Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры (10-е изд., 2005) (1004043), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Для этого достаточно проверить, что преобразование с матрицей (3) является присоединенным. Подставим А = Г 1В в (х, А(у)) = ~т ГАц. Мы получим (х, А(у)) = с~ Вп = Ь(х,у). Предложение доказано. Одновременно мы получили связь (3) между матрицами билинейной функции ее присоединенного преобразования. Для ортонормиро- уЗ. Функции на евклидовых пространствах 237 ванного базиса связь особенно проста — — эти матрицы совпадают А=В. (4) Отсюда и из предложения 3 ~ 2 мы получаем Предложение 3. Для симметричных билинейных функций и только для них присоединенное преобразование является самосопряженным.
Преобразование, присоединенное к симметричной билинейной функции, называют присоединенным также к соответствующей квадратичной форме. 3. Ортонормированный базис, в котором квадратичная форма имеет диагональный вид. Установленная выше связь между квадратичными формами и самосопряженными преобразованиями позволяет доказать две важные теоремы. Теорема 1. В евклидовом пространстве для каждой квадратичной формы существует ортонормированный базис, в котором она имеет диагональный вид.
Теорема почти очевидна: базисом, существование которого утверждается, является ортонормированный базис из собственных векторов самосопряженного преобразования, присоединенного к квадратичной форме. В нем В = А и А диагональная матрица. Следующая теорема является по существу другой формулировкой теоремы 1. Теорема 2. Пусть в линейном пространстве У' заданы две квадратичные формы ~ и Ь, причем Ь положительно определенная. Тогда в У существует базис, в котором обе формы имеют диагональный вид.
Для доказательства введем в У скалярное произведение, приняв Ь за основную квадратичную форму. По отношению к этому скалярному произведению ортонормированными будут те базисы, в которых и имеет канонический вид. По теореме 1 для формы к существует ортонормированный базис, в котором она имеет диагональный вид. Это и есть базис, существование которого мы доказываем. 3 а м е ч а н и е. Если пространство У евклидово, то теорема 2 остается., конечно, справедливой. Уже существующее скалярное произведение оставляется без внимания, а для доказательства вводится новое скалярное произведение при помощи формы Ь. Найденный базис, вообще говоря, не будет ортонормированным по отношению к старому скалярному произведению.
Чтобы привести две квадратичные формы к диагональному виду в одном и том же базисе, можно сначала привести к каноническому виду форму и и найти матрицу Ь ' формы 1 в полученном базисе. Этим будет осуществлен переход к базису, ортонормированному по отношению к вспомогательному скалярному произведению. Линейное преобразование, имеющее ту же матрицу К', является присоединенным к форме к.
Следует найти его ортонормированный базис из соб- Гл. 7П. Евклидовы и унитарные пространства няя все так полученные ортонормированные базисы собственных подпространств, мы получаем базис е'. Он ортонормирован относительно вспомогательного скалярного произведения, и потому форма и в нем имеет канонический вид. Так как он состоит из собственных векторов преобразования, присоединенного к 1, эта форма будет иметь диагональный вид в базисе е'. Упражнения 1. В пространстве многочленов степени ( 3 скалярное произведение зададим так же, как в упр. 1 3 1. Линейная функция 1 сопоставляет многочлену р® его свободный член р(0), Найдите вектор (многочлен), присоединенный к этой линейной функции.
2. Линейное преобразование А присоединено к билинейной функции 6. К какой билинейной функции присоединено его сопряженное преобразование А" 7 3. В базисе е билинейная функция имеет матрицу В. Найдите матрицу ее присоединенного преобразования, если à — — матрица Грама базиса е; 2 1 1 2 1 1 1 2 В= 4. Докажите, что значение квадратичной формы ~(х) на векторе х длины 1 заключено между наименьшим и наибольшим собственными значениями ее присоединенного преобразования, и эти границы достигаются на соответствующих собственных векторах.
5. Квадратичная форма задана в ортонормированном базисе многочленом 3(~') + 3(('~) + 3(~~) — 2~'~~ — 2~'~~ — 2( (з. Найдите матрицу перехода к ортонормированному базису, в котором она имеет диагональный вид, и ее вид в этом базисе.
ственных векторов, вычисляя скалярное произведение по формуле (9) 31. В этом базисе матрица формы и будет по-прежнему единичной, а матрица Кп формы 1 будет диагональной. Тот же результат можно получить и иначе. Пусть Л и Н вЂ” матрицы квадратичных форм в исходном базисе е. Матрица Н является матрицей Грама базиса е для вспомогательного скалярного произведения.
Поэтому преобразование, присоединенное к форме М в базисе е, имеет матрицу А = Н 1К. Напишем его характеристический много- член с1ес(Н 1Л вЂ” ЛЕ) в виде с1е1~Н 1(Л вЂ” ЛН)]. Так как с1еФ Н ' ф'= О, характеристическое уравнение имеет те же корни, что и уравнение с(е1(К вЂ” ЛН) = О, (5) называемое обобщенным характерисгпическим уравнением. Для каждого из его корней система уравнений собственного подпространства (Н ~К вЂ” ЛЕ)с = о эквивалентна системе (К вЂ” ЛН)~ = о. Для каждого корня фундаментальную систему решений такой системы уравнений надо ортогонализовать и нормировать, находя скалярное произведение по формуле (7) 31 с матрицей Грама Н.
Объеди- 9~. Понятие об унитарных пространствах 239 6. Пусть 1 и и — — квадратичные формы и и положительно определена. Существует ли базис, в котором 1 имеет канонический, а и диагональный вид? 7. Приведите пример двух квадратичных форм, которые: а) не приводятся к диагональному виду в одном и том же базисе; б) приводятся к диагональному виду в одном и том же базисе, но ни одна из них не является ни положительно определенной, ни отрицательно определенной.
8. Найдите мат1оицу перехода к базису, в котором квадратичные формы М(х) =(~') — 2~ ( + (( ) и п(х) =17(~') +8~'~ + (~ ) обеимеютдиагональный вид, а также их вид в этом базисе. 9. Докажите, что для того, чтобы для двух непропорциональных квадратичных форм в двумерном пространстве существовал базис, в котором они обе имеют диагональный вид, необходимо и достаточно, чтобы среди их линейных комбинаций нашлась положительно определенная форма.
Насколько здесь существенно предположение о размерности пространства? 8 4. Понятие об унитарных пространствах 1. Определение. В этом параграфе мы покажем, как определяется скалярное произведение в комплексных линейных пространствах. При этом мы не приводим доказательств, поскольку их можно получить незначительным видоизменением доказательств соответствующих предложений о евклидовых пространствах. Договоримся, что черта над буквой, обозначающей матрицу, означает замену всех элементов матрицы на комплексно сопряженные. Рассмотрим комплексное линейное пространство ~~~ и предположим, что мы каким-то образом сопоставили каждой упорядоченной паре векторов х и д число (х, д). Оказывается, что естественные аксиомы, определяющие скалярное произведение в евклидовых пространствах, выполнены быть не могут. Действительно, пусть х --- ненулевой вектор. В нашем пространстве определено умножение на комплексное число, и мы можем взять вектор гх, где г мнимая единица.
Если скалярное произведение линейно по каждому сомножителю, то имеет место равенство (м, м) = — (х, х). При положительном произведении справа произведение слева отрицательно. Таким образом, выбирая в качестве скалярного произведения векторов значение билинейной функции, мы не можем рассчитывать, что длина вектора будет вещественна. Поэтому в комплексном пространстве вводятся другие определения скалярного произведения. В одном из них заменяют аксиому 4 более слабым требованием: из того, что (х, д) = О для всех х, вытекает д = о (иначе говоря, ортогональное дополнение пространства У есть нулевое подпространство). Комплексное линейное пространство„ Гл. Ъ'П.
Евнлидовы и унитарные пространства в котором так определено скалярное произведение, называется комплексным евклидовым пространством. Такие пространства используются сравнительно редко. Гораздо чаще в приложениях встречаются так называемые унитарные пространства. О п р е д е л е н и е. Комплексное линейное пространство У называется унитарным (или эрмитовым) пространством, если задан закон, сопоставляющий каждым двум векторам х и д из У комплексное число (х,д), называемое их скалярным произведением, и этот закон удовлетворяет следующим аксиомам, каковы бы ни были векторы х, д и ~ и число а: 1) (х,д) = (д,х), т.
е. при перестановке сомножителей скалярное произведение заменяется на комплексно сопряженное число; 2) (ах, д) = а(х, д); 3) (х+ у,~) = (х,~) + (д,~); 4) (х, х) > О, если х ф- .о. Заметим, что для любого вектора (х, х) = (х, х), и потому скалярный квадрат вектора всществепнос число. В аксиоме 4) трсбустся, чтобы оно было положительным для х ф о. Из аксиом 1) и 2) вытекает правило вынесения числового множителя от второго сомножителя в скалярном произведении. Как легко проверить, для любых комплексных чисел Л и р выполнены равенства (Лр) = лр, (Л + Р) = Л + Р.
В силу первого из этих равенств (х ад) = ( и х) = аЬ х) = аЬ: х) и окончательно (х, ад) = а(х, у). (2) Раскрытие скобок при сложении во втором сомножителе происходит без замены на сопряженное. Согласно второму из равенств (1) (х,д+4 = Ь+,х) = Ь,х)+(,х) = Ь,х)+( -,х) =(х,у)+(х,4 Это показывает, что унитарное пространство можно определить как комплексное линейное пространство, в котором задана положительно определенная эрмитова форма. Длина вектора и угол между векторами определяются теми же формулами, что и в евклидовом пространстве. Длина вектора вещественна, неотрицательна и равна нулю только для нулевого вектора.
Угол, вообще говоря, комплексный. Отметим, что неравенство Коши — Буняковского пишется так: (, )Ь,д) >(,д)(д, ) = Н,у)!'. Пример 1. Комплексное линейное пространство комплексных столбцов высоты и становится и-мерным унитарным пространством, если определить скалярное произведение по формуле ) ~Т вЂ” ~1 1+ +~в д у4'. Понятие оо унитарных пространствах 241 Действительно, по этой формуле имеем также (и., ~) = у'~' + ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
