Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры (10-е изд., 2005) (1004043), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Используя свойства умножения матриц, читатель без труда может проверить, что все условия, входящие в определение, выполнены. Иначе можно было бы сказать, что в качестве основной квадратичной формы выбрана та, которая в стандартном базисе арифметического пространства (со- стоящем из столбцов единичной матрицы) имеет канонический вид. П р и м е р 3.
В пространстве функций, непрерывных на отрезке (О, Ц, можно ввести скалярное произведение по формуле 1 в,р) =~'пФржа~. Аксиомы 1) — 4) вытекают из известных свойств определенных интег- ралов. 2. Длина и угол. В соответствии с формулами ~ 4 гл. 1 введем Определение.
Назовем длиной вектора х и обозначим ~х~ число ру(х,х). углом мемду векторами х и у назовем кагкаое число х, удовлетворяющее условию сов ~р = (4) ИЬ! ~ 1. Евклидовы пространства 217 В силу аксиомы 4) длина вектора — вещественное неотрицательное число, причем она равна нулю тогда и только тогда, когда вектор нулевой. С определением угла дело обстоит несколько сложнее. Нам предстоит доказать, что выражение в правой части равенства (4) по абсолютной величине не превосходит единицы. Это следует из нера- венства (х, у) < (х, х) (д, у), (5) связываемого с именами Шварца, Коши и Буняковского. Ниже мы получим это неравенство как следствие из теоремы 1.
Еще одно важное неравенство, называемое неравенством треугольника, 3. Выражение скалярного произведения через координаты сомножителей. Если в евклидовом пространстве выбран базис е, то скалярное произведение векторов х и у, как и значение любой билинейной функции, выражается по формуле (3) ~ 6 гл.
У1 через координатные столбцы ~ и т1 этих векторов: (х,д) = ( Гп. (7) Согласно определению матрицы билинейной функции элементы у,;. матрицы Г равны скалярным произведениям (е,, е ), т. е. (е1, е1) ... (е1, е„) (е„, е1) ... (е1, е„) Эта матрица называется матрицей Грама базиса е. Матрица Грама симметрична. По критерию Сильвестра все ее главные миноры положительны, в частности справедливо Предложение 2. Детерминант матрицы Грама любого базиса положителен. ! '+ у! < И+ Ь! (6) следует из неравенства Коши Буняковского: (х+д,х+д) = !х!'+2(х,д)+ Ь!' < !х!2+2!х!!д!+ !д!' = (!х!+ Ь!)'. Знак равенства имеет место, если (х, д) = !х!!д!, т. е.
если угол между х и у равен нулю, и только в этом случае. Неравенство (6) для векторов — направленных отрезков — означает, что длина стороны треугольника меньше суммы длин остальных его сторон. Векторы х и у называются перпендикулярными или ортогональными, если (х, у) = О. Это условие выполнено, если хоть один из векторов нулевой. Если оба вектора ненулевые, то по формуле (4) угол между ними равен к/2.
Предложение 1. Только нулевой вектор ортогонален каждому вектору пространства. Действительно, если (х, у) = О для всех д, то, положив у = х, получим (х, х) = О, что возможно только при х = о. Гл. Ъ'П. Евклидовы и унитарные пространства 218 Это предложение может быть обобщено следующим образом. Теорема 1.
Пусть х1, ...,хь произвольная, не обязательно линейно независимая система векторов. Тогда детерминант матрицы, составленной из их попарных скалярных произведений, (х1, х1) ... (х1, х1,) с1еС (хь, х1) ... (хь, хь) положителен, если векторы линейно независимы, и равен нулю, если они линейно зависимы. Первое утверждение следует из предложения 2, так как линейно независимые векторы составляют базис в своей линейной оболочке. Докажем второе утверждение. Если векторы линейно зависимы, то выполнено равенство а1х + ... + аьхь = о, в котором среди коэффициентов есть отличные от нуля. Умножая это равенство скалярно на каждый из векторов, мы придем к системе линейных уравнений а1(х1, х1) + ... + сц(х1, хА ) = О, (хь х1) + ...
+ аь(хь, хь) = О, (8) показывающем связь матриц Грама двух разных базисов, 4. Ортогональные базисы. Базис, в котором основная квадратичная форма имеет канонический вид, называется ортонормированным базисом. Так как она положительно определена. матрица Грама ортонормированного базиса единичная: (е;,е.) = О при ~ ф з' и (е,, е,) = 1 (г, з = 1, ..., п). Это значит, что векторы ортонормированного базиса попарно ортогональны, а по длине равны единице. Для ортонормированного базиса формула (7) имеет вид (х, у) = ~~з1 = ~'ц' + ...
+ ~" ц". (9) Предложение 3. и попарно ортогональных ненулевых векторов 61, ..., Ь„в и-мерном евклидовол пространстве составляют базис. Разложение вектора по этому базису задается формулой п (х~ г) д (1О) (6.)' г=1 которой удовлетворяют коэффициенты о1, ...,о1,. Так как система имеет нетривиальное решение, детерминант ее матрицы равен нулю.
Следствие. Для любых двух векторов в евклидовол пространстве имеет место неравенство Коши Буняковского (5), причем оно выполнено как равенство тогда и только тогда, когда векторы линейно зависимы. Пусть базис е' связан с базисом е матрицей перехода Я. Тогда формула ® 86 гл. У1 переписывается в виде Г' = Я~ГЯ, 9 1. Евнлидовы пространства 219 Действительно, матрица из произведений (6,,6 ) диагональная с ненулевыми элементами на диагонали. Из теоремы 1 следует, что 61, ..., 6„составляют базис. Пусть х = о161+ ...
+ а„6„. Умножая это равенство скалярпо на любой из 6,, находим, что а; = (х,6,)/~6;~2, что равносильно (10). Базис из ортогональных векторов называется ортогональным базисом. Вычислим (х, х) с помощью формулы (10). Поскольку (6;, 6 ) = 0 при г ф ~, получаем равенство Парсеваля п ~2 1,-,- (х, 1) (11) )6 Р 5. Ортогональные матрицы.
Рассмотрим два ортонормированпых базиса е и е' = еЯ. Тогда в формуле (8) Г' = Г = .Е, и формула принимает вид ~т~ (12) Наоборот, если выполнено условие (12) и исходный базис ортонормированный, то мы получаем Г' = Е, и новый базис также ортонорми- рованный. О п редел ение. Матрица., удовлетворяющая условию (12), называется ортогональной матрицей. Как мы видели, ортогональные матрицы и только они могут служить матрицами перехода от одного ортонормированного базиса к другому.
Равенство (12) равносильно равенству (1З) Из свойств обратной матрицы теперь следует, что ~~т Это означает, что матрица ят также является ортогональной. Обозначив элементы матрицы Я через о.', мы можем написать равенства. равносильные (12) и (14): Впрочем, первое из равенств можно получить непосредственно из (9)., если вспомнить, что столбцы матрицы перехода - координатные столбцы новых базисных векторов в старом базисе. Произведение ЯГ двух ортогональных матриц Я и à — — ортогональная матрица. действительно, (ЯГ) = Г~Я~ = Г 1Я ~ = (ЯГ) Вычисляя детерминант обеих частей равенства (12), мы получим (с1е1 5) = 1. Значит, для ортогональной матрицы с1е1 Я = 1 или с1еФ5 = — 1. Гл. Ъ'П. Евклидовы и унитарные пространства 220 Рекомендуем читателю проверить, что любая ортогональная матрица порядка 2 имеет один из двух видов сов а — яп а япо сов о сова яви яп о — сов о (16) П р е д л о ж е н и е 4.
Ортогональное дополнение к-мерного подпространства в и-мерном пространстве есть (и — И)-мерное подпространство. Доказательство. Пусть а1, ...,аь базис в 6". Вектор х лежит в о" тогда и только тогда, когда ,! 1 (т, а1) = О, ..., (х,аь) = О. (17) Действительно, если т Е 4", то равенства (17), разумеется, выполне- ны.
Обратно, при выполнении этих равенств х ортогонален любому а из Г', поскольку (та) = (т~ла) =2 л(та) =О. Выберем в с" ортонормированный базис и обозначим через о1, ... ..., а,". компоненты вектора а; (г = 1, ..., Й) в этом базисе, а через ~1, ... компоненты вектора х. Условия (17) запишутся тогда в виде однородной системы из Й линейных уравнений с и неизвестными: 1~1 + + п~п а111 + + Сп~п О Ранг матрицы системы равен й, поскольку ее строки строки из компонент векторов а1, ..., а1, — линейно независимы. Таким образом, множество Г' определяется однородной системой линейных уравнений ранга Й, и потому является (и — Й)-мерным подпространством.
Предложение доказано. Рассмотрим (6""-)~- ортогональное дополнение ортогонального дополнения подпространства о'. Каждый вектор из о' ортогонален каждому вектору из Г'~. Поэтому Ж" С ф'~)~. Но с1ппф'~) = и— — (и — к) = й. Итак, ф'~-)~- = 6". Очевидно, что Ж" и Г'"- не имеют общих ненулевых векторов, а сумма их размерностей равна и. Отсюда следует 6. Ортогональное дополнение подпространства. Пусть Г'— Й-мерное подпространство в и-мерном евклидовом пространстве 6'. О п р е дел е н и е. Ортогональным дополнением подпространства 6" называется множество всех векторов, ортогональных каждому вектору из Г'. Это множество обозначается Г' ~ 1. Евклидовы пространства 221 П редло жение 5.
Евклидова пространство — прямая сумма любого своего подпространства и его ортогонального дополнения. Два подпространства о' и с"' называются ортогональными, если о'"о С Г'~-. Тогда и о" С Г"~-, так как (х,д) = О, если х Е о"' и д ЕГ". Т. Ортогональные проекции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
