Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры (10-е изд., 2005) (1004043), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Например, читатель может проверить, что линейное преобразование двумерного пространства, задаваемое матрицей 1 1 О 1 имеет собственное значение кратности 2 и одномерное собственное подпространство. 7. Комплексные характеристические числа. Допустим, что у линейного преобразования А вещественного линейного пространства У характеристический многочлен имеет комплексный (не вещественный) корень Л.
Поскольку коэффициенты многочлена вещественны, комплексно сопряженное число Л также будет корнем многочлена. Имеет место Предложение 8. Паре комплексно сопряженных корней характеристического многочлена преобразования А вещественного прост- ~~. Задача о собственных векторах ранства соответствует ненулевое инвариантное подпространство У', обладающее тем свойством, что оно не содержит собственных векторов, а через любой его вектор проходит двумерное инвариантное.
подпространство. Д о к а з а т е л ь с т в о. Числа Л и Л являются корнями вещественного квадратного трехчлена 1~ + р1 + у (в котором р = — (Л + Л), а а = ЛЛ). Рассмотрим линейное преобразование В = А~ + рА + дЕ и подпространство У = Кег В. По предложению 3 У инвариантно. I Докажем, что У вЂ” ненулевое подпространство. Если в некотором базисе А имеет матрицу А, то матрицей преобразования В будет А + рА+ уЕ. Эта матрица вещественна, но раскладывается на два комплексных множителя: В = (А — ЛЕ)(А — ЛЕ). Отсюда с1е1 В = = с1ей(А — ЛЕ) с1е1(А — ЛЕ) = О, так как с1еС(А — ЛЕ) = О, и мы видим, что ядро В ненулевое. У не содержит собственных векторов. Действительно, если для некоторого вектора х выполнено А(х) = ихг то В(х) =,и2х+ррх+ + ах = (и~ + ри + д)х. Так как квадратный трехчлен не имеет вещественных корней, р2 + рр + у ф- .О, и поэтому из В(х) = о следует х = о.
Вектор х не может быть собственным. Пусть теперь х — ненулевой вектор из У . Рассмотрим подпространство .У линейную оболочку векторов х и 4(х). Это подпространство инвариантно. В самом деле, пусть д = ох+ ДА(х) вектор из Уп. Тогда 4(д) =- сгА(х) + ВА (х). Так как В(х) =- о, мы находим, что А (х) = — рА(х) — ух, и потому А(д) = оА(х) — ДрА(х)— — Ддх. Значит, А(д) раскладывается по х и А(х), т. е. принадлежит .У . Итак, линейная оболочка векторов х и А(х) инвариантное подпространство. Ясно, что его размерность не больше двух.
Если бы она равнялась 1, то подпрострапство содержало бы собственный вектор, чего, как мы видели, быть не может. Предложение доказано. Рассмотрим корни характеристического многочлена. Если среди них найдется вещественный, то существует собственное подпространство„ а значит, и одномерное инвариантное подпространство. Если найдется не вещественный корень, то найдется двумерное инвариантное подпространство. Поэтому имеет место С л е д с т в и е.
Любое линейное преобразование ненулевого вещественного пространства имеет или одномерное, или двумерное инвариантное подпространство. 8. Приведение матрицы преобразования к диагональному виду. Из предложения 6 вытекает Предложение 9. Матрица преобразования А в базисе ег, ...,е„ является диагональной тогда и только тогда, когда все базисные векторы собственные. В этом случае диагональные элементы матрицы собственные значения. Для произвольного линейного преобразования может не сущест- 188 Гл.
КГ. Линейные пространства вовать базиса из собственных векторов (пример в конце п. 6). Если такой базис существует, то мы будем говорить, что матрица преобразования приводится к диагональному виду, а преобразование называют диагонализуемым или преобразованием простой структуры. Предложение 10. Преобразование А пространства У диагонализуемо тогда и только тогда, когда У совпадает с суммой собственных подпространств А.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Если У' совпадает с суммой собственных подпространств, то в У есть базис из собственных векторов, так как сумма собственных подпространств прямая, и объединение их базисов — базис в У. Обратно, если есть базис из собственных векторов, то каждый вектор раскладывается по собственным векторам, и потому принадлежит сумме собственных подпространств. Следующее предложение дает простое, но важное достаточное условие диагонализуемости преобразования. Предложение 11. Если преобразование и-мерного пространства У имеет и попарно различных собственных значений, то оно диагонализуемо.
Действительно, соответствующие этим и собственным значениям собственные подпространства расположены так, что их сумма прямая. Самое меньшее, каждое из них имеет размерность 1, и потому размерность суммы не может быть меньше, чем п. Значит, сумма собственных подпространств должна совпадать с У Условие в предложении 11 не является необходимым. Например, если все элементы диагонали одинаковы (в частности, для тождественного и нулевого преобразований), то каждый ненулевой вектор будет собственным, и в каждом базисе матрица преобразования будет диагональной.
Предложению 11 можно придать следующую форму. П р е д л о ж е н и е 12. Если все характеристические числа матрицы А попарно различны, то существует невырожденная матрица Я такая, что матрица Я ~АЯ диагональная. Если матрица А вещественна, а ее характеристические числа попарно различны и вещественны, то существует такая вещественная матрица Я.
Теорема 4. Линейное преобразование А пространства У диагонализуемо тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет уравнению р(А) = О, где р(~) — некоторый многочлен без кратных (а для вещественного пространства и комплексных) корней. При этом все собственные значения преобразования корни многочлена. Д о к а з а т е л ь с т в о. 1'. Пусть А диагонализуемо. Это значит, что У раскладывается в сумму собственных подпространств, и каждый вектор х представим в виде суммы х = х1 + ... + х, собственных векторов, принадлежащих различным собственным значениям Л1, ...
..., Л,. Рассмотрим многочлен р(г) = (г — Л1)...(г — Л,) и покажем, что преобразование й = р(А) = (А — Л1Е)...(А — Л,Е) нулевое. Действи- ~~. Задача о собспгвенных векторах 189 тельно, согласно (10) (А — Л~Е)(хз) = (Л. — Л;)х., и потому 1~(хз') = (Лз' Лз)" (Лз' Л')" (Лз' Л )х' = о. Отсюда вытекает, что й(х) = й(х1) + ... + Й(х,) = о для любого х. 2'. Обратно, пусть А удовлетворяет уравнению р(4) = О, в кото- ром рф = (1 — а1)...(Р— а,). Разложим функцию 1/р(г) на элементар- ные дроби: +...+ р® ~ — а1 ~ — о, После приведения к общему знаменателю получим тождество 1=Ч И)+" +Ь®, где д;® = Др(1)/(1 — а,) произведение о, на многочлен, получае- мый из р(~) вычеркиванием множителя ~ — а,.
Подставим в это тож- дество преобразование 4 вместо переменной ~: Е = о1 (4) + ... + ц,(4). Подействуем обеими частями полученного равенства на произволь- ный вектор х. Мы получим х = х1 + ... + х„где х; = ц;(4)(х). Вектор х; ф о тогда и только тогда, когда он собственный, а о, соответствующее собственное значение. Действительно, (А — а,Е)(х,) = Др(А)(х) = о. Таким образом, произвольный век- тор пространства разложен в сумму собственных векторов.
Это равносильно тому, что .2' раскладывается в сумму собственных под- пространств. 9. Приведение матрицы преобразования к треугольному виду. Теорема 5. В комплексном линейном пространстве для каждого линейного преобразования существует базис, в котором матрица преобразования — верхняя треугольная. В вещественном пространстве то же утверждение справедливо, если все корни характеристического многочлена преобразования вещественны Заметим, что диагональные элементы треугольной матрицы корни ее характеристического многочлена. Поэтому условие во второй части теоремы необходимо.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Если в п-мерном пространстве у линейного преобразования А существует собственное значение Л, то найдется (и — 1)-мерное инвариантное подпространство У, 1. Действительно, йгп 1гп(А — ЛЕ) = п — йгп Кег(А — ЛЕ) < п — 1. Инвариантным будет любое (и — 1)-мерное подпространство У.„1, содержащее 1гп (4 — ЛЕ), так как если х Е У'„1, то А(х) можно представить в виде суммы (А(х) — Лх) + Лх, причем А(х) — Лх Е 1гп(4 — ЛЕ) С С У„1иЛхб У„1. Поместим в У„1 первые п — 1 базисных векторов.
Так как .У„ инвариантно, первые п — 1 элементов последней строки матрицы А преобразования будут равны нулю. Мы можем свободно распоряжаться первыми п — 1 базисными векторами, не выводя их из Гл. р7. Линейнь~е пространства Применим те же соображения к ограничению преобразования А на У„г. Мы получим ~~„з С У„г, и поместив туда первые и — 2 базисных векторов, сделаем равными нулю элементы (и — 1)-й строки, лежащие ниже диагонали. Продолжая далее те же рассуждения, мы получим цепочку инвариантных подпространств .5.
1 С ... С ~п — 2 С Мп — 1~ (11) причем е1 е Ж; е1., е2 е Ж2, ..., е1, ..., е„1 е У'„1. Матрица преобразования в таком базисе будет треугольной. В комплексном пространстве на каждом этапе существование собственного значения сомнений не вызывает. В вещественном пространстве мы предполагаем, что все корни характеристического многочлена вещественны. Докажем, что в этом случае ограничение А' преобразования А на ! каком-либо инвариантном подпространстве У имеет только вещественные корни характеристического многочлена. Допустим, что у 4 существует пара комплексно сопряженных корней Л и Л, и обозначим р = — (Л+ Л) и д = ЛЛ. Согласно предложению 8 найдется ненулевой вектор х Е У', такой, что (А' + рА'+ дЕ')х = о. Так как А'(г) = А(х), мы имеем (А +рА+ дЕ)х = о.
Это означает, что матрица В преобразования А +рА+ дЕ вырождена. По В = А2+рА+ + О.Е = (А — Л.Е) (А — Л.Е) . Поэтому из сЫ В = О следует сЫ(А — Л Е) = = О, что противоречит условию теоремы. Таким образом, и в вещественном пространстве при наших предположениях на каждом этапе построения базиса существование собственного значения гарантиро- вано.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
