА = о) (3) где о нулевая строка длины и. Теорема 2. Для того чтобы система (1) была совместна, необходимо и достаточно, чтобы каждое решение сопряженной однородной системы (3) удовлетворяло уравнению у Ь = д,Ь'+ ... + д Ь- = О. (4) Доказательство. 1'. Пусть система (1) совместна, т. е. существует столбец х высоты и, для которого Ах = Ь. Тогда для любого столбца у высоты т выполнено утАх = утЬ.

Если у — решение системы (3), то утЬ = (утА)х = ох = О. 2'. Предположим теперь, что система (1) несовместна. Тогда согласно предложению 1 строка ~~ 0 ... 0 1 ~~ входит в упрощенный вид расширенной матрицы А* = ~~ А ~ Ь |! и, следовательно, является линейной комбинацией ее строк. Обозначим коэффициенты этой линей- ной комбинации у1, ...,д и составим из них столбец у. Для этого ут~~А! (предложение 1 ~ 2).

Это же равенство можно расписать как два: утА = о и утЬ = 1. Итак, нам удалось найти решение системы (3), не удовлетворяющее условию (4). Это заканчивает доказательство. В качестве примера применим теорему Фредгольма к выводу условия параллельности двух различных прямых на плоскости. Их уравнения составляют систему А1х + В1 у + С1 — — О, А~х + Взу + С~ — — О. Она не имеет решений, .если существуют такие числа д1, д2, что д1А1+ у~А2 — — О) у1В1 + у2В2 — — О, но д1С1 + у2С2 ф О. Ясно) что у1 и д2 не равны нулю.

Поэтому можно положить Л = — у2/д1 и записать полученное условие в виде: существует число Л такое, что А1 —— = ЛА2, В1 — — ЛВ2 и С1 ф ЛС2. В таком виде условие нам известно из предложения 7 ~ 2 гл. П. 152 1л. К Матрицы и системы линейных уравнений 2. Нахождение решений. В этом пункте мы будем предполагать, что дана совместная система из т линейных уравнений с п неизвестными. Ранг матрицы системы обозначим г. Поскольку ранг расширенной матрицы тоже равен г., мы можем считать базисные столбцы матрицы системы базисными столбцами расширенной матрицы. Элементарными преобразованиями строк приведем расширенную матрицу к упрощенному виду (предложение 6 ~ 3). Наша система линейных уравнений перейдет в эквивалентную ей систему из г линейно независимых уравнений. Для удобства записи будем предполагать, что первые г столбцов базисные.

Тогда преобразованную систему можно записать в виде 1 ~1 ( 1,т+1+ + 1 .н) (5) т ~т („т, т+1+ + т и) Здесь а' и,У элементы преобразованной расширенной матрицы. В левых частях равенств мы оставили неизвестные, соответствующие выбранным нами базисным столбцам, так называемые базисные неизвестные. Остальные неизвестные, называемые параметрическими, перенесены в правые части равенств. Как бы мы ни задали значения параметрических неизвестных, по формулам (5) мы найдем значения базисных так, что они вместе со значениями параметрических неизвестных образуют решение системы (1). Легко видеть, что так мы получим все множество решений.

На формулах (5) можно было бы и остановиться, но ниже мы дадим более простое и наглядное, а также принципиально важное описание совокупности решений системы линейных уравнений. 3. Приведенная система. Сопоставим системе линейных уравнений (1) однородную систему с той же матрицей коэффициентов: Ах=о. (6) По отношению к системе (1) она называется приведенной. Предложение 2.

Пусть хо решение системы (1). Столбец х также будет ее решением тогда и только тогда, когда найдется такое решение у приведенной системы (6), что х = хо + у. Доказательство. Пусть х решение системы (1). Рассмотрим разность у = х — хо. Для нее Ау = Ах — Ахо — — Ь вЂ” Ь = о. Обратно, если у — решение системы (6), и х = хо+ у, то Ах = = Ахо + Ау = Ь+ о = Ь. Это предложение сводит задачу описания множества решений совместной системы линейных уравнений к описанию множества решений ее приведенной системы. Однородная система совместна. Действительно, нулевой столбец является ее решением.

Это решение называется тривиальным. Пусть столбцы матрицы А линейно независимы, т. е. ВяА = и. ~б. Системы линейных уравнений (общая теория) 153 Тогда система ~6) имеет единственное решение (предложение 2 ~ 5) и, следовательно, нетривиальных решений не имеет. Предложение 3. Если х1 и х решения однородной системы, то любая их линейная комбинация также решение этой системы. Действительно, из Ах1 — — о и Ах~ — — о для любых о и Д следует А(ох1+ (Зх2) = ~Ах1+ 3Ахз —— о. Если однородная система имеет нетривиальные решения, то можно указать несколько линейно независимых решений таких, что любое решение является их линейной комбинацией. Сделаем это. О п р е д е л е н и е.

Характеристики

Список файлов книги