Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры (10-е изд., 2005) (1004043), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Отсюда Вд В' = ВДАВЯ = ВдВ в силу предложения 3 ~ 3 гл. У. Если квадратичная форма имеет диагональный вид, то ранг ее матрицы равен числу диагональных элементов, отличных от нуля. Таким образом, это число не зависит от базиса. О п р е д е л е н и е.
Число не равных нулю коэффициентов в каноническом виде квадратичной формы 1 называется рангом 1с. Итак, ранг квадратичной формы равен рангу ее матрицы. В комплексном пространстве все квадратичные формы одного и того же ранга г приводятся к одному и тому же каноническому виду (~ ) + ... + ((") . Теперь рассмотрим вещественное пространство ~. О п р е д е л е н и е.
Квадратичную форму 1 будем называть положительно определенной на подпространстве У' пространства У, если 1(х) > О для любого ненулевого вектора х из ~'. Форма 1 отрицательно определена на г,"", если Е(х) < О для любого х ф- 'о из У'. Если говорят, что квадратичная форма положительно или отрицательно определена, без уточнения подпространства, то она обладает таким свойством на всем .У. Квадратичные формы, для которых М(х) > О или к(х) < О при любом х, называются соответственно положительно или отрицательно полуопределенными. Удобно считать, что на нулевом подпространстве каждая квадра- 202 Гл. (7.,Линейные пространства тичная форма и положительно определена, и отрицательно определена одновременно. В силу этого соглашения всегда существует (хотя бы нулевое) подпространство, на котором квадратичная форма отрицательно определена.
О п р е д е л е н и е. Пусть У~ ) — подпространство максимальной размерности среди всех подпространств, на которых квадратичная форма отрицательно определена. Число с(1пт У'~ ) называется отрицательным индексом или просто индексом квадратичной формы. Аналогично определяется положительный индекс как максимальная из размерностей подпространств, на которых квадратичная форма положительно определена. Докажем так называемый закон инерции квадратичных форм. Теорема 4.
Число отрицательных и число положительных коэффициентов в каноническом виде квадратичной формы не зависят от базиса, в котором она приведена к каноническому виду. Докажем сначала, что если в каком-либо базисе форма 1 приведена к каноническому виду, то число коэффициентов, равных — 1, равно отрицательному индексу формы 1. Пусть в базисе е1, ...,е„форма 1 ранга г с индексом з имеет канонический вид — Ы')2 — — у)'+ у")'+ + Ю' Обозначим через У1 линейную оболочку векторов е1, ..., е, а через У'2 линейную оболочку остальных базисных векторов.
Для любого х е У1 имеем ~з+ = ... = ~ =О, и $с(х) = — (~~) — ... — (~з) < О, если только х ф о. Значит, 1 отрицательно определена на г,'1 и в > ~. На У2 форма к положительно полуопределенная, потому что ~1 = ... = ~з = О для любого х б У'2 и 1(х) = ф+1) 2 + ... + (~') 2. (Форма может равняться нулю на ненулевом векторе., если т < и.) с(1т У2 = п — ~.
Пусть существует подпространство У размер( вЂ) ности з > ~, на котором 1 отрицательно определена, Тогда, поскольку сумма размерностей Уз и Р больше и, эти подпространства имеют ненулевой вектор г в пересечении. Имеем 1(~) < О, так как г Е У и Е(г) > О, так как г Е Уе. Полученное противоречие пока( вЂ) зывает, что ~' = в. Число коэффициентов, равных — 1, равно отрицательному индексу, и потому не зависит от базиса. Число коэффициентов, равных +1, также не зависит от базиса, так как оно равно г — в, а ранг г и индекс в от базиса не зависят. Теорема доказана. Следствие.
Число положительных и число отрицательных коэффициентов в любом диагональном виде квадратичной формы не зависят от базиса. Положительно определенные квадратичные формы имеют ранг п и индекс О и приводятся к каноническому виду ((')'+ — + ((")' (12) Отрицательно определенные квадратичные формы имеют ранг п и ~ б. Квадратичные формы 203 индекс п и приводятся к каноническому виду — — (~') — ... — (('") . Положительно и отрицательно полуопределенные квадратичные формы ранга г приводятся соответственно к каноническим видам Ы')' + " + Ы")' — ((')' — " — (4")'. В вещественном пространстве квадратичная форма характеризуется двумя числами в том смысле, что все квадратичные формы, у которых эти пары чисел одинаковы, приводятся к одному и тому же каноническому виду.
В качестве таких чисел можно взять положительный и отрицательный индексы или же ранг, который равен их сумме, и отрицательный индекс. Часто вместе с рангом используют разность положительного и отрицательного индексов. Эта разность называется сигнатурой квадратичной формы. Условие положительной определенности квадратичной формы дает следующая теорема, называемая критерием Сильвестра. Теорема 5. Для положительной определенности квадратичной формы необходимо и достаточно, чтобы миноры ее матрицы удовлетворяли неравенствам > О (й =1,....,п). (1З) Д;=М(е,) >О, и, следовательно, при приведении матрицы к диагональному виду особый случай не встретится. В основном случае к любой строке может быть прибавлена только лежащая выше, а к любому столбцу — только расположенный левее.
При таких преобразованиях главные миноры матрицы не изменятся. Но у диагональной матрицы для положительно определенной квадратичной формы главные миноры положительны. Поэтому они положительны и у исходной матрицы. 2'. Д о с т а т о ч н о с т ь. Пусть все главные миноры матрицы В положительны. В частности, ЛХ1 — —,Зы > О, и первый шаг преобразования приводит матрицу к виду (10) с в1 > О. Допустим, что после Й шагов мы получили матрицу В~ с положительными я1, ...,вь, причем не возникало особого случая.
Тогда для левого верхнего элемента матрицы С~ имеем -ь+1 — — ЛХь+1/ЛХ~, так как главные миноры не менялись. Поэтому к~, 1 > О, на очередном шаге преобразования имеет место основной случай и полученная матрица имеет положи- Миноры вида (13) называются главными минорами матрицы. Для доказательства вспомним преобразования матрицы квадратичной формы., примененные при доказательстве теоремы 1. 1'. Н е о б х о д и м о с т ь. Если квадратичная форма 1 положительно определена, то диагональные элементы ее матрицы в любом базисе удовлетворяют условию 204 Гл. 17.
Линейнь~е пространства тельные элементы а1, ..., ~ь+1. Рассуждая так для всех и, мы придем к доказываемому утверждению. 4. Полуторалинейные функции. В комплексных пространствах квадратичные формы используются сравнительно редко. В приложениях чаще встречаются так называемые эрмитовы формы. О п р е д ел е н и е. Функция Ь от двух векторов на комплексном линейном пространстве У называется полдторалинейной или эрмитовой билинейной функцией, если для любых векторов х, д и ~ и любого комплексного числа о Ь(х + д, ~) = Ь(х, ~) + Ь(д, ~), Ь(ох, д) = оЬ(х, д), Ь(х, д + ~) = Ь(х, д) + Ь(х, ~), Ь(х, ад) = аЬ(х, д).
Отличие полуторалинейной функции от билинейной в том, что она не линейна по второму аргументу: при его умножении на число а значение функции умножается на комплексно сопряженное число о. Перечислим основные свойства этих функций. Доказываются они так же, как соответствующие свойства билинейных функций. Ниже черта над буквой, обозначающей матрицу, будет обозначать замену всех элементов матрицы комплексно сопряженными числами. Если в .Т выбран базис, то значение полуторалинейной функции на паре векторов х и д может быть выражено через координаты этих векторов формулой ) ~~~ ~Д ~з ~ ~тВ г~ В называется матрицей полуторалинейной функции.
Ее элементы равны значениям Ь на парах базисных векторов:,3; = Ь(е;,е.). При замене базиса с матрицей перехода Я матрица В заменяется на матрицу В' = Я~ ВЗ. Полуторалинейная функция Ь называется эрмитово симметричной, если для любой пары векторов Ь(х, д) = Ь(д, х). Для этого необходимо и достаточно, чтобы в любом базисе элементы матрицы этой функции удовлетворяли условиям Д =,о;;. Это равносильно условию В~ = В па матрицу полуторалинейной функции.
Определение. Матрица В, для которой В~ = В, называется эрмитовой матрицей. Элементы эрмитовой матрицы, симметричные относительно главной диагонали, комплексно сопряжены: 3;. =,3,, в частности, элементы на главной диагонали вещественные: ди —— ,Зд. О п р е д е л е н и е. Функция ~ на комплексном линейном пространстве называется эрмитовой формой, если к(х) = Ь(х, х) для некоторой эрмитовой симметричной полуторалинейной функции Ь. Для заданной эрмитовой формы 1 можно так выбрать базис, что ее матрица будет иметь канонический вид: диагональная матрица с элементами 1, — 1 или О на диагонали. При этом для эрмитовых форм справедлив закон инерции: в матрице канонического вида число ~ 7.
Теорема Иордана 205 Упражнения 1. Значение билинейной функции Ь в некотором базисе записано как многочлен от координат С' и ц' векторов х и д: Ь(х, д) = С и + С и — 2С и + 4С и + ЗС и + С и'. Напишите матрицу этой билинейной функции, если пространство: а) трехмерное; б) четырехмерное. 2. Как изменится матрица билинейной функции из упр. 1, а), если пе/ / ! рейти к базису: е1 — — е~+ е', е = е + ез', ез — — ез? 3. Напишите матрицу квадратичной формы (~ ) + ~ ~ + (~ ) . 4. Приведите к каноническому виду квадратичную форму с матрицей: 1 2 3 2 4 5 3 5 8 1 2 3 2 4 5 3 5 9 б) а) и найдите матрицу перехода к каноническому базису.
5. Нуль-пространством симметричной билинейной функции Ь называется множество векторов х таких, что для всех д выполнено Ь(х,д) = О. Проверьте, что это линейное подпространство. Как связана его размерность в с рангом Ь? Какой будет матрица функции Ь в базисе, последние в векторов которого лежат в нуль-пространстве? 6. В и-мерном пространстве заданы т квадратичных форм. При каком условии существует базис, в котором они все могут быть представлены как многочлены от первых Й ( и координат вектора? 7. Пусть А квадратная матрица порядка и и ранга г.
У квадратичной формы с матрицей А А определите: а) ранг; б) индекс. 8. Квадратичная форма с матрицей В положительно определена тогда и только тогда, когда найдется верхняя треугольная матрица В, сей В ~ О, такая, что В = В В. Докажите это. т 9. Дана квадратичная форма 1. При каком условии найдется ненулевой вектор х, для которого М(х) = О? 10. Какому необходимому и достаточному условию должны удовлетворять главные миноры отрицательно определенной квадратичной формы? 11. Может ли матрица положительно определенной квадратичной формы иметь неположительный диагональный минор? (Минор называется диагональннм, если главная диагональ его подматрицы находится на главной диагонали матрицы.) '3 7.
Теорема Жордана 1. Теорема Гамильтона — Кэли. Так называется следующая теорема, справедливая как для комплексных, так и для вещественных матриц. элементов на диагонали, равных О, 1 и — 1, не зависит от базиса, в котором форма имеет канонический вид. Таким образом, эрмитовы формы по свойствам ближе к квадратичным формам в вещественном пространстве, чем к квадратичным формам в комплексном пространстве.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
