Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры (10-е изд., 2005) (1004043), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Действительно, если у = = А(х) и о ф хо Е Кет А, то А(х + хо) = у. Верно и обратное утверждение: если какой-то вектор д Е У имеет хотя бы два различных прообраза, то ядро А содержит ненулевой вектор. Действительно, если А(х1): А(хг): у для х1 ~ х2, то 4(х1 — х2): О и г: х1 — х2 ненулевой вектор в ядре. Отображение, при котором различные векторы имеют различные образы, называется инъективным отображением. Итак, получено П р е д л о ж е н и е 3. Отображение инъективно тогда и только тогда, когда его ядро нулевое подпространство.
Если отображение инъективно, то линейно независимые векторы переходят в линейно независимые. Действительно, пусть образы векторов х1, ...,хь линейно зависимы: а14(х1) + ... + аьА(хь) = о. Тогда 4(а1х1+ ... + а~хА) = о. Отсюда для инъективного отображения получаем а1х1+ ... + аьхь = о, и, следовательно, х1, ..., хь линейно зависимы. 2. Координатная запись отображений. Рассмотрим линейные пространства У и .У размерностей п и т и линейное отображение А: У' -+ Ж Пусть е1, ..., е.
базис в ~!'. Тогда образ произвольного вектора х = ~' е1 + ... + ("е„раскладывастся в линейную комбинацию А(х) = ~~ 4(е1) + ... + ('"'А(е„). (3) Значит., А(х) может быть найден по координатам х, если известны образы базисных векторов 4(е1), ..., 4(е„). Выберем также базис в пространстве У. Пусть зто К =- ~~ ~1 ... 7',„, ~~. Каждый из образов базисных векторов мы можем разложить по Г: А(е;) = ~~У а~л, (г =1,...,п). р Если компоненты вектора А(х) мы обозначим через ту~, ...,и, то равенство (3) может быть переписано так: 2н Отсюда в силу единственности разложения по базису о ц" = ~ ~аЯ' (р = 1, ...,т).
г=1 Гл. И. Линейные пространства Ксли мы составим матрицу А из чисел а1', то равенства (4) могут быть записаны в матричной форме ц = Ас, (5) или, подробнее ) 9 т т 1 "' и Здесь координатный столбец образа вектора х (в базисе К) выражен как произведение матрицы А размеров т х и на координатный столбец вектора х в базисе е. Определение. Матрицей линейного отображения А: У вЂ” + У в паре базисов е и Г называется матрица, столбцы которой (в их естественном порядке) — координатные столбцы векторов А(е1), ..., А(еп) в базисе Г.
Формула (5) показывает, как употребляется матрица линейного отображения для нахождения образа вектора. Матрица линейного отображения в следующем смысле однозначно определена: если для любого вектора х = ес координатный столбец образа в базисе Г есть т~ = В~, то матрица В совпадает с А. Зто утверждение нетрудно проверить. Умножим матрицу В на координатный столбец вектора е,, т. е. на 1-й столбец единичной матрицы. Произведение равно 1'-му столбцу В, а это и есть координатный столбец А(е,) Пример 5 показывает, что при выбранных в пространствах У и У базисах каждая матрица размеров 1н х и служит матрицей некоторого линейного отображения У вЂ” ~ .У. Предложение 4. Ранг матрицы линейного отображения равен рангу этого отображения, Доказательство. Пусть з1, ..., 1',.
номера базисных столбцов матрицы А линейного отображения А. Тогда векторы А(е -, ), ..., А(с, ) линейно независимы и каждый из векторов А(е,) (1 = 1, ..., п) по ним раскладывается. Следовательно, мы можем разложить образ А(х) любого вектора только по А(ед,), ..., А(е,). Таким образом, эти векторы образуют базис в 11пА, и их число равно рангу А. Предложение доказано. Из этого предложения видно, что ранг матрицы линейного отображения один и тот же, какую бы пару базисов мы пи выбрали. Предложение 5. Сумма ранга отображения и размерности его ядра равна размерности отображаемого пространства. Д о к а з а т е л ь с т в о. Согласно формуле (5) ядро отображения определяется однородной системой линейных уравнений Ас = о с п неизвестными.
Ранг матрицы системы равен рангу отображения г. Фундаментальная система решений этой системы состоит из а = п — г ~ 3. Линейные отображения решений, которые являются координатными столбцами векторов, составляющих базис в ядре. В частности, равенство г = п необходимо и достаточно, чтобы отображение имело пулевое ядро, т. е. было ипъективпым. Напомним, что отображение называется взаимно однозначным, если каждый вектор д Е У является образом одного и только одного вектора из У, т. е. если оно является как инъективным, так и сюрьективным.
Для инъективного отображения г = п, а для сюръективного г = ш. Итак, имеет место Предложение 6. Линейное отображение А: У' -+ У' взаимно однозначно тогда и только тогда, когда размерности пространств совпадают и равны рангу отображения: и = ш = В,е: А. 3. Изоморфизм линейных пространств. Дадим следующее О п р е д е л е н и е. Взаимно однозначное линейное отображение называется изоморфизмом. Если существует изоморфизм У -+ У., то линейные пространства .У и У называются изоморфными. П р и м е р 7.
Выбор базиса в и-мерном линейном пространстве У определяет изоморфизм Т на и-мерное арифметическое пространст- во, сопоставляющий каждому вектору его координатный столбец. Это координатный изоморфизм. Из предложения 6 видно, что два линейных пространства могут быть изоморфны только тогда, когда их размерности совпадают. Оказывается, это условие является и достаточным: имеет место Теорема 1.
Два вещественны пространства изоморфны тогда и только тогда, когда их размерности равны. То же верно и для комп- лексных пространств. Нам остается проверить только достаточность условия. Она очевидна: пусть У и У два и-мерных линейных пространства. Если в каждом из них выбран базис, то любая невырожденная квадратная матрица порядка и по формуле (5) определяет линейное отображение, которое будет изоморфизмом согласно предложению 6.
Значение теоремы об изоморфизме линейных пространств в следующем. Линейные пространства могут состоять из чего угодно (столбцов, многочленов, чисел, направленных отрезков, функций) природа их элементов роли не играет, когда изучаются их свойства, связанные с линейными операциями. Все эти свойства у двух изоморфных пространств совершенно одинаковы. Если мы условимся не различать между собой изоморфные пространства, то для каждой размерности найдется только одно линейное пространство. 4.
Изменение матрицы линейного отображения при замене базисов. Рассмотрим линейное отображение А: У -+ У. Если в пространствах выбраны базисы е и Г, то А определяется матрицей А. Пусть другая пара базисов е' и К' связана с е и Г матрицами перехо- Гл.
И. Линейные пространства 176 да Я и Р, и в базисах е' и Г' отображение А имеет матрицу А'. Наша задача найти связь между матрицами А и А'. Рассмотрим произвольный вектор х пространства У' и его образ у = А(х). Обозначим координатные столбцы х в базисах е и е' соответственно через с и с', а координатные столбцы у в базисах Г и Г' через ц и ц'.
Согласно формуле (4) ~ 1 с = Я', ц = Рц'. Подставив эти выражения в формулу (5), мы получаем Рц' = АЯ'. Поскольку матрица перехода имеет обратную, ц' = Р 1АЯ'. Но по формуле (5) ц' = А'с'. Так как матрица линейного отображения для данной пары базисов единственна, мы получаем ~/ Р— 1 ® 5. Канонический вид матрицы линейного отображения. Естественно возникает вопрос, как выбрать в пространствах У и У базисы таким образом, чтобы матрица заданного отображения имела возможно более простой вид.
Теорема 2. Для любого линейного отображения А: .У -+ У ранга г можно так выбрать базисы в У и У, что оно будет иметь (7) (Е, единичная подматрица порядка г, остальные элементы, если они есть, равны нулю). Доказательство. Поместим векторы е,+1, ...,е„базиса пространства У в КегА (его размерность как раз равна п — г), а векторы е1, ...,е„можем выбрать произвольно. В силу такого выбора при любом базисе в У последние п — г столбцов матрицы А будут нулевыми. Так как НяА = г, первые г столбцов должны быть линейно независимыми.
Поэтому линейно независимыми будут векторы А(с1), ...,А(е„). Примем их за первые г базисных векторов в пространстве У, а остальные векторы ~,+1, ..., ~ этого базиса выберем произвольно. При таком выборе первые г столбцов А будут первыми г столбцами единичной матрицы порядка т. Это и есть вид (7). 6. Сумма и произведение отображений.
Рассмотрим два линейных отображения А: У -+ У и В: У -+ У. Мы назовем суммой этих отображений и обозначим А + В отображение С: У' — > У, определяемое равенством С(х) = А(х) + В(х) для любого х Е Ж Не представляет труда проверить, что С линейное отображение. Действительно, если в У и У' выбраны базисы., координатные столбцы векторов А(х) и В(х) запишутся через матрицы отображений как А~ и В(. Следовательно, С(х) будет иметь координатный столбец А~ + В~ = (А+ В)~.
Итак, сумма А+ В линейных отображений линейное отображение, и его матрица равна сумме матриц А+ В. ~ 3. Линейные отображения Произведение линейного отображения А на число о определяется как отображение В., сопоставляющее вектору х вектор аА(х). Легко проверить, что это отображение линейное и имеет матрицу аА, если А — матрица отображения А. Из сказанного следует., что по отношению к введенным здесь линейным операциям множество всех линейных отображений .У в У представляет собой линейное пространство, которое изоморфно линейному пространству матриц размеров т х п.
Теперь рассмотрим три линейных пространства У, У и У . Результат последовательного выполнения отображений А: У -+ У' и В: У' -+ .2'н называется их произведением и обозначается ВА (отображение, которое делается первым, пишется справа). Разумеется, ВА отображает У в Уи и является линейным отображением. Пусть в пространствах .У, У' и У" выбраны базисы соответственно е, Г и д. Обозначим через А матрицу отображения А в базисах е и Г, а через В матрицу отображения В в базисах Г и д. Предложение 7. Отображение ВА имеет матрицу ВА в базисах е и а:. Доказательство. Рассмотрим координатный столбец с произвольного вектора из Ж Координатные столбцы векторов А(х) и В(А(х)) обозначим соответственно через и и ~.
Тогда и = Ас и ~ = = Вх1 = ВАс, как нам и требовалось. Ранг отображения равен рангу его матрицы, а потому из оценки ранга произведения матриц (предложение 7 ~ 5 гл. Ъ") следует Предложение 8. Ранг произведения отображений не превосходит рангов этих отображений. Другие свойства умножения отображений тоже легко следуют из свойств умножения матриц, и мы не будем на них останавливаться. Пусть дано линейное отображение А: У' -+ .У. Линейное отображение В: У -+ У назовем обратным для А и будем обозначать А если ВА = Е и АВ = Е, где Е и Š— тождественные преобразования пространств У' и У'. Иначе говоря, для любых х Е .У и д Е У' должно быть В(А(х)) = х, А(В(у)) = д. (8) 12 Д.В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
