Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры (10-е изд., 2005) (1004043), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Так как пространство У п-мерное, эти функции составляют в нем базис. О пре дел ение. Базис р', ..., р" в У'*, определяемый формулой (5), называется биортогональным или взаимным базису е1, ...,е„пространства У. Строка Й р1... д„~~ раскладывается по строкам единичной матрицы с коэффициентами р1, ..., д„.
Поэтому элемент 1 пространства У" со строкой коэффициентов ~~~р1 ... р,„~~ имеет разложение ~=Ф1Р +" +Ф Р (6) Введем столбец р, составленный из функций р'. Теперь разложение (6) можно переписать в матричной форме. ~=!!А" р 1! Таким образом, строка координат элемента 1 Е .~* во взаимном базисе р совпадает с его строкой коэффициентов в исходном базисе е1, ..., е„ пространства .У. Если для пространства .У' придерживаться соглашения писать компоненты вектора в столбец, а базисные векто- ры в строку, то формулу (7) следовало бы написать в виде 1 = =Р 'Р Пусть в .Т базисы е и е' связаны равенством е' = еЯ.
Найдем матрицу перехода между их взаимными базисами р и р'. Для этого напишем формулу (4) в виде (4) ~ 1, решив ее относительно старых коэффициентов и транспонировав, чтобы записать коэффициенты в столбец. Мы получим Ю' = Ф ')т'р' . Отсюда видно, что матрицей перехода от базиса р к базису р' в пространстве У* будет матрица (Я 1)~. Значит, базисы связаны формулой р' = р~(Я 1)~. Если вернуться для пространства Ж* к записи уа.
Линейные функции 195 элементов базиса в столбец, связь базисов примет вид р =М. (8) Пространство У такое же линейное пространство, как и любое другое, и, следовательно, имеет сопряженное пространство У"*, элементы которого — линейные функции на У . Предложение 4. Пространство У** молсет быть отождествлено с У. Д о к а з а т е л ь с т в о. Фиксируем определенный вектор х из У и сопоставим каждому элементу Е Е У* число Е(х). Таким образом, х можно рассматривать как функцию на У . Эта функция линейная.
Действительно, (Е+ д)(х) = Е(х) + фх), и, следовательно, х сумме функций сопоставляет сумму чисел, сопоставляемых слагаемым. Аналогично, равенство (аЕ)(х) = аЕ(х) означает, что произведению Е на о вектор х сопоставляет произведение о на число, сопоставленное Е. Итак, х можно отождествить с некоторым элементом У При этом сумма и произведение на число для векторов из х' совпадают с их суммой и произведением на число, если их понимать как функции на.У .
Это очевидно. Например, для суммы это равносильно равенству Е(х + д) = Е(х) + Е(д). Теперь мы видим, что У может быть отождествлено с подпространством в х'"'. Но с1пп.х' = с1пп У'* = с1пп х'**, и подпростран- ство совпадает со всем пространством. Упражнения 1. Может ли для линейной функции на линейном пространстве ~~~ для всех х Е.5~ выполняться: а) Г(х) ) О; б) Е(х) ) О? 2. Пусть а — фиксированный вектор плоскости. Сопоставим каждому вектору х площадь ориентированного параллелограмма, построенного на х и а, или О, если векторы коллинеарны. Проверьте, что эта функция линейна, и найдите строку ее коэффициентов в базисе е1,ез, если а = ае1+ ое>. Изменив базис, проверьте формулу (4).
3. Пусть к натуральное число. Сопоставим каждому многочлену степени не выше и, значение его к-й производной в точке а. Проверьте, что этим определена линейная функция. Найдите ее координатную строку в базисах: а) 1, Е, 1, ..., Г"; б) 1, (Š— а), (Š— а), ..., (Š— а) 4. Пусть еп ..., е„Е.У и р', ..., р" Е У пара биортогональных базисов. Докажите, что для любого х Е х' и для любого Е Е х."'" выполнено х = = р'(х)е1+ ... + р" (х)е„и Е = Е(е1)р + ... + Е(е„)р". ~ 6.
Квадратичные формы 1. Билинейные функции. Введем следующее Определение. Билинейной функцией или билинейной формой на линейном пространстве У называется функция Ь от двух векторов Гл. 17. Линейные пространства 198 Правая часть формулы (7) — однородный многочлен второй степени относительно ~', ..., ~". (Собственно, слово "форма"., когда-то употреблявшееся значительно шире, означает "однородный многочлен'.) Приведенная запись этого многочлена содержит подобные члены: при г ф ~ члены Дф~1 и Д,Я' и,З„Я' совпадают. Поэтому после приведения подобных членов (7) принимает вид 1с(х) =,Зп(~ ) +2Д2(' ~ +Д22(~ ) +2Аз~ (~+ ...
(8) О и р е д е л е н и е. Квадратичная форма М в базисе е имеет диагональный вид, если в этом базисе т. е. ее матрица является диагональной. Теорема 1. Для каждой квадратичной формы 1с существует базис, в котором она имеет диагональный вид. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть В матрица квадратичной формы М в каком-либо базисе. Применим к матрице В последовательность элементарных преобразований, которую для удобства описания разобьем на ряд шагов. На первом шаге возможны два случая.
1) Основной случай:,311 ф О. Если это так, вычитаем первую строку, умноженную на подходящие множители (Д;/,311 для г-й строки), из всех лежащих ниже строк и вычитаем первый столбец, умноженный на те же множители, из всех столбцов правее него. В результате матрица В перейдет в матрицу В1 вида 0 ... 0 0 (10) где С1 — - симметричная матрица порядка и — 1. 2) Особый случай: Дд — — О. Здесь имеются две возможности.
а) о1; = 0 для всех г = 2, ..., и. При этом матрица уже имеет нужный вид (10). б) Найдется г, для которого Д, ~ О. При этом делается вспомогательное преобразование: если Д, ~ О, то г-я строка переставляется с первой, и г-й столбец переставляется с первым; если же Щ = О, то г-я строка прибавляется к первой и г-й столбец прибавляется к первому. В преобразованной матрице оказывается ~3' ф'= О. После вспомогательного преобразования матрица приводится к виду (10) так же, как и в основном случае.
9 б. Квадратичные формы 199 Пусть в результате й шагов мы получили матрицу (11) О ~С,. Здесь Сь симметричная матрица порядка п — й, а через в1, ..., ~ь обозначены левые верхние элементы матриц С;, полученных на предыдущих шагах. Следующий, (й+ 1)-й шаг состоит в такой последовательности элементарных преобразований последних и — Й строк и последних и — Й столбцов матрицы В~, которая равносильна применению преобразований первого шага к матрице С~.
В результате мы получаем матрицу Вь+1, имеющую тот же вид с большим на 1 значением Й. После (и — 1)-го шага матрица С„1 имеет порядок 1 и не нуждается в преобразовании. В результате матрица В будет превращена в диагональную матрицу Разумеется, если исходная матрица нулевая или нулевой окажется какая-либо из матриц Сь, то в дальнейших преобразованиях необходимости нет, так как матрица уже диагональная. Это равносильно тому, что на всех следующих шагах имеет место особый случай а).
Важно заметить, что после каждого элементарного преобразования строк осуществлялось такое же элементарное преобразование столбцов. Если элементарное преобразование столбцов равносильно умножению преобразуемой матрицы справа на матрицу 5, то то же преобразование строк равносильно умножению слева на матрицу Я~т (п. 4 ~2 гл. У). В результате всей последовательности элементарных преобразований мы получаем матрицу В' = Я~ВЯ, где Я = 51...5д — произве- дение всех матриц, осуществляющих элементарные преобразования столбцов.
Мы доказали, таким образом., что матрица В' является матрицей квадратичной формы 1 в базисе е', который связан с исходным базисом е матрицсй перехода Я. Теорема доказана. Доказательство дает способ выписать матрицу перехода Я к базису, в котором квадратичная форма имеет диагональный вид. Для этого нужно попутно с преобразованиями матрицы В делать все элементарные преобразования со столбцами единичной матрицы. В конце единичная матрица превратится в произведение всех элементарных матриц, т. е.
в нужную нам матрицу Я. 200 Гл. 17. Линейные пространства При приведении квадратичной формы к диагональному виду можно воспользоваться методом выделения квадратов. Покажем его на примере. Пусть задана квадратичная форма ~,(т) 2(~1 ) 2 +,~1~2 + 3~~2)2 + 4~2~3 + 5~~3) 2 Заметив, что коэффициент при (~1)2 отличен от нуля, соберем вместе все члены, содержащие ~1: 2[(~~) + 2~~~~~ + 3(~~) + 4~~(~ + 5((~) .
Дополним выражение в квадратных скобках до квадрата суммы, прибавив и вычтя 2(~2) 2: 2Д1) 2 + 2(1(2 + (~2) ~) — 2(~2) 2 + 3(~2) 2 + 4~2~3 + 5(~3) 2. Теперь 1с(к) = 2Д1+(2)~2+ к'(х), где к' квадратичная форма, значения которой зависят только от ~2 и ~3: ~ /( ) (~2)2 + 4~2~3 + 5(~3)2 К ней можно применить тот же прием: 1с'(х) = (~~ + 2~3) + (('~) . Итак., ~(.) + 2У)2+ (Р)2+ (Р)', где ~1 ~1 + ~2 ~2 ~2 + 2~3 ~3 ~3 Последние формулы задают преобразование координат при переходе к базису, в котором квадратичная форма имеет диагональный вид.
В методе выделения квадратов также возможен особый случай, когда в квадратичную форму не входят квадраты координат, а входят только произведения. Допустим, что с ненулевым коэффициентом 2~12 входит произведение ~~~~. Рекомендуется замена координат ~1 ~1+ ~2 ~2 ~1 ~2 ~г ~г (~ ~ 2) После этой замены в квадратичную форму войдут члены 2д12((~) — 2~312((2), и выделение квадратов может быть продолжено. При доказательстве теоремы 1 была предложена определенная последовательность элементарных преобразований. В основном случае метод выделения квадратов только формой записи отличается от приведения с помощью этой последовательности преобразований.
Но полезно иметь в виду, что можно использовать любую последовательность элементарных преобразований при единственном условии: после каждого элементарного преобразования строк должно выполняться то же элементарное преобразование столбцов.
Диагональный вид квадратичной формы в вещественном пространстве мы будем называть каноническим видом, если элементы еь на диагонали могут быть равны только 1, — 1 и О. В комплексном ~ б. Квадратичные формы 201 пространстве диагональный вид квадратичной формы канонический, если числа на диагонали могут равняться только 1 или О. Теорема 2. Для каждой квадратичной формы существует базис, в котором она имеет канонический вид. Для доказательства будем исходить из диагонального вида квадратичной формы и сделаем следующее преобразование. Если какой- либо из диагональных элементов еь отличен от нуля, то разделим Й-ю строку и Й-й столбец матрицы на /Гь в случае комплексного пространства и на ~/ЯД в случае вещественного пространства.
Это равносильно делению Й-го базисного вектора на то же число. Сделав это для всех й таких, что вь ф О, мы приведем квадратичную форму к каноническому виду. 3. Ранг и индекс квадратичной формы. Существует много базисов, в которых данная квадратичная форма имеет канонический вид. Коэффициенты ~~ могли бы быть, вообще говоря, своими для каждого из таких базисов. Однако оказывается, что они одни и те же (с точностью до порядка их расположения),как бы мы ни приводили квадратичную форму к каноническому виду. Теорема 3. Ранг матрицы квадратичной формы не зависит от базиса. Действительно, по формуле (5) матрицы В и В' квадратичной формы в двух базисах связаны равенством В' = ЯгВЯ, где йеФЯ ф. О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
