Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры (10-е изд., 2005) (1004043), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Поэтому столбцы матрицы линейно зависимы, а значит, линейно зависимы и векторы ~1, ..., 1' Отсюда прямо вытекает Теорема 1. Если в линейном пространстве есть базис из и векторов, то и любой другой базис состоит из и векторов. Действительно, число векторов в одном базисе не может быть больше, чем в другом. Теперь мы можем ввести следующее О п р е д е л е н и е. Линейное пространство, в котором существует базис из и векторов, называется и-мерным, а число и — размерностью пространства.
Размерность пространства .2' обозначается Йтп ~. В нулевом пространстве нет базиса, так как система из одного нулевого вектора линейно зависима. Размерность нулевого пространства по определению считаем равной нулю. Может случиться, что каково бы ни было натуральное число т, в пространстве найдется т линейно независимых векторов. Такое 11 Д.В. Беклемишев 162 Гл.
17. Линейные пространства пространство называется бесконечномерным. Базиса в нем не существует: если бы был базис из и векторов, то любая система из и + 1 векторов была бы линейно зависимой по предложению 8. П р и м е р 6. Множество всех векторов плоскости является двумерным линейным пространством, а множество всех векторов пространства, изучаемого в элементарной геометрии, трехмерное линейное пространство. Пример 7. Линейное пространство столбцов высоты и имеет размерность и.
Действительно, предложение 2 ~ 1 гл. У по существу означает, что столбцы единичной матрицы порядка и, образуют базис в этом пространстве, называемый стандартным базисом. Линейное пространство столбцов высоты и называют арифметическим и-мерным пространством. П р и м е р 8. Линейное пространство функций от одной переменной 1, определенных и непрерывных на отрезке ~0, Ц, является бесконечномерным. Чтобы это проверить, достаточно доказать, что при любом т в нем существует линейно независимая система из т векторов. Зададимся произвольным числом т.
Векторы нашего пространства функции 1~ = 1, 1, 12, ..., 1 ' линейно независимы. Действительно, равенство нулю линейной комбинации этих векторов означает, что многочлен с10 + с11~+ с~2~ +" + от — 1~ тождественно равен нулю. А это возможно только тогда, когда все его коэффициенты равны нулю. В линейной алгебре изучаются конечномерные линейные пространства. Далее всюду, за исключением некоторых примеров, мы будем предполагать пространство конечномерным. В ненулевом конечномерном пространстве существует бесконечно много различных базисов.
Это видно из следующих предложений. Предложение 9. В и-мерном пространстве каждая упорядоченная линейно независимая система из и векторов есть базис. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть х1„..., х„— такая система. Нам надо доказать, что произвольный вектор д раскладывается по ней. По предложению 8 система д, х1, ..., х„линейно зависима, и найдутся такие коэффициенты, что ад+ а1х1+ ... + о„х = о, причем а ф О, так как иначе система х1, ..., х„была бы линейно зависима.
Отсюда прямо следует доказываемое утверждение. Предложение 10. В и-мерном пространстве каждую упорядоченную линейно независимую систему из й < и векторов можно дополнить до базиса. Это вытекает из того, что к такой системе можно присоединить еще один вектор, который по ней не раскладывается. (Если бы это было не так, система сама была бы базисом.) После присоединения мы имеем такую же систему из Й + 1 векторов и, если Й + 1 < и, повторя- ~1. Основные поняпгия 163 ем рассуждение. В конце концов мы получим п линейно независимых векторов, в число которых входят заданные векторы.
В частности, до базиса можно дополнить любой ненулевой вектор. 5. Замена базиса. Если в и-мерном пространстве даны два баЗИСа Е1, ..., Сп И Е1, ..., Е'„, тО МЫ МОЖЕМ раЗЛОжИтЬ КаждЫй ВЕКтОр ВтО- рого базиса по первому базису: е',. = ~~~ озе (г = 1, ..., п). (1) 3=-1 Компоненты о", можно записать в виде квадратной матрицы Столбцы зтой матрицы координатные столбцы векторов е1, ..., е'„в базисе е. Позтому столбцы линейно независимы, и с1е1 Я ф.
О. О и р е д ел е н и е. Матрицу, 1-й столбец которой есть координатный столбец вектора е' в базисе е, мы назовем матрицей перехода от базиса е к базису е'. Равенство (1) можно переписать в матричных обозначениях ()е, ...е„)! = ))е1...е ((Я, или е =е5. (2) Это легко проверить, перемножая матрицы. Из формулы (2) мы получаем е = е'5 1, откуда следует, что Я 1 — — матрица перехода от е' к е. Пусть в линейном пространстве даны три базиса е, е' и е", причем е' = еЯ и е" = е'Т. Подставляя е', мы получаем е = еЯТ. (4) 11" Итак, при последовательной замене базисов матрицы перехода перемножаются, и последующие множители располагаются правее. Предложение 11.
Пусть задан базис е. Каждая матрица Я с с1еФ Я у6 О есть матрица перехода от е к некоторому базису е'. Действительно, при г1еФ Я ~ О столбцы Я линейно независимы и являются координатными столбцами и линейно независимых векторов, которые и составляют базис е'. Выясним, как связаны компоненты одного и того же всктора х в двух разных базисах е и е'. Пусть х = ес и х = е'~'. Подставим в последнее равенство выражение для е' по формуле (2) и получим х = еЯ'. Итак, мы имеем разложение вектора х по базису е в двух видах, и в силу единственности координатного столбца получаем Гл. 17. Линейные пространства 164 Подробнее эту формулу можно переписать в виде ~1 "' оп 1 1 и и 1 "' п или, если выполнить умножение матриц, о.'~ (г = 1,...,п).
3=1 Для трехмерного пространства мы уже получили это в ~ 3 гл. 1. (5) от выбора исходного базиса ео Доказательство. Рассмотрим базис $о, и пусть Го Е о+(ео), т. е. »ро — — еоР, с1е1 Р > О. Для каждого базиса е Е е+(Го) имеем е = ГоЯ, с1е1 Я > О и е = еоРЯ, где с1ес РЯ = с1е1 Р с1еФ Я > О. Значит, е Е Г~(ео). Отсюда следует с'"'+(1о) С с~+(ео).
Но ео Е о+(1о), так как с1е1 Р ' > О. Поэтому, меняя местами 1о и ео, мы получаем Ж~(ео) С 4+(Го), и в результате 6' (Ко) = 6; (ео). Классы с' (1о) и 6' (ео) состоят из базисов, не вошедших соответственно в Г~(Ко) и Г» (ео), и потому также совпадают. Итак, ~+(1о) = ~+(ео) ~ — (1о) = ~ — (ео). Случай, когда Го Е Г (ео), рассматривается аналогично. При этом оказывается, что 6+(1о) = 8' — (ео) и 6' — (1о) = 4+(ео) Чтобы подчеркнуть независимость классов базисов от выбора исходного базиса, мы обозначим их просто 4 и 6~. О и р е д е л е н и е. Вещественное линейное пространство называется ориентированным, если из двух классов базисов о1 и Ж2 указан один. Базисы выбранного класса называются положительно ориентированными.
Задать ориентацию линейного пространства можно, выбрав некоторый базис и считая его (и все базисы одного с ним класса) положительно ориентированным. 6. Ориентация пространства. Понятие ориентации прямой, плоскости и пространства в ~4 гл. 1 основывалось на разделении всех базисов на два класса. Произведем это разделение для вещественных линейных пространств любой размерности. Фиксируем некоторый базис ео и обозначим через Г~(ео) множество всех таких базисов е, что е = еоЯ, с1е1Я > О. Остальные базисы отнесем к классу К (ео). Ясно, что для е' Е о" (ео) выполнено е' = еоТ, с1е$ Т < О. Предложение 12.
Классы базисов Г~(ео) и о" (ео) не зависят ~ 2. Линейные подпространстеа Упражнения 1. Обозначим через Е; матрицу размеров т х п, у которой элемент на пересечении г-й строки и з'-го столбца равен 1, а остальные элементы равны нулю. Убедитесь, что после упорядочивания эти тп матриц образуют базис в линейном пространстве матриц размеров т х п. (Такой базис называется стандартным базисом данного пространства.) Каковы координаты матрицы А с элементами а;, в стандартном базисе~ 2. Докажите, что верхние треугольные матрицы порядка п образуют линейное пространство по отношению к обычным операциям с матрицами. Найдите размерность этого пространства и какой-нибудь базис в нем. 3.
В линейном пространстве многочленов степени ( 3 от переменной 1 заданы два базиса: 1,1, 1,1 и 1, 1 — 1, (г — а), (с — а)'. Найдите матрицу перехода от первого базиса ко второму и с ее помощью разложение многочлена р® по второму базису. 4. Как расположены друг относительно друга два базиса е1,...,е„ и Г1,..., ~„, если матрица перехода от е к Г верхняя треугольная? Докажите из этих соображений, что обратная к верхней треугольной матрице также верхняя треугольная. 5. Как ориентированы друг относительно друга два базиса, если: ~~ = = е1 + е2,,~з = ег + ез', ~з = ез + е~; З4 = е.1 — е1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
