Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры (10-е изд., 2005) (1004043), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Действительно, А(х) = В(х) + Л,;х Е ~ Жорданов базис корневого подпространства — объединение базисов циклических подпространств. Поэтому мы получаем П р е д л о ж е н и е 4. Если  — нильпотентное преобразование ~ 7. Теорема Иордана 211 пространства М, то.Ж' распадается в прямую сумму М = Ж~ ~Э ." ~Э Жз циклических относительно В подпространств.
Их число равно размерности д собственного подпространства Кег В. Пусть циклическое подпространство принадлежит корневому подпространству с собственным значением Л, и натянуто на векторы цепочки е, ..., е . Мы имеем о ь А(е~~) = В(е~) + Л,е~ (1 = О, ..., Ь), и по формулам (10) А(е.) = Л,е, А(е.) = е + Л,е,...,А(е ) = е. + Л;е.. Столбцы матрицы преобразования это координатные столбцы образов базисных векторов. Поэтому матрица ограничения А в рассматриваемом базисе имеет вид Л; 1 0 0 Л, 1 0 0 0 0 О ...
1 0 0 0 ... Л, Матрица такого вида называется жордановой клеткой порядка 6+ 1 с собственным значением Л;. Клеточно-диагональная матрица, у которой клетки жордановы, называется жордановой матрицей или матрицей, имеющей жорданову форму. Из всего сказанного вытекает теорема Жордана.
Теорема 2. Для любого линейного преобразования комплексного линейного пространства существует базис (жорданов базис), в котором его матрица имеет жорданову форму. иорданов базис для данного преобразования, конечно, не единствен: базис ее~, ..., ед~ в каждом корневом пространстве выбирается с 4. Теорема Жордана. Из предложений 1 и 4 прямо следует Предложение 5. Если в комплексном пространстве У задано линейное преобразование А, то У вЂ” прямая сумма инвариантных относительно А циклических подпространств.
Их число равно общему числу всех цепочек в жордановом базисе пространства У, т. е. д1 + ... + д„где д, = сйп Кет (А — Л, Е). Жорданов базис пространства У --- объединение базисов инвариантных подпространств, и по предложению 2 ~4 матрица преобразования А в этом базисе клеточно-диагональная. При этом диагональные клетки этой матрицы являются матрицами ограничений А на соответствующих подпространствах. Поэтому, если мы хотим получить вид матрицы преобразования в жордановом базисе, мы должны сначала написать матрицу ограничения А на циклическом подпространстве.
Гл. 17. Линейние пространства 212 некоторым произволом, и присоединенные векторы по формулам (10) определены не однозначно. Однако, как видно из построения, корневые подпространства (и в каждом из них число собственных векторов, с которых начинаются цепочки определенной длины) определяются геометрически --- инвариантными подпространствами преобразования. Таким образом, жорданова форма матрицы преобразования определена единственным образом с точностью до порядка расположения клеток на главной диагонали. Собственные значения клеток это собственные значения преобразования.
При этом все жордановы клетки с одним и тем же собственным значением объединяются в одну большую клетку, соответствующую корневому подпространству. Жорданова матрица треугольная. Поэтому кратность собственного значения Л; равна й,, если Л; встречается на диагонали матрицы й; раз. Отсюда сразу следует Предложение 6.
Размерность корневого подпространства равна кратности его собственного значения в характеристическом многочлене. 5. Приведение к жордановой форме. Нахождение жордапова базиса, или, как говорят, приведение матрицы преобразования к жордановой форме облегчается тем, что при этом нет нужды искать корневые подпространства. Они получатся автоматически после того, как будут построены соответствующие жордановы цепочки. Действительно, для построения цепочек достаточно найти для каждого корня Л; его собственное подпространство и вложенные в него подпространства ~;, ...".~;"'*, определяющие, с каких собственных векторов начинаются цепочки. Согласно определению ~'~ = (А — Л, Е) Х (А;) Г1 Кег (А — Л, Е), но тут не надо находить Я';. Дело в том, что (А — Л, Е) '( Т) Г1 Кег (А — Л, Е) = — (А — Л;Е)'(,Ж,) Г1 Кег (А — Л,Е).
(9) Действительно, любой вектор х из У раскладывается в сумму векторов из корневых подпространств х = х1 + ... + х,, и (А — Л,;Е)(х) = = У1 + ... + У„гДе У = (А — Л,Е) (х ) б М з, так как коРневые поДпРостранства инвариантны. При этом если х. ф о при г ф з, то и у ф= о, так как Кег (А — Л,Е) С М;. По этим соображениям вектор, не лежащий в А;, не может перейти в вектор из А,. Отсюда сразу следует (9) и М'~ = (А — Л,;Е)'(У) Г1 Кег(А — Л,Е). Рассмотрим в качестве примера преобразование А шестимерного ~ 7. Теорема Жордана 213 пространства, заданное в некотором базисе матрицей 2 0 1 0 1 0 0 0 1 0 О 0 0 0 — 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 4 0 — 9 0 3 0 1 0 — 2 Нетрудно подсчитать, что характеристический многочлен А равен (Л вЂ” 1)з(Л вЂ” 2)з, и, следовательно, имеются два корневых подпространства размерности 3 каждое.
Начнем с корня Л1 —— 1. Составим матрицу 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 3 0 — 9 0 0 — 1 0 2 0 0 0 0 1 0 — 3 Решая однородную систему линейных уравнений с этой матрицей, находим, что собственное подпространство натянуто на векторы а~ и а2 с координатными столбцами, соответственно ск1 — — (! 0 1 0 0 0 0 ))~ и с~2 — — )) О 0 0 3 О 1 ))т.
Собственное подпространство двумерное, а корневое трехмерное. Значит, должен быть один присоединенный вектор. Чтобы найти, к какому собственному вектору он присоединен, ищем пересечение ~' собственного подпространства с 1т (А — Е), которое 1 натянуто на столбцы матрицы А †.Е. Легко заметить, что четвертый столбец А — Е совпадает с с~2. Так как о1 не раскладывается по столбцам А — Е, размерность суммы подпространств равна 5, а сумма размерностей — 6.
Значит, пересечение одномерно, и базис в нем — а2. Решим систему уравнений (А — Е)с = п2 и найдем координатный столбец сиз — — ~! 0 0 О 1 0 0 ~)т присоединенного вектора аз. После этого жорданов базис первого корневого подпространства построен. Для корня Л2 — — 2 составляем матрицу 0 0 1 0 0 0 0 — 1 0 0 0 0 0 0 — 1 0 1 0 0 0 0 2 0 — 9 0 0 — 1 0 1 0 0 0 0 1 0 — 4 Из однородной системы уравнений с такой матрицей следует, что собственное подпространство одномерно, и его базисный вектор 6 имеет координатный столбец,З = ~)1 0 0 0 0 0 ~~т. Так как корневое пространство трехмерное, к 6 должны быть два присоединенных век- Гл.
р7. Линейнь~е пространства тора. Первый присоединенный получаем из системы (А — 2Е)~ =,3. Его координатный столбец есть,31 — — ~~ 0 0 1 0 1 О (~т. Второй присоединенный — решение системы (А — 2Е)с =,31. Его координатный столбец,З2 = )! 0 0 0 0 1 0 !)т. Итак, жорданов базис состоит из трех цепочек: цепочка а1 длины 1, цепочка а2, аз и цепочка Ь, Ь1, Ь2. Координатные столбцы этих векторов о1,с~2,сиз,~З, ф~,~Зз составляют матрицу перехода Я от исходного базиса к жорданову базису. Учитывая порядок, в котором мы расположили векторы жордановых цепочек, мы можем выписать жорданову матрицу А', которую имеет А в построенном базисе. В матрице Я выделены жордановы цепочки, а в матрице А' соответствующие жордановы клетки: 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 О 1 1 0 0 О 0 0 0 0 0 0 3 1 0 0 1 0 Рекомендуем читателю проделать все описанные здесь вычисления.
Унрткненил 1. Сколько существует жордановых матриц, отличающихся кратностями характеристических чисел, числом и размерами клеток, среди матриц: а) второго порядка; б) третьего порядка; в) четвертого порядка? 2. Найдите жорданову форму матрицы и матрицу перехода к жорданову базису для преобразования, заданного в исходном базисе матрицей: 1 — 1 Π— 1 О 1 1 1 О 1/2 О 1 1 1 О О О О 1 1/2 О О О О 1 3 — 1 Π— 1 1 1 Π— 1 О О 2 — 1 О О 1 О а) б) ГЛАВА УП ЕВКЛИДОВЫ И УНИТАРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ~ 1. Евклидовы пространства 1) (,д) = (у,х); 2) (х + у, 4 = (х, 4 + (у, ); 3) (ах, д) = а(х, д); 4) (х, х) > 0 для всех х ф о.
Будем рассматривать и-мерное евклидово пространство Ж Любое подпространство Г' в Г ---- также евклидово пространство, так как для его векторов определено то же самое скалярное умножение. Очевидны простейшие следствия из перечисленных аксиом. Так как (х, ау) = (ад, х) = о(у, х), имеем (х, ау) = а(х, д). Аналогично доказывается (х, у + г) = (х, д) + (х, .г).
(2) Можно дать второе определение евклидова пространства, эквивалентное первому. О п р е д е л е н и е. Вещественное линейное пространство называется евклидовым, если в нем задана положительно определенная квадратичная форма. 1. Скалярное произведение. Линейное пространство, введенное в предыдущей главе, существенно отличается от множества векторов обычного геометрического пространства тем, что в линейном пространстве не определены понятия длины вектора и угла между векторами.
В настоящей главе мы изучим такие пространства, в которых эти понятия определены. В гл. 1, используя длину вектора и угол, мы определили скалярное произведение. Здесь удобнее поступить наоборот. Мы аксиома- тически определим операцию скалярного умножения, а длину и угол определим с ее помощью. Определение скалярного умножения для вещественных и для комплексных пространств формулируется различно.
Этот параграф посвящен вещественным пространствам. О п р с д с л е и и с. Всщсствсппос липсйпос пространство о называется евклидовым, если в нем определена операция скалярного диножениа: любым двум векторам х и д из о" сопоставлено вещественное число (обозначаемое (х,д)), и это соответствие удовлетворяет следующим требованиям, каковы бы ни были векторы х., у и г и число а: Гл. Ъ'П. Евклидовы и унитарные пространства 216 Из первого определения следует второе. Действительно, если в вещественном линейном пространстве определена операция скалярного умножения, то это — функция от двух векторов.
Аксиомы 2) и 3) и формулы (1) и (2) равносильны тому, что функция билинейная. Аксиома 1) означает, что билинейная функция симметрична, а аксиома 4) что соответствующая квадратичная форма положительно определена. Поскольку симметричная билинейная функция однозначно определяется соответствующей квадратичной формой, обратное утверждение столь же очевидно. Конечно, в вещественном линейном пространстве существует бесконечно много положительно определенных квадратичных форм.
Во втором определении слово "задана" означает, что одна из них выделена и играет особую роль. Будем называть ее основной квадратичной формой. П р и м е р 1. Для векторов геометрического пространства скалярное произведение двух векторов определено как произведение их длин на косинус угла между ними. Так, определенная операция скалярного умножения обладает нужными свойствами, но зависит от выбора единицы измерения длин. Поэтому, если такал единица выбрана, векторы геометрического пространства образуют трехмерное евклидово пространство в определенном здесь смысле. П р и м е р 2. В и-мерном арифметическом пространстве мы можем ввести скалярное умножение, сопоставив столбцам ~ и ц число 4'ч = ('ч'+ + 1"ч", (3) где через ~' и и' обозначены элементы столбцов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
