Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры (10-е изд., 2005) (1004043), страница 32
Текст из файла (страница 32)
К Матрицы и системы линейных уравнений единичной матрицы прибавлением одной строки к другой, то из предложения 2 видно, что дел Я~ — — с1е1 Е = 1. Таким образом, имеет место Предложение 5. Если существуют две функции д1 и 02, удовлетворяющие определению детерминанта, то для любой элементарной матрицы д1® = й2(Я). Кроме того, легко проверить, что для любой матрицы А и любой элементарной матрицы Я выполнено равенство с1е1(ЯА) = с1е1 Я с1еФ А. ® Действительно, достаточно вспомнить, что ЯА получается из А тем же элементарным преобразованием, что и Я из Е. Отсюда для матриц первого типа с1е1(51А) = Л с1е1 А.
Поскольку с1е1 Я1 — — Л, равенство (4) справедливо. Точно так же, для матриц второго типа Йе1(Я~А) = ЙеФ А и с1е$ 52 — — 1. Теперь может быть доказана Теорема 1. На множестве квадратных матриц порядка п не может быть более одной функции, удовлетворяющей определению детерминанта. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть существуют две такие функции д1 и с12. Докажем, что д1(А) = д (А) для любой квадратной матрицы А.
Если А — вырожденная матрица, то по определению 4 (А) = = ь~®=о. Рассмотрим невырожденную матрицу А. По предложению 9 ~ 2 опа может быть разложена в произведение элементарных матриц. Последовательно применяя формулу (4), мы получаем д1 ® = с~1 ф1 ... ~Х ) = с~1 (~1 ) с11 (~2... ~Л ) = ... = в 1 ф1 )... д1 фХ ) . Аналогично, д2(А) = д2(Я1)... 42(Яж). Теперь из предложения 5 следует А(А) = с4(А), как и требовалось. Вместе с доказательством теоремы, мы получили важную формулу: если невырожденная матрица А разложена в произведение эле- ментарных матриц, то с1е1А = с1е151...с1еФЯ.ч.
(5) Отметим, что детерминант элементарной матрицы либо равен числу Л ~ О, либо равен единице, т. е. в любом случае отличен от нуля. Из равенства (5) тогда следует Предложение 6. Если матрица невырожденная, то ее детерминант отличен от нуля. Следствие. для того чтобы матрица была вырожденной, необходимо и достаточно, чтобы ее детерминант был равен нулю. 3. Существование детерминанта. Разложение по столбцу. Минором матрицы называется детерминант какой-либо ее квадратной подматрицы. В частности, вводится О п р е д е л е н и е. Пусть а;.
— - элемент матрицы А порядка и, расположенный в г-й строке и ~с-м столбце. Назовем дополнительной подматрицей этого элемента матрицу .0; порядка п — 1, получаемую из ф~. Детерминанты А вычеркиванием г-й строки и з-го столбца. Дополнительным минором элемента а; назовем число 4.= Йе1О; . Разумеется, говорить о дополнительном миноре имеет смысл только в том случае, если детерминант порядка п — 1 существует. Теорема 2. На множестве квадратных матриц произвольного порядка определен детерминант. Докажем это методом полной индукции по порядку матрицы.
Начало индукции трудностей не вызывает, так как мы знаем, что известные нам детерминанты второго и третьего порядка обладают нужными свойствами. Предположим теперь, что на множестве матриц порядка и — 1 детерминант существует, и построим на множестве матриц порядка п функцию следующим образом. Фиксируем произвольно номер столбца з и произвольной матрице А порядка п сопоставим число п Д(А) = ~), ац( — 1)ь+'оз„-,, (6) 1=1 где И~ — дополнительный минор элемента аь, в матрице А.
Дополнительные миноры существуют в силу предположения индукции. Докажем, что функция (6) удовлетворяет трем условиям, входящим в определение детерминанта. 1. Выберем произвольную строку (пусть ее номер г) и покажем, что выражение в правой части формулы (6) есть линейный многочлен относительно элементов этой строки.
В самом деле, при й = г слагаемое а; ( — 1)'+зд, содержит элемент а;. из г-й строки. Коэффициент при нем нс зависит от элсмснтов г-й строки, так как эта строка в подматрицу 1Э; не входит. В остальных слагаемых (при г ф й) множитель а~ - не принадлежит г-й строке, а д~ — линейный многочлен от элементов ~,'-й строки.
Теперь свойство линейности по строке для функции Г следует из того, что сумма линейных многочленов линейный многочлен. 2. Докажем, что для вырожденных матриц Д равна нулю. В силу предложения 4 и уже доказанной линейности по строке для этого достаточно проверить, что Д(А) = О для произвольной матрицы, имеющей две одинаковые строки. Пусть в матрице А строки с номерами г и 1 одинаковы (1 ) г). Тогда в сумме (6) могут быть не равны нулю только два слагаемых, так как при Й ~ г и Й ф 1 дополнительная подматрица Оь.
содержит одинаковые строки, и потому минор д~; равен нулю. Итак, Д(А) = ( — 1)'+за,зду + ( — 1)')+'ЩА,. Учтем, что а, = а~ ввиду совпадения строк. Тогда Л(А) = ( — 1РаО(( — 1)'А, + ( — 1)'А,). (7) Дополнительные подматрицы .О;. и Оц состоят из одинаковых элементов, но отличаются порядком строк: в каждой из них оста- Гл. К Матрицы и системы линейных уравнений 142 лась одна из двух одинаковых строк, но в Р~.
она стоит на г-м месте, а в Р;. на (1 — 1)-м. Переставим в матрице Р; строку с номером 1 — 1 на г-е место, не нарушая взаимное расположение остальных строк. Для этого меняем ее последовательно местами с (Š— 2)-й, (У— — 3)-й, ..., ~-й строками. Потребуется (1 — 2) — (г — 1) = 1 — г — 1 перестановок. Отсюда следует, что д, = ( — 1)' ' 101 . Подставив это в равенство (7), мы увидим, что ~ (А) = О. 3.
Рассмотрим Д(.Е), где Š— единичная матрица порядка п. В этом случае в сумме (6) только одно ненулевое слагаемое Ь(Е) = ( — 1)'+'(1 Но РО -- единичная матрица порядка п — 1, и ее детерминант равен 1. Отсюда Д(Е) = 1, как и требовалось. Теорема доказана. В силу теоремы 1 функции Д при всех ~с совпадают, и мы можем написать: с1есА = ~ аь ( — 1) +~6~ . (8) 1=1 4. Свойства детерминантов.
Используя формулу (8) разложения детерминанта по столбцу, мы можем найти коэффициенты в формуле (1). Предложение 8. Каков бы ни был номер строки г', детерминант матрицы А порядка п вычисляется по формуле с1еФА = ~ а; ( — 1)'+'4., (9) где сЦ дополнительный линор элемента а; . Доказательство.
Для того чтобы найти коэффициент 6. при а; в формуле (1), сгруппируем все члены в этой формуле, кроме интересующего нас, и обозначим их сумму через в. Тогда с1еФА = 6 а; +о. Аналогично мы можем преобразовать разложение по ~-му столбцу: с1ес А = а,;. ( — 1)'~~4, + г. По определению 6 не зависит от элементов г-й строки, а д содержит все ее элементы кроме а; . Точно так же, при всех к в дополнительную подматрицу Рь не входит 1-и столбец, и, следовательно, И~ не зависит от а, .
В частности, д; не зависит от а; .. Отсюда же видно, что и г не зависит от этого элемента. Заметив это, обозначим через Ао матрицу, которая получена из матрицы А заменой элемента а; на О, и увидим, что с1е1Ао — — д и Правая часть этой формулы линейный многочлен от элементов ~-го столбца, следовательно. имеет место Предложение 7. Детерминант обладает свойством линейности по столбцам. ф~. Детерминанты 143 с1еФ Ао —— г. Учтем это при вычислении детерминанта матрицы А1, отличающейся от А заменой элемента а;.
на 1: с(е1А1 — — й + г = ( — 1)'+з4 + г. Отсюда получается нужное значение для 6,. Предложение 9. Для любой квадратной матрицы с1е1 А = сне~ А~. Для доказательства определим функцию от матрицы А равенством ~(А) = с1ес А~. По предложению 7 эта функция линейна по столбцам А~, т. е. по строкам А. Если матрица А вырождена, то вырождена и А~ (согласно следствию из предложения 9 ~ 2), и потому ~(А) = с1е1 А~ = О. Наконец, Е~ = Е, а значит, 1'(Е) = с1е1 Е~ = с1е1 Е = = 1. Таким образом, ~ удовлетворяет всем условиям в определении детерминанта, что и заканчивает доказательство.
Из предложения 9 следует равноправность строк и столбцов. Именно, если справедливо какое-либо утверждение о детерминантах, касающееся строк матриц, то верно и аналогичное утверждение, касающееся столбцов, и обратно. Поэтому известные нам свойства детерминантов можно переформулировать для столбцов. Предложение 10.
Столбцы матрицы линейно зависимы, тогда и только тогда, когда матрица вырождена и детерминант ее равен нулю. Если переставить два столбца матрицы, то ее детерминант умножится на ( — 1). Если в матрице к одному из столбцов прибавить другой, умноженный на число, то детерминант ее не изменится. П редложение 11. Для любых двух квадратных матриц одного порядка Йе1АВ = с1е1А с1еФВ. Доказательство.
Пусть матрица А невырождена. Разложим ее в произведение элементарных матриц. Тогда АВ = 51...5~В. Последовательно применяя формулу (4), получим с1еФАВ = с(е1Я1...с1еФЯл с(еФВ. Теперь из формулы (5) следует нужное утверждение. Если же матрица А порядка и вырождена, то Вя А < и. Из предложения 4 ~ 3 тогда следует Ве: АВ < и.
Значит, произведение АВ также вырождено и с1е1 АВ равен нулю так же, как и с1е1 А с1е1 В. 5. Формула полного разложения. Здесь мы получим формулу полного разложения детерминанта порядка п, представляющую его как многочлен от элементов матрицы. Введем предварительно некоторые определения. Мы будем называть перестановкой чисел 1, ..., п эти числа, написанные в каком-либо 144 Гл. К Матрииы и системы линейных уравнений определенном порядке.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
