Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры (10-е изд., 2005) (1004043), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Предложение 5. Если А — симметричная матрица, то существует ортогональная матрица Я такая, что Я 1АЯ диаго- нальная матрииа. Действительно, матрица А задает самосопряженное преобразование в ортонормированном базисе. В качестве Я можно взять матрицу перехода от этого базиса к базису, построенному в теореме 4. Для теоремы 4 справедлива обратная теорема. Предложение 6.
Если существует ортонормированный базис из собственных векторов линейного преобразования А евклидова пространства, то А самосопряженное. Действительно, в таком базисе матрица преобразования диагональная, а потому симметричная. 4 = А* по предложению 3. Приведем геометрическую характеристику самосопряженного 92. Линейные преобразования евнлидовых пространств 229 преобразования. В теореме 2 ~ 3 гл. 1У мы рассматривали, в частности, аффинное преобразование плоскости, состоящее в сжатии (растяжении) по двум взаимно перпендикулярным направлениям. В и-мерном евклидовом пространстве обобщением такого преобразования будет сжатие по и попарно перпендикулярным направлениям. Выберем ортонормированный базис так, чтобы его векторы имели данные направления. Тогда каждый базисный вектор е; перейдет в ему пропорциональный вектор Л;е,, где Л, — коэффициент сжатия.
По предложению 6 преобразование будет самосопряженным. Обратно, самосопряженное преобразование с положительными собственными значениями является сжатием по и попарно перпендикулярным направлениям. Нулевому собственному значению соответствует уже не сжатие, а проектирование, а отрицательному собственному значению — произведение сжатия и симметрии. Рассмотрим теперь нахождение базиса, существование которого доказано в теореме 4.
Выбрав некоторый (удобнее, если ортонормированный) базис составляем матрицу А преобразования. Находим корни ее характеристического многочлена с1е1(А — ЛЕ) и для каждого корня — базис в собственном подпространстве как фундаментальную систему решений системы (А — ЛЕ)~ = о. Для простых корней единственный вектор базиса следует пронормировать, а для кратных корней полученный базис нужно ортогонализовать и нормировать.
Для практического решения вычислительных задач по ряду причин применяются совсем другие методы. Изложение этих вопросов не входит в нашу задачу. Поясним, однако, одну из таких причин на простом примере. Допустим, что мы производим вычисления с округлением., учитывая два десятичных знака после запятой, и пам пу'кпо найти характеристические числа матрицы 1 003 003 1 При выбранной точности истинное характеристическое уравнение Л~ — 2Л + 0,9991 будет воспринято как Л2 — 2Л + 1, и мы найдем Л' = = Л' = 1. Однако умножение матрицы на столбцы ))1 Ц~ и ((1 — Ц~ показывает, что на самом деле характеристическими числами явля1Отся Л1 — — 1,03 и Л2 — — 0,97. 3.
Изоморфизм евклидовых пространств. Два евклидовых пространства Ги Г называются изоморфными, если существует взаимно однозначное линейное отображение А: à — ~ Г, при котором (А(х), А(д)) = (х, д) (7) для любых х и д из 6'. Такое отображение называется изоморфизмом евклидовых пространств.
Таким образом, термин "изоморфизм" имеет различные значения в зависимости от контекста. Если речь идет о евклидовых прост- Гл. Ъ'П. Евклидовы и унитарные ггространства ранствах, то при изоморфизме помимо линейности требуется сохранение скалярного произведения. Для того чтобы два евклидовых пространства были изоморфны, разумеется, необходимо, чтобы были равны их размерности. Действительно, в противном случае они не изоморфны даже как линейные пространства. Оказывается, что этого и достаточно.
Теорема 5. Любые два евклидовых пространства одной размерности изолоругны. Евклидовы пространства разных размерностей не изоморфн ы. Для доказательства первого утверждения выберем в каждом из рассматриваемых пространств 6'и 6' по ортонормированному базису. Отображение А: Г-+ Г зададим, сопоставляя вектору х Е 6' вектор А(х) Е6', имеющий те же координаты. Матрица этого отображения единичная, поэтому А будет взаимно однозначным. Из формулы (9) ~ 1 следует, что при таком отображении сохраняется скалярное произведение. Интересно отметить, что условие (7) очень сильное. Из него следует, что 4 — линейное отображение и, более того, инъективно.
Действительно, рассмотрим произвольный вектор х из Ги произвольное число а. Скалярный квадрат вектора А(ох) — сгА(х) можно записать в виде (4(ах), 4(ах)) — 2сг(А(ах), 4(х)) + сг~(А(х), А(х)). Учитывая (7), видим, что это равно (ах,ах) — 2сг(ах,х) + о~(х,х), т. е. нулю. Таким образом, 4(ах) = аА(х). Аналогично доказывается, что А(х+ + д) = 4(х) + 4(д). Далее, пусть х Е Кег А, т. е. А(х) = о.
Это значит, что (А(х), А(х)) = = О и, в силу (7), что (х,х) = О. Таким образом, ядро А нулевое и А инъективно. В общем случае А не взаимно однозначно, но если йпг Ю=- йпг Т, то из йгпГ= ВдА по предложению 6 ~3 гл. У1 следует, что А является изоморфизмом. Мы доказали Предложение 7. Произвольное отображение евклидова пространства в евклидова пространство той же размерности является изомордгизмом, если оно сохраняет скалярное произведение.
4. Ортогональные преобразования. Преобразование 4 евклидова пространства Г называется ортогональным, если оно сохраняет скалярное произведение, т. е. если условие (7) выполнено для любых векторов из Ж Из предложения 7 следует, что ортогональное преобразование является изоморфизмом г,"на себя.
Предложение 8. Если преобразование ортогонально, и только в этол случае, сопряженное елу преобразование является обратныл к нему. Действительно, по формуле (7) имеем (х,А"А(д)) = (х,д), или (х, 4*4(д) — д) = О. Это означает, что вектор А*А(д) — д ортогонален любому вектору пространства и, следовательно, является нулевым. ~2. Линейные преобразования евклидовых пространств 231 Поскольку равенство А'А(д) = д выполнено для всех д, преобразование 4 4 является тождественным, что равносильно доказываемому утверждению. Обратно, из равенства 4" А = Е легко получить (7). Предложение 9. Преобразование ортогонально тогда и только тогда, когда его матрица в любом ортонормированном базисе является ортогональной. Это прямо следует из формулы (4) и предложения 8.
Предложение 10. Для двух ортонормированных базисов е и Г найдется единственное ортогональное преобразование А, для которого А(е,;) = 1, (г = 1, ..., п). Д о к а за т ел ь с т во. Преобразование, переводящее е в Г, существует и единственно: его матрица в базисе е состоит из координатных столбцов векторов ~1....., ~„в базисе е. Преобразование является ортогональным, так как его матрица в ортонормированном базисе ортогональная (она же служит матрицей перехода от е к Г). Предложение 11. Собственные значения ортогонального преобразования по абсолютной величине равны единице.
Действительно, для любого собственного вектора х мы имеем (4(х), 4(х)) = Л (х, х) и (4(х), А(х)) = (х, х). Отсюда Л = 1. Предложение 12. Если 6" - подпространство, инвариантное относительно ортогонального преобразования 4, то его ортогональное дополнение 6" с такзке инвариантно относительно А. В самом деле, ортогональное преобразование взаимно однозначно, и потому переводит каждое подпространство в подпространство той же размерности. Так как Г' инвариантно, имеем 4(Ю') = Ю'. Если х Е Г', а д Е Г'"-, то 0 = (х, д) = (4(х), А(д)).
Таким образом, А(д) принадлежит (Аф')) . Но из А(Г') = Р' следует 4(Г') = А"~. Поатому А(д) Е 6"~, как и требовалось. Теорема 6. Пусть 4 ортогональное преобразование и-мерного евклидова пространства Ж Тогда Г прямая сулла попарно ортогональных одномерных и двумерных подпространств, инвариантных относительно А. Для доказательства воспользуемся индукцией. Для пространств размерностей 1 и 2 утверждение очевидно. Предположим, что мы доказали теорему для пространств размерностей Й вЂ” 1 и Й вЂ” 2, и докажем ее для й-мерного пространства.
По следствию из предложения 8 ~4 гл. У1 в сосуществует или одномерное, или двумерное инвариантное подпространство е1. Его ортогональное дополнение 6'~ — инвариантное подпространство размерности й — 1 или й — 2. К ограничению преобразования А на ф мы применим предположение индукции. Подпространства ~~2,..., Г„„ на которые распадается Г~с, инвариантны относительно 4. с1ппГ= й1п4 + сйпФ~ . По предположению индукции с1ппф = = йп1 Ю2 + ... + йп1 Г .
Таким образом, для подпространств е'1, ..., Г Гл. Ъ'П. Евклидовы и унитарные ггространства размерность суммы равна сумме размерностей, и, следовательно, сумма прямая. Теорема доказана. Выберем в каждом из подпространств 4, ..., о' по ортонормированному базису и объединим все эти базисы. Мы получим ортонормированный базис в Ж Как следует из предложения 2 ~ 4 гл. У1, матрица преобразования в этом базисе будет клеточно диагональной. Одномерным инвариантным подпространствам будут соответствовать клетки порядка 1, т.
е. числа 1 или — 1 на диагонали. Двумерным подпространствам соответствуют клетки порядка 2. Каждая такая клетка -- матрица ограничения А' преобразования А. Так как базис ортонормирован, она ортогональна и имеет вид (16) ~ 1 при некотором сг. Из двух матриц (16) ~ 1 вторая матрица симметрична. Если 4' имеет такую матрицу, то опо не только ортогональное, но и само- сопряженное, и потому имеет собственный вектор. Как вытекает из предложения 8 ~ 4 гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
