Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры (10-е изд., 2005) (1004043), страница 38
Текст из файла (страница 38)
~ 2. Линейные подпространства 1. Определения и примеры. В обычном геометрическом пространстве сумма векторов, лежащих в некоторой плоскости, также лежит в этой плоскости, и умножение вектора на число не выводит его из плоскости, в которой он лежит. Теми же свойствами обладают векторы, лежащие на прямой линии. Для линейных пространств обобщением плоскости и прямой служат линейные подпространства. О и р е д е л е н и е. Непустое подмножество Р векторов линейного пространства ~ называется линейным подпространством, если: а) сумма любых векторов из .~ж принадлежит У~; б) произведение каждого вектора из .У на любое число также принадлежит У .
В силу этого определения любая линейная комбинация векторов из У принадлежит У . В частности, нулевой вектор как произведение Ох должен принадлежать .У, и для каждого х из .У противоположный вектор — х = ( — 1)х лежит в У'. Сложение и умножение на число, .определенные в У, будут такими же операциями в его подпространстве У . Справедливость аксиом линейного пространства для .У' прямо вытекает из их справедливости для У. Таким образом, подпространство является линейным пространством. П р и м е р 1. Пусть дано некоторое множество М векторов в линейном пространстве Ж Обозначим через ~" совокупность всевозможных линейных комбинаций, .каждая из которых составлена из конечного числа векторов из,У'.
Множество У является подпространством 166 Гл. И; 7инейные пространства в У'. Действительно, если х и д принадлежат .У, то х = Л1р1 + ... " + Лири- и д = р1а1 + ... + р, о , где р,,о е ,У (г = 1,..., Й; = 1, ...,ш). Мы видим, что х+ д = ~~~ Лерг + ,'~ р~о;, т. е. х+ д также является линейной комбинацией конечного числа векторов из ~~. Точно так же мы видим, что ах = ~(оЛ,;)р, Так построенное подпространство У называется линейной оболочкой множества,У.
Пусть р1,...,р линейно независимая система векторов из ~~ такая, что каждый вектор из,У по ней раскладывается. (Если пространство конечномерно, то очевидно, что в каждом множестве, содержащем ненулевые векторы, такая система найдется.) Векторы р1, ...,р образуют базис в линейной оболочке,У. В самом деле, каждую линейную комбинацию векторов из,У можно представить как линейную комбинацию векторов р1, ...,р, так как каждый вектор из М можно разложить по р1, ...,р.„и подставить эти разложения в рассматриваемую линсйпую комбинацию.
В частности, если .М конечное множество векторов, мы имеем Предложение 1. Размерность линейной оболочки множества из т векторов не превосходит т. П р и м е р 2. Рассмотрим однородную систему линейных уравнений с п неизвестными. Согласно предложению 3 ~ 6 гл. Ъ' совокупность всех решений этой системы представляет собой подпространство в линейном пространстве столбцов высоты и. Каждая фундаментальная система решений этой системы уравнений является базисом в этом подпространстве.
Пример 3. В каждом линейном пространстве множество, состоящее только из нулевого вектора, является подпространством. Оно называется нулевым. Пример 4. Все пространство У является подпространством в У. Предложение 2. Пусть У" подпространство и-мерного пространства У. Тогда с1пп У ( и. Если с1пп У = и, то Р совпадает с У. Действительно, любая система из ~п > п векторов в .У' лежит также и в У и потому линейно зависима. Пусть базис в У" содержит п векторов. Тогда любой вектор из г.-" раскладывается по этому базису и, следовательно, принадлежит ~."'.
Значит,.2" совпадает с У. Сформулируем еще одно достаточно очевидное Предложение 3. Пусть У' подпространство п-мерного линейного пространства У. Если базис е1, ...,еь в У' дополнить до ба! зиса е1, ..., еь, е~ 1, ..., е„в У, то в таком базисе все векторы из У и только они будут иметь компоненты ~ь+1 = О, ..., (' = О. Действительно, если для вектора х имеем ~~+' = ... = ~" = О, то х = ~1е~ + ... + ~ье~ и, следовательно, х Е У. Обратно, вектор ~ 2. Линейные подпространства 167 из У~ раскладывается в линейную комбинацию х = ~1е~ + ... + ~~еь. Она же есть разложение х по базису е1, ..., е„при ~"+' = ...
= ~" = О. Заметим, что равенства ~~+' = О, ..., ~" = О можно рассматривать как систему линейных уравнений, связывающую координаты вектора х. Нетрудно доказать, что и в любом другом базисе У определяется системой линейных уравнений. Действительно, при замене базиса старые компоненты выражаются через новые по формулам (5) ~ 1, и в новом базисе система уравнений примет вид о, ~ =О г=1 о,"с = О. 2. Сумма и пересечение подпространств.
Рассмотрим два подпространства .У и У линейного пространства У. О и р е д е л е н и е. Будем называть суммой подпространств У и У" и обозначать У' + Уи линейную оболочку их объединения ~д/ ~ ~ (-дн Подробнее определение означает, что вектор х из У + У (и только такой) представим в виде х = ~ о,р, + ~) Д оз, где векторы р; лежат в У, а о, — - в У . Обозначая написанные выше суммы через х' и х", мы видим, что подпространство .У +.У состоит из векторов., представимых в виде х = х' + х", где х' Е У, а х" б У . Пусть размерности подпространств У" и Ун равны й и 1. Выберем в этих подпространствах базисы е1, ...,еь и ~1, ..., ~в Каждый вектор из У + У раскладывается по векторам е1,...,е~ ~1,...,~с, и мы получим базис в .У + У', если удалим из этой системы все векторы, которые линейно выражаются через остальные.
Сделать это можно, например, так. Выберем какой-либо базис в У и составим матрицу из координатных столбцов всех векторов е1, ..., еь, ~1, ..., Д. Те векторы, координатные столбцы которых -- базисные столбцы этой матрицы, составляют базис в У + ~." . О п р е д е л е н и е. Назовем пересечением подпространств У и У и обозначим.У П ~!' множество векторов, которые принадлежат обоим подпространствам.
Пересечение У й У есть подпространство. Действительно, нулевой вектор лежит во всех подпространствах и, следовательно, пересечение не пустое множество. Если векторы х и у лежат в у П ун, Ранг этой системы равен и — к, поскольку строки матрицы перехода линейно независимы. Итак, мы доказали Предложение 4. Пусть в п-мерном пространстве У выбран базис.
Тогда координатные столбцы векторов, принадлежащих И-мерному подпространству ~" (й < п), удовлетворяют однородной системе линейных уравнений ранга п — Й. 168 Гл. И. Линейные пространства то они лежат как в У, так и в У . Поэтому вектор х+ д и при лю! и бом а вектор ах также лежат и в Р, и в .У, а следовательно, и в .~" Л.Ж". В конечномерном пространстве подпространства могут быть заданы системами линейных уравнений.
Тогда их пересечение задается системой уравнений, получаемой объединением систем, задающих подпространства. Для в ) 2 подпространств У ,..., У' сумма и пересечение определяются аналогично, и полученные выше свойства переносятся на суммы и пересечения з подпространств. В частности, суммой подпространств Т~, ..., У" называется линейная оболочка их объединения. Это — множество всех векторов, представимых в виде суммы х1+ ...
+ х,, где х; Е У' (х = 1, ..., в). Каждый из векторов х.; может быть разложен по базису в своем подпространстве У', и потому любой вектор из суммы ~.", ..., У' раскладывается по системе векторов, получаемой объединением базисов всех подпространств. Число векторов в этой системе равно йт У~ + ... + йтп У'. Поскольку векторы всех базисов в совокупности могут быть линейно зависимыми, размерность суммы подпространств может оказаться меньше общего числа векторов в системе: йт( ~,'" + ...
+ .У') < йш ~' + ... + йп1.У' Базис в сумме подпространств получается, как и при з = 2, из объединения базисов слагаемых удалением векторов, линейно выра- жающихся через остальные О п р е д ел е н и е. Сумма подпространств .У'~, ...,.У' называется прямой суммой., осли со размерность раппа сумме размерностей этих подпространств, т. е. имеет максимальное из возможных значений. Если надо подчеркнуть в обозначении, что сумма прямая., то используют знак 63. Прибавление нулевого подпространства не меняет ни размерность суммы, ни сумму размерностей.
Но ниже мы будем считать подпространства ненулевыми, чтобы избежать оговорок, вызванных несуществованием базиса в нулевом подпространстве. Предложение 5. Для того чтобы сумма У' подпространств У', ..., У' была прямой суммой, необходимо и достаточно выполнение любого из следующих четырех свойств: а) любая система из т, ( з ненулевых векторов, принадлежащих различным подпространствам У" (г = 1, ..., з), линейно независима; б) каждый вектор х Е Т' однозначно раскладывается в сумму х1 + ... + х„где х, Е У' (г = 1, ..., в); в) пересечение каждого из подпространств .У" с суммой остальных есть нулевое подпространство; 92. Линейные подпространстеа 169 г) объединение базисов подпространств У' (г = 1, ..., з) есть базис в ~'.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Мы докажем, что из определения прямой суммы следует свойство а), и каждое из свойств б), в) и г) следует из предыдущего. Поскольку из свойства г) непосредственно следует определение прямой суммы, это будет означать равносильность каждого из свойств определению. 1. Докажем от противного, что из определения следует свойство а).
Допустим, что нашлась линейно зависимая система ненулевых векторов х,,, ..., х, таких, что никакие два из них не лежат в одном и том же подпространстве ~'. Дополним каждый из этих векторов до базиса в его подпространстве, а в тех подпространствах, из которых в системе векторов нет, выберем базис произвольно. Объединение этих базисов система из й = йпт У'~ + ... + йгп У' векторов. Каждый вектор из У раскладывается по этой системе, но система эта линейно зависима (так как она содержит линейно зависимую подсистему). Поэтому базис в ~' содержит меньше, чем Й векторов, и размерность суммы меньше суммы размерностей. 2. Докажем, что из свойства а) следует свойство б). Допустим, что б) не выполнено и некоторый вектор х представлен как сумма х = =х1+ ... +;с, и как сумма х=д1+ ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
