Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры (10-е изд., 2005) (1004043), страница 29

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 29)

Доказательство предло~кения для столбцов не отличается от приведенного. Следствие. Элементарные преобразования строк переводят не- вырожденную матрицу в невырожденную, а вырожденную матрицу— в вырожденную. Предложение 7. Элементарные преобразования строк сохраняют линейные зависимости между столбцами. Элементарные пре- 128 Гл. 1'. Матрицы и системы линейных уравнений образования столбцов сохраняют линейные зависимости между строками. Д о к а з а т е л ь с т в о.

Матрица А = ~~а1, ..., а„~ ~ после элементарного преобразования строк переходит в матрицу ЯА, где Я соответствующая элементарная матрица. Столбцами матрицы ЯА будут Яа1, ..., Яа„. Пусть в матрице А столбцы связаны линейной зависимостью о1а1 + ...

+ а„а„= о. Умножая это равенство на Я, мы получаем точно такую зке зависимость между столбцами преобразованной матрицы: а15а1 + ... + а„Яа„= о. Доказательство для элементарных преобразований столбцов аналогично. Предложение 8. Каждая невырожденная матрица с помощью элементарных преобразований строк может быть превращена в единичную матрицу.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть дана невырожденная квадратная матрица А порядка и. Обозначим ее строки а1, ...,а„. В первой строке обязательно есть элемент, отличный от нуля, так как в противном случае матрица имела бы строку из нулей и была бы вырожденной. Пусть этот элемент имеет номер з1, т.

е. расположен в з1-м столбце. Разделим первую строку на этот элемент. В преобразованной матрице элемент в позиции (1,з1) будет равен 1. После этого для всех г = 2, ..., п вычтем из ~-й строки первую строку, умноженную па и,„. Так преобразованную матрицу обозначим А®. Ее з1-й столбец — это первый столбец единичной матрицы: все его элементы равны нулю, за исключением первого элемента, равного 1. С каждой из остальных строк будем поступать таким же образом.

Пусть после очередного преобразования получена матрица А®, у которой столбцы с номерами з1, ..., зь — первые Й столбцов единичной матрицы; (Й+ 1)-я строка матрицы А® отлична от нуля, так как А® получена элементарными преобразованиями из А и, следовательно, не вырождена. При этом элементы строки с номерами з1, ..., вь— нули, а значит, не равен нулю другой элемент. Пусть его номер зЬ8 1. Делим строку на него и вычитаем ее с подходящими множителями из остальных так, чтобы превратить в~+1-й столбец в й + 1-й столбец единичной матрицы.

Получается матрица А~~+1). После того, как будет произведена последовательность преобразований с и-й строкой, все столбцы полученной матрицы А~"~, будут различными столбцами единичной матрицы (1-й, 2-й,..., и-й столбцы единичной матрицы стоят на местах з~,...,з„). Одновременно строки А~ "~ являются различными строками единичной матрицы (при всех г в г-й строке на з,-м месте стоит единица, а остальные элементы равны нулю). Переставляя строки, мы можем расположить их в естественном порядке.

Это закончит преобразование исходной матрицы А в единичную при помощи элементарных преобразований строк. ~2. Умножение матриц 129 Метод преобразования матрицы, примененный при доказательстве, называется методом Гаусса, точнее "методом Гаусса Иордана с выбором ведущего элемента по строке". Различные варианты метода Гаусса широко применяются в вычислительной практике.

Предложение 9. Матрица невырождена тогда и только тогда, когда она раскладывается в произведение элементарных матриц. Доказательство. В силу предложения 8 найдутся такие элементарные матрицы Т1, ..., Тд, что Тл~ ... Т1 А = .Е. (10) Так как последовательности элементарных преобразований обратимы, существуют элементарные матрицы Я1, ..., Яд, для которых Я1Я2... ЯдЕ = А.

6. Обратная матрица. Введем О п редел ение. Матрицу Х назовем обратной для матрицы А, если ХА = АХ = Е, где Е единичная матрица. Вспомним, что две матрицы могут быть перестановочны только в том случае, если они обе квадратные матрицы одного и того же порядка. Поэтому иметь обратную может только квадратная матрица.

Предложение 11. Если у матрицы А существует обратная, то она единственна. Это легко проверяется от противного. Допустим, что их нашлось две: Х1 и Х2. Тогда Х1 — — Х1(АЛ2) = (Л1А)Х2 — — Х2. Предложение 12. Матрица имеет обратную тогда и только тогда, когда она невырождена. Доказательство. Вернемся к формуле (10) и объединим в ней все элементарные матрицы в один множитель Х. Мы можем утверж- 9 Д.В. Беклемишев Отбрасывая множитель Е, мы получаем требуемое разложение.

Обратно, последняя формула показывает, что произведение элементарных матриц получается элементарными преобразованиями строк из единичной матрицы, которая невырождена. Поэтому, согласно следствию из предложения 6 оно невырождено. Предложение 10. Столбцы квадратной матрицы линейно независимы тогда и только тогда, когда матрица невырождена. Действительно, элементарными преобразованиями строк мы превращаем невырожденную матрицу в единичную, столбцы которой линейно независимы. По предложению 7 столбцы исходной матрицы также должны быть линейно независимы. Обратно, пусть столбцы матрицы А линейно независимы. Это значит, что транспонированная матрица А~ невырождена, и по предыдущему ее столбцы строки матрицы А — линейно независимы Иначе предложение 10 можно сформулировать так. Следствие.

Матрица А невырождена тогда и только тогда, когда невырождена ее транспонированная Ат. Гл. К Матрицы и системы линейных уравнений дать таким образом, что для любой невырожденной матрицы А существует матрица Х такая, что ХА = Е. Докажем, что Х удовлетворяет также и второму равенству в определении обратной матрицы. Для этого заметим, что Х невырождена как произведение элементарных матриц, и потому для нее существует такая матрица У, что УХ = Е. Рассмотрим произведение У(ХА) = У.

При другой расстановке скобок мы видим, что (УХ)А = А. Поэтому У = А, и равенство УХ = Е переписывается как АХ = Е. Нам осталось доказать, что вырожденная матрица не имеет обратной. Пусть матрица А вырождена, т. е. существует нулевая линейная комбинация ее строк Л1а1 + ...

+ Л~а„= о, причем Л2 + ... ... + Л2 ф: О. Тогда согласно предложению 1 произведение ненулевой строки ч = )~Л1.....,Л„(! на матрицу А нулевая строка: чА = о. Если матрица А имеет обратную Х, мы можем умножить на Х справа обе части этого равенства: чАХ = оХ. Таким образом, ч = о, что противоречит определению ч. Это заканчивает доказательство. Обратную к матрице А принято обозначать А 1. На символ — 1 в обозначении обратной матрицы можно смотреть как на показатель степени. Для квадратной матрицы А целая положительная степень А" определяется как произведение матрицы А самой на себя Й раз. Положительная степень (А ')и матрицы А ' считается отрицательной степенью А " матрицы А. По определению нулевой степенью любой квадратной матрицы называется единичная матрица того же порядка.

При этом определении для невырожденной матрицы АьА~ = А"+~ при любых целых Й и 1. Получим основные свойства обратной матрицы. ° Из определения прямо видно, что (А ') ' = А. ° (АВ) 1 = В 1А 1, так как (АВ)(В 'А ') = А(ВВ ')А ' = АА " = Е. ° Из А 1А =.Е, получаем А (А ") =.Е. Поэтому (А~) 1= (А ')~ Опишем способ вычисления обратной матрицы. Именно, если элементарными преобразованиями строк мы обратим матрицу А в единичную, то те же преобразования переведут единичную матрицу в матрицу А 1, так как для соответствующих элементарных матриц из формулы (10) имеем Тм... Т1Е = Тм...

Т1 — — А Эти вычисления могут быть оформлены так: составим матрицу .0 размеров и х 2и, приписав к матрице А справа единичную матрицу. Элементарными преобразованиями строк преобразуем О так, чтобы обратить ее левую половину в единичную матрицу. Тогда правая половина превратится в матрицу А '. Теорема 1.

Пусть А невырожденная матрица порядка п. Тогда любой столбец высоты и раскладывается по столбцам А, причем коэффициенты разложения однозначно определены. Доказательство. Действительно, если матрица А невырожде- ~2. Умножение матриц Упражнения 1. Пусть аффинные преобразования 1 и и в некоторой системе координат записаны, соответственно, формулами х* = а1х+ Ь1у, х" = с1х+ а1у,. у = а х+Ьеу, у = сох+ аеу.

Докажите, что произведение 1 и запишется такими же формулами, причем матрица коэффициентов будет равна а1 Ь1 а2 Ье с1 а1 се аз 2. Пусть (~2~! — матрица размеров 1 х 1 с элементом 2. Верно ли, что: 1 2 б) 2 ((2)! =- 4 ? 3 6 столбцы матрицы А, а Ь', ..., Ь" а) )!2!) 3. Пусть а1, ..., а цы В.

Убедитесь, что строки матри- и АВ = ~ а;Ь'. 4. Верно ли, что для любых двух квадратных матриц одного и того же порядка: а) (А+ В) = А'+ 2АВ+ В; б) (А+ В)'+ (А — В) = 2(А-+ В-)? 5. Рассмотрим матричное уравнение Х + Е = О. а) Проверьте, что матрица Π— 1 1 О удовлетворяет этому уравнению. Как объяснить это в терминах задачи 1? б) Найдите все решения этого уравнения среди вещественных матриц второго порядка. 6. Сопоставим каждому комплексному числу г = а+ Ьг матрицу а — Ь Ь а ~( ) = Проверьте, что выполнены равенства А(~1) + А(з~) = А(~1+ з ), А(Г) = А~ (~), А(~1)А(~ ) = А(~1ге), А(~ ') = А '(~).

Характеристики

Список файлов книги