Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры (10-е изд., 2005) (1004043), страница 53
Текст из файла (страница 53)
У1, двумерные инвариантные подпространства не содержат собственных векторов, а значит, матрицей А' будет первая из матриц (16) матрица поворота плоскости на угол а. Такое представление матрицы ортогонального преобразования известно как разложение преобразования на плоские вращения, так как каждому двумерному подпространству соответствует поворот, и эти повороты могут осуществляться последовательно. Надо, однако, помнить, что в общем случае имеются собственные подпространства с собственными значениями 1 и — 1.
5. Полярное разложение. Так называется разложение преобразования на множители, введенное в следующей теореме. Эта теорема является обобщением основной теоремы об аффинных преобразованиях из гл. 1У, и даже доказательства этих теорем весьма сходны: центральным местом является построение ортонормированного базиса, который при данном преобразовании переходит в ортогональный.
Т е о р е м а 7. Каждое линейное прреобразование 4 евклидова пространства может быть представлено как произведение А = Я5, где Я вЂ” ортогональное, а 5 — самосопряженное преобразование с неотрицательньгми собственными значениями. Доказательство. Согласно формулам (5) и (6) преобразование 4*4 самосопряженное. Пусть е1, ..., е„— ортонормированный базис из его собственных векторов.
Пронумеруем векторы так, чтобы собственные значения удовлетворяли неравенствам Лг » ... Л„. Для любых г и г выполнено (4(е;),4(е )) = (А*А(е;),е ) = Л,;(е,,е,). Так как базис е ортонормирован, отсюда следует, что векторы А(е;) попарно ортогональны: (А(с,),4(е;)) = О при г ф г'. Кроме того, ~А(е;)~~ = Л,, откуда, в частности, видно, что Л, > О (г = 1, ...,п). Собственные значения пронумерованы так, что если только г из них ~2. Линейные преобразования евклидовых пространств отличны от нуля, они на первых местах, а Л„+1 —— ...
—— Л„= О. Числа а, = ~/Л,, г = 1, ..., и, называются сингулярными числами преобразования А. Векторы ~; = а,. 1А(е;), г = 1, ..., г, составляют ортонормированную систему векторов. Если г ( п, дополним произвольным образом эту систему до ортонормированного базиса векторами г"„+1, ..., г"„. После этого для любого г мы можем написать А(е,) = аД';. (При г > г обе части такого равенства равны нулю.) По предложению 10 найдется ортогональное преобразование Я такое, что Я(е,) = Д для любого г.
Рассмотрим преобразование 5 = = Я 4 и докажем, что оно самосопряженное. Действительно, 5(е,) = Я ~А(е,) = Я ~(а;Л) = а;е.;. (8) Таким образом, е — ортонормированный базис из собственных векторов 5, и по предложению 6 преобразование 5 самосопряженное. Его собственные значения а1,...,а„ неотрицательны. Теорема доказана. Базисы е и Г, построенные при доказательстве, называются сингулярными базисами преобразования 4.
3 а м е ч а н и е. Если бы в конце доказательства теоремы 7 мы взяли не преобразование 5 = Я 'А, а 51 — — АЯ ', то получили бы разложение А = 519, где 51 самосопряженное преобразование с собственными векторами ~1, ..., Г"„. Укажем геометрический смысл сингулярных чисел. Для этого рассмотрим и-мерную единичную сферу множество векторов, по длине равных 1. 5 представляет собой растяжение по г попарно перпендикулярным направлениям с коэффициентами а1, ...,а,. и проектирование вдоль линейной оболочки векторов с„+1,...,е„, соответствующих нулевым сингулярным числам. Поэтому 5 переводит единичную сферу в г-мерный эллипсоид с полуосями, равными а1, ... ..., а„.
Преобразование Я не меняет длин векторов и только перемещает этот эллипсоид. Итак, на сингулярные числа преобразования А следует смотреть как на полуоси эллипсоида, в который А переводит единичную сферу. Приведем матричную формулировку теоремы 7. Предложение 13. Каждая квадратная матрица А может быть разложена в произведение А = ЯЯ ортогональной матрицы Я и симметричной матрицы Я с неотрицательными характеристическими числами. По предложению 5 для симметричной матрицы 5 найдется ортогональная матрица Р такая, что Р 1ЯР диагональная матрица 0 с характеристическими числами матрицы Я на диагонали.
Подставим Я = РОР 1 в разложение А = Я5. Тогда А = [ДРОР '. Матрицы ЯР и Р 1 ортогональные. Обозначив их Я1 и Я2, получаем П редло жение 14. Для каждой квадратной матрицы А найдутся такие ортогональные матрицы ф и Я2, что А = Я1.Щ2, где .0 диагональная матрица с сингулярными числами матрицы А на диаго- Гл. 7П. Евклидовы и унитарные пространства нали. Полученное разложение матрицы называется БЪ'Р или сингулярным разложением. Аналогичное разложение можно получить и для матрицы А размеров ш х и. В этом случае Я1 и Я2 матрицы порядков ш и и, а Р имеет такие же размеры, как и А, и состоит из нулей, за исключением квадратной диагональной подматрицы порядка ВпА в левом верхнем углу.
Сингулярное разложение имеет важные применения, но мы не можем на них останавливаться. Упражнения 1. В базисе е с матрицей Грама Г преобразование А имеет матрицу А; — 1 — 2 3 4 1 1 1 2 матрицей 2 1 1 1 2 1 1 1 2 и напишите матрицу А' преобразования в найденном базисе. б. Ортогональное преобразование, заданное матрицей ΠΠΠ— 1 1 О О О О 1 О О О О 1 О в ортонормированном базисе, разложите в произведение двух вращений во взаимно перпендикулярных двумерных подпространствах.
7. Получите полярное разложение преобразования, заданного в ортонормированном базисе матрицей: ~/2 1 О ~/2 О 1 О О б) а) 8. Получите сингулярное разложение преобразования, заданного в ортонормированном базисе матрицей из упр. 7, б). а) Найдите матрицу сопряженного преобразования. Найдите собственные подпространства: б) преобразования А; в) преобразования А".
2. Докажите, что собственные подпространства преобразований А и А*, принадлежащие разным собственным значениям, ортогональны, Проверьте этот результат для упр. 1, 3. Найдите все линейные преобразования, которые являются как ортогональными, так и самосопряженными. 4. Сколько существует ортонормированных базисов из собственных векторов данного самосопряженного преобразования, если у его характеристического многочлена: а) нет кратных корней; б) есть кратные корни? в) Возможен ли неортогональный базис из собственных векторов само- сопряженного преобразования? 5.
Найдите матрицу перехода 5 к ортонормированному базису из собственных векторов преобразования, заданного в ортонормированном базисе ~3. Функции на евклидовых пространствах 235 ~ 3. Функции на евклидовых пространствах 1. Линейные функции. Выбор базиса в линейном пространстве .х.-' устанавливает изоморфизм между .У и его сопряженным .~." . В этом пункте мы покажем, что для и-мерного евклидова пространства Гсуществует такой изоморфизм, не зависящий от базиса. О п р е д е л е н и е. Если для линейной функции 1 на евклидовом пространстве найдется вектор а такой, что г(х) = (а,х) для любого х, то функция называется регулярной, а вектор а — — ее присоединенным вектором. Говорят также, что функция присоединена к вектору а.
Как легко видеть, каждому вектору присоединена некоторая регулярная линейная функция (см. пример 2 ~ 5 гл. У1). Выберем в евклидовом пространстве базис е и выразим в нем связь координатного столбца сх вектора а и строки коэффициентов ~р его присоединенной функции 1. По определению ~рг = "(вг) = (а~ ег) = с~ Гвг (г = 1, ..., и), где в, — г-й столбец единичной матрицы — координатный столбец е,. Последнее произведение равно г-му элементу строки с~ Г, и пото- Х му 1 = с~~Г, или Гг = Ги.
В ортонормированном базисе эта формула выглядит особенно прос- то: 1 = о., т. е. коэффициенты регулярной функции равны координатам ее присоединенного вектора Вспомним, что коэффициенты линейной функции в базисе е это ее координаты в базисе р, биортогональном базису е. Отсюда следует, что равенство (1) можно рассматривать как координатную запись линейного отображения Г пространства Гв его сопряженное 6" в паре базисов е и р. Так как Г квадратная невырожденная матрица, это отображение взаимно однозначно. В пространстве 6'* пока не введено скалярного умножения Но мы можем ввести его по формуле ($,ф = (Г 1®, Г ~®).
Тогда отображение Г будет изоморфизмом евклидовых пространств. Этот изоморфизм не зависит от базиса, так как соответствие, сопоставляющее вектору его присоединенную функцию, записывается формулой 1(х) = (а, х) в не зависящем от базиса виде. Как следствие мы получаем Предложение 1. В конечномерном евклидовом пространстве каждая линейная функция является регулярной.
3 а м е ч а н и е. В бесконечномерном пространстве подобное предложение было бы неверно. В примере 3 ~ 1 введено скалярное произведение в пространстве функций, определенных и непрерывных на отрезке ~0, Ц. По отношению к этому скалярному произведению из двух линейных функционалов, рассмотренных в примере 4 ~5 гл. 'Л, первый является регулярным, а второй, как можно доказать, нет. Гл. 7П. Евклидовы и унитарные пространства Не зависящий от выбора базиса изоморфизм между пространст- вами Ги 6'" позволяет отождествить эти пространства. С подобным обстоятельством мы встречались, когда отождествляли пространст- во У и его второе сопряженное У' . Отождествление евклидова про- странства с его сопряженным (или линейной функции с ее присоеди- ненным вектором) является общепринятым.
Рассмотрим векторы р1, ...,Р", отождествляемые с элементами р1, ..., р" базиса, биортогонального базису е. Из формулы (5) ~5 гл. У1 следует, что они удовлетворяют условию 10, гф-.у, (р ~з)— Отсюда нетрудно вынести, что при п = 3 биортогональный базис, определенный нами в ~4 гл. 1, совпадает с биортогональным базисом, определенным в ~ 5 гл. Л. Это же выясняет происхождение термина "биортогональный". 2. Преобразование, присоединенное к билинейной функции. Пусть Ь вЂ” — билинейная функция на евклидовом пространстве Ж С помощью скалярного произведения ей может быть сопоставлено не зависящим от выбора базиса образом некоторое линейное преобразо- вание. О п р е д е л е н и е. Линейное преобразование А называется присоединенным к билинейной функции Ь, если для любых векторов х и у из Гвыполнено равенство Ь(х, у) = (х, А(у)).
(2) П р е д л о ж е н и е 2. Каждая билинейная функция имеет одно- единственное присоединенное преобразование, Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть А — — матрица преобразования А в некотором базисе е. Тогда (х, А(у)) = ~гГАц, где à — матрица Грама базиса е, а ~ и и координатные столбцы х и у. Отсюда видно, что (х, А(у)) билинейная функция с матрицей ГА. Если значения двух билинейных функций равны для любых х и у, то их матрицы совпадают. Поэтому если у функции Ь существует присоединенное преобразование, ее матрица В равна ГА. Отсюда А=Г 'В. (3) Это означает, что билинейная функция не может иметь больше одного присоединенного преобразования: если оно существует, то его матрица равна Г 1В. Докажем существование присоединенного преобразования.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
