Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры (10-е изд., 2005) (1004043), страница 42
Текст из файла (страница 42)
е. расположенная на главной диагонали. Пусть теперь У разложено в прямую сумму з инвариантных подпространств .У = Уг ® ... 61 У, размерностей дг, ...,д, и в качестве базиса выбрано объединение базисов этих подпространств. Тогда в матрице преобразования могут отличаться от нуля только элементы квадратных клеток порядков сгг,...,а, на диагонали: Гл. И; 7инейные пространства объединение базисов инвариантных подпространств.
Преобразование А каждому вектору из инвариантного подпространства У' сопоставляет вектор из У'. Этим определено преобразование подпространства .Т, которое мы назовем ограничением А на .У и обозначим 4'. Для векторов из .2" по определению А'(х) = А(х), а для векторов, не принадлежащих У, преобразование А не определено. А' отличается от 4 только тем, что оно преобразует У' в У', а не У' в У. Ксли сохранить обозначения, введенные выше, то нетрудно заметить, что в базисе е1, ...,еь подпространства У' матрицей ограничения 4' является клетка А1 матрицы (2).
Инвариантные подпространства преобразования А тесно связаны с преобразованиями, перестановочными с А. Эту связь описывает Предложение 3. Если преобразования А и В перестановочны, то ядро и множество значений одного из них инвариантны относительно другого. Доказательство. 1'.
Ксли х Е КегА, то А(х) = о, и потому В(А(х)) = о. Тогда 4(В(х)) = о, а значит, В(х) Е Кег А. 2'. Ксли х Е 1тпА, то существует вектор г такой, что х = 4(г). Тогда В(х) = В(А(г)) = А(В(г)). Это означает, что В(х) ~ 1пт А, 4. Собственные подпространства. Мы найдем подпространство, инвариантное относительно заданного линейного преобразования А, если найдем преобразование, перестановочное с А и имеющее ненулевое ядро. Перестановочны с А прежде всего многочлены от А и, в частности, простейшие из них — линейные.
С точностью до числового множителя линейному многочлену от А можно придать вид А — ЛЕ, где Л -- некоторый коэффициент. О п р е д е л е н и е. Если для числа Л подпространство Кет (А — Л Е) ненулевое, то Л называется собственным значением преобразования, а подпространство — собственным подпространством, соответствующим (или принадлежащим) собственному значению Л. Отметим один важный частный случай. Ксли преобразование А имеет ненулевое ядро, то это ядро собственное подпространство, соответствующее собственному значению Л = О. Ограничение А на этом инвариантном подпространстве — нулевое преобразование.
Если вектор х лежит в собственном подпространстве, то для него (А — ЛЕ)(х) = о или А(х) — ЛЕ(х) = А(х) — Лх = о и, окончательно, 4(х) = Лх. Отсюда следует Предложение 4. Ограничение преобразования на собственном подпространстве является или нулевым преобразованием, или гомотетией: оно умножает каждый вектор этого подпространства на собственное значение.
~~. Задача о собственных векторах Пусть нам каким-то образом удалось найти собственные значения преобразования А. Тогда для нахождения собственных подпространств нужно для каждого собственного значения Л составить систему линейных уравнений (5) (А — ЛЕ)~ = о, (а', — Л)~' + а'~~ + + а„'('" = О, аз~' + (аа — Л)~г + ... + а~ ~'" = О Определение. Вектор х называется собственным вектором преобразования 4, соответствующим (или принадлежащим) собственному значению Лг если: 1) х ф о; 2) 4(х) = Лх. Определение означает, что собственные векторы это ненулевые векторы собственных подпространств. Предложение 5.
Собственные векторьг и только они являются базисными векторами одномерньгх подпространств, инвариантных относительно А. Д о к а з а т е л ь с т в о. 1'. Пусть вектор х собственный, а д принадлежит одномерному подпространству ~." с базисом х. Тогда д = ах и 4(д) = сгА(х) = аЛх. Значит, 4(д) лежит в У'. 2'. Пусть х базис инвариантного подпространства Р'. Тогда 4(х) лежит в У и раскладывается по базису: 4(х) = Лх. Так как х ф о, он собственный. С л е д с т в и е.
В собственном подпространстве через каждый вектор проходит одномерное инвариантное подпространство. Предложение 6. В г'-м столбце матрицы линейного преобразования все элементы вне главной диагонали равны нулю тогда и только тогда, когда г'-й базисный вектор собственный. В этом случае диагональный элемент столбца собственное значение. Действительно, если базисный вектор е, собственный, то А(е,) = = Ле, и поэтому г-и элемент координатного столбца вектора 4(е,) равен Л, а остальные элементы равны нулю.
Остается вспомнить, что координатный столбец А(е,) есть г-й столбец матрицы преобразования. Обратное утверждение доказывается аналогично. 5. Характеристическое уравнение. Выберем базис и обозначим через А матрицу линейного преобразования А в этом базисе. Тогда преобразование А — ЛЕ имеет матрицу А — ЛЕ, и согласно пред- где А матрица преобразования в некотором базисе е. Фундаментальная система решений системы (5) состоит из координатных столбцов векторов, составляющих базис собственного подпространства.
В развернутом виде система (5) записывается так: Гл. 17. Линейные пространства ложению 5 ~ 3 его ядро отлично от нуля тогда и только тогда, когда а — Л и 1 1 1 2 а а2 — Л 1 ~.~ п 2 1~и сне~(А — ЛЕ) = с1е1 = О. (7) а" — Л и и 1 Равенство (7), рассматриваемое как условие на Л, называется характеристическим уравнением матрицы А, а его корни характеристическими числами матрицы А.
Разумеется, в вещественном пространстве в качестве множителей допускаются только вещественные числа, и собственные значения должны быть вещественными. В соответствии с этим имеет место Теорема 1. В комплексном пространстве все корни характеристического уравнения и только они являются собственными значениями. В вещественном пространстве то же справедливо для вещественных корней характеристического уравнения. Левая часть характеристического уравнения представляет собой многочлен степени и.
Действительно, согласно формуле полного разложения (10) ~4 гл. У детерминант равен алгебраической сумме произведений, в каждое из которых входит по и элементов матрицы. Содержат Л только элементы, стоящие на главной диагонали. Существует одно произведение ( 1 1)( 2 1) ( и, Л) (8) в котором все сомножители содержат Л. Если в какое-нибудь другое произведение вошел сомножитель о'. (1 ф ~), то в него не могут войти сомножители (а; '— Л) и (о1 — Л). поэтому каждый член суммы, кроме (8), содержит Л в степени не выше, чем п — 2. Раскрывая скобки в выражении (8), выпишем два члена со старшими степенями Л: ( — 1) "Л" + ( — 1) (о1 + а2 + ...
+ а"„) Л" Эти же члены будут старшими во всем многочлене. Свободный член мпогочлепа равен его значению при Л = О, а это значение равно с1е1(А — ОЕ) = с1е1 А. Таким образом, и с1е1(А — ЛЕ) = ( — 1)"Л" + ( — 1)" 'Л" ' ~ а,'+ ... +с1еСА. (9) 1=1 Этот многочлен называется характеристическим многочленом матрицы А. Остальные его коэффициенты находить не будем, так как они нам не потребуются.
Многочлен степени п, как известно, не может иметь больше, чем п различных корней и всегда имеет хотя бы один комплексный корень. Если мы рассматриваем вещественное пространство, то может случиться (при четной размерности), что характеристическое уравнение не имеет ни одного вещественного кор- ~~. Задача о собепгвенных векторах 185 ня, и, следовательно, линейное преобразование не имеет собственных значений и собственных подпространств. Примером может служить поворот плоскости. В комплексном пространстве и в вещественном пространстве нечетной размерности каждое линейное преобразование имеет хоть одно собственное значение и хоть одно собственное подпространство. Предложение 7.
Если А и А' — матрицы линейного преобразования А в разных базисах, то характеристические многочлены этих матриц совпадают. Доказательство. Согласно формуле (1) мы имеем с1еФ(А' — ЛЕ) = с1ес(Я 'АЯ вЂ” ЛЯ '5) = с1е15 '(А — ЛЕ)5 = = с1ес(А — Л.Е) с1еС Я 1 с1е1 Я = сЫ(А — ЛЕ).
Из этого предложения следует, что мы можем назвать характеристический многочлен матрицы А характеристическим многочленом преобразования А. Коэффициенты характеристического многочлена являются инвариантами, связанными с преобразованием. В частности, детерминант матрицы преобразования не зависит от выбора базиса. Другим важным инвариантом является коэффициент о1+ ... + а„"при ( — Л)" называемый следом матрицы или следом преобразования. Он обозначается Фг А или 1г А.
С помощью теоремы Виета из (9) нетрудно установить, что след матрицы равен сумме всех корней ее характеристического многочле- на, а детерминант — произведению корней. 6. Свойства собственных подпрострвпств. Взаимное расположение собственных подпространств описывает Теорема 2. Сумма собственных подпространств является прямой суммой. В силу предложения 5 8 2 это равносильно утверждению: собственные векторы х1, ..., х, принадлежащие попарно различным собственным значениям Л1, ..., .Л„линейно независимы.
Для доказательства рассмотрим преобразования В, = (А — Л, Е) для всех 1 = 1, ..., з и образы векторов х1, ..., х, при этих преобразованиях. Для любых г и з имеем В,(, ) = А(:,) — Л;,, = (Л вЂ” Л;)х . (10) Таким образом, В,(х.) ~ о при г ф 1', а В,(х,) = о. Допустим, что один из векторов раскладывается по остальным, например, х1 = с12х2 + ." + сгэхи ° Подействуем на обе части равенства преобразованиями В2, ..., В,.
Вектор х1 в левой части равенства перейдет в отличный от нуля вектор (Л1 — Л2)...(Л1 — Л,,)х1, а произвольное слагаемое о..х. (~ = 2, ..., з) в правой части равенства перейдет в а,(Л, — Л2)...(Лз — Л,)...(Лз — Л,)хз, Гл. 17. Линейние пространства 186 т. е. в нулевой вектор. Поэтому вся правая часть равенства перейдет в нулевой вектор. Полученное противоречие заканчивает доказательство теоремы.
Пусть Ло — — корень многочлена р(Л). Напомним, что кратностью корня Ло называется самое большое число з, при котором многочлен может быть представлен в виде р(Л) = (Л вЂ” Лв)'р1(Л), где р1(Л) некоторый многочлен. Корни кратности 1 называются простыли. Теорема 3. Пусть собственное значение Ло преобразования А есть корень характеристического многочлена кратности з. Тогда размерность соответствующего собственного подпространства не превосходит з.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть корню Ло соответствует собственное подпространство размерности й. Выберем там базис е1, ..., еь и дополним его векторами еь+1, ..., е„до базиса в пространстве ~.". Первые й столбцов матрицы А преобразования А в этом базисе определяются предложением 6: л ... о О ... Ло 0 ... 0 0 ... 0 Здесь В и С вЂ” какие-то подматрицы, занимающие и — й столбцов. Раскладывая детерминант матрицы А — ЛЕ последовательно по каждому из первых Й столбцов, мы получаем с1еь(А — ЛЕ) = (Лв — Л)ь с1е1(С вЂ” ЛЕ) Отсюда по определению кратности Й < з. Теорема доказана. Собственному значению кратности в может принадлежать собственное подпространство размерности, меньшей, чем з.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
