Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры (10-е изд., 2005) (1004043), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Но ниже мы, тем не менее, будем придерживаться не совсем точной, но более удобной и общепринятой терминологии говорить, что преобразование 1 переводит вектор а в вектор а* и обозначать последний через 1(а). Из формул (10) вытекает, что для линейного преобразования 1 при любых векторах а и Ь и любом числе Л 1(а+ Ь) = 1(а) +1(Ь), (11) 1(Ла) = Л1(а). Докажем, например, первое из этих равенств. Пусть 7* и ~,",— компоненты вектора 1(а+ Ь).
Тогда '11 — а1(01 + /~1) + о1(с12 + д2) ~2 — а2(с11 + д1) + о2(02 + /~2) где а1, а2 и о1, ~32 — компоненты векторов а и Ь. Отсюда ~„= (а1а1 + 6102) + (а1111 + 01® = о„* + Я, '72 = (а2а1 + 0202) + (а2111 + Ь2® = о2 + Я. Это -- координатная запись доказываемого равенства.
Второе из равенств (11) доказывается аналогично. Из равенств (11) следует, что при линейном преобразовании 1 линейно зависимые векторы переходят в линейно зависимые. Действительно, как легко видеть, 1(О) = О. Тогда любое соотношение вида Ла+ рЬ = О влечет за собой Л1(а) + р1(Ь) = О. Если преобразование аффинное, то линейно независимые векторы переходят в линейно независимые. В самом деле, в противном случае из равенства Л1(а) + ф(Ь) = О, Л2 + и2 ф О, при обратном преобразовании мы получили бы Ла+ рЬ = О. Следующее предложение устанавливает геометрический смысл коэффициентов в формулах, задающих линейное преобразование. Предложение 7.
Пусть преобразование 1 записано в системе координат О, е1, е2 формулами (3). Тогда с1 и с2 — координаты точки 1(0), а а1, а2 и о1, 02 компоненты векторов 1(е1) и 1(е2) в системе координат О,е1, е2. ~ 2. Линейные преобразования 105 Для доказательства подставим в формулы (3) значения х = О и д = О координат точки 0 и увидим, что координаты 1(0) равны с1 и с2. Подставим в формулы (10) координаты вектора е1 а1 —— 1, о2 —— = О и найдем а* = а~, а,' = ар. Следовательно, 1(е1) имеет компоненты а1 и а2.
Так же доказывается, что компоненты 1(е~) равны о1 и о2. Предложение 8. Каковы бы ни были три точки Ь, ЛХ,(ч', не лежащие на одной прямой, и три точки Х*, ЛХ" и №, существует единственное линейное преобразование Г такое, что Х* = Х(Х), ЛХ* = = Х(ЛХ) и № = Х(Х). Это преобразование аффинное тогда и только тогда, когда точки Х*, М" и № также не лежат на одной прямой. Доказательство Векторы ЬЛХ и ЬХ не коллинеарны. Следовательно, Х,АЛХ,.ЬЛ' — декартова система координат. Пусть с1, с2— координаты Х "з а а1, аз и 61, бз — — компоненты векторов Ь*ЛХ' и Х*№ в этой системе координат. Формулы х" = а1х + 61д + с1, д* = арх + Ьзд + с2 определяют линейное преобразование Х, которое, как легко видеть, обладает требуемым свойством.
При этом согласно предложению 7, коэффициенты в формулах однозначно определены. Условие (4)з равносильное аффинности преобразования., необходимо и достаточно для того, чтобы векторы Х "ЛХ* и Х.*.(ч'* были не коллинеарны, т. е. Х*, М* и № не лежали на одной прямой. Предложение доказано. Заметим, что в том случае, когда преобразование 1 аффинное, точка Х(0) и векторы Г(е1) и Х(е2) могут быть использованы как система координат.
Для этой системы координат имеет место Предложение 9. При афдуинном преобразовании Х образ М* точки ЛХ в системе координат Х(О),Х(е1),Г(е2) имеет те же координаты, что и точка ЛХ в системе координат О, е1з ез. Доказательство.
Равенство ОМ = хе1 +де2 означает, что х, д — координаты М в системе координат О, е1, ез. Подействовав преобрвзовввием Р нв обе части этого равенства, мм повучв- ези К(ОЗр(МЗ = тК(егЗ З- уК(езЗ,иоторое означает,что т, и р — иоординаты М* в системе координат Х(0),т(е1),Х(е2). Упражнения 1. Являются ли аффинными преобразования, задаваемые формулами: а) х* = х + у — 1, у" = х — у+ 1; б) х" =х — у — 1, у" = — х+у+1.
2. Найдите образ прямой х — у = 2 при преобразовании а) из упр. 1. 3. Докажите, не прибегая к формулам (1), что ортогональное преобразование взаимно однозначно. 4. Точка А называется неподвижной точкой преобразования 1з если 1(А) = А. Найдите неподвижные точки преобразования а) из упр. 1.
Гл. Л'. Преобразования плоскости 106 8 3. Аффинные преобразования 1. Образ прямой линии. В этом параграфе мы изучим геометрические свойства аффинных преобразований. Ниже Х обозначает аффинное преобразование, записываемое в декартовой системе координат О, е1, ез формулами х* = а1х+ 61д+ с1, д* = азх+ 62д+ с (1) при условии а1 Ь1 а2 Ь2 (2) Рассмотрим на плоскости прямую линию с уравнением г = го + + а1 и найдем ее образ при преобразовании Х. (Под образом прямой понимается множество образов ее точек.) Радиус-вектор образа ЛХ' произвольной точки М можно вычислить так: ОЛХ* = 01'(0) +Х(0)М' = с+ Х(г).
Здесь с постоянный вектор Ог(0), а г радиус-вектор точки ЛХ. Согласно (11) 22 мы получаем ОМ* = с+ Х(го) + Х(а)~. (3) 5. Докажите, что линейное преобразование, не являющееся тождествен- ным, либо имеет единственную неподвижную точку, либо имеет прямую, состоящую из неподвижных точек, либо не имеет их совсем. 6. Как изменятся формулы, задающие линейное преобразование, если начало координат перенести в неподвижную точку, не меняя базисных век- торов? 7. Линейное преобразование в системе О, е1, ез задано формулами (3). Какими формулами оно задается в системе координат: а) О, е2, е1, .б) О, е1, 2ез? 8.
Докажите, что линейное преобразование, задаваемое в декартовой прямоугольной системе координат формулами х =хсозу+уз1пу, у =хз1пу — усозр, осевая симметрия. Найдите уравнение оси симметрии. 9. Может ли случиться, что произведение двух линейных преобразова- ний аффинное, если одно из них не аффинное? 10. Пусть аффинное преобразование в декартовой прямоугольной сис- теме координат задано формулами х = х+Ьу+с1, у = ах+с . Найдите векторы, ортогональные их образам.
11. Дан треугольник с вершинами А(1,0), В( — 1/2,1) и С( — 1/2, — 1). Найдите преобразование, переводящее каждую вершину в середину проти- воположной стороны. 12. Докажите, что преобразование из упр. 8 есть произведение осевой симметрии 1 относительно оси абсцисс и поворота я на угол р вокруг начала координат. Какое преобразование получится, если 1 и 8 перемножить в другом порядке? ~3. Аффинные преобразования 107 Так как à — — аффинное преобразование и а =,Ф О, то а перейдет в вектор 1(а) ф: О, и уравнение (3) является уравнением прямой линии.
Итак, образы всех точек прямой г = го + а1 лежат на прямой (3). Более того, преобразование 1 определяет взаимно однозначное отобра'кение одной прямой на другую, так как при сделанном здесь выборе начальных точек и направляющих векторов точка М* имеет на прямой (3) то же значение параметра ~, что и точка М на исходной прямой. Отсюда мы получаем Предложение 1. При аффинном преобразовании: прямая линия переходит в прямую линию: отрезок переходит в отрезок; параллельные прямые переходят в параллельные. Для доказательства второго утверждения достаточно заметить, что отрезок прямой состоит из таких точек, у которых значения параметра удовлетворяют неравенству вида 11 < 1 ( 12. Третье утверждение следует из того, что при аффинном преобразовании коллинеарные векторы переходят в коллинеарные. Предложение 2.
При аффинном преобразовании отношение длин параллельных отрезков не изменяется. Доказательство Пусть отрезки АВ и С.О параллельны. Это значит, что существует такое число Л, что АВ = ЛС.О. Образы векто- ров АВ и С.О связаны той же зависимостью А*В* = ЛС*з *. Отсюда вытекает, что )АВ! (А*В*! — )Л!. ) СЦ ) С*1Э* ) С л е д с т в и е. Если точка С делит отрезок АВ в некотором отношении Л, то ее образ С* делит образ А'В* отрезка АВ в том же отношении Л.
2. Изменение площадей при аффинном преобразовании. Для начала рассмотрим ориентированный параллелограмм. Выберем общую декартову систему координат О, е1, е2 и обозначим через (р1, р~) и (Ч1, Чз) компоненты векторов р и Ч, на которых он построен. Площадь параллелограмма мы можем вычислить, пользуясь формулой (23) ~4 гл. 1: ~~(Р Ч) (Р1Ч2 Р2Ч1)~~(е1 е2) Пусть аффинное преобразование 1 записывается в выбранной системе координат формулами (1). Из предложения 9 ~2 следует, что векторы 1(р) и 1(ц) имеют в базисе 1(е1), Х(ез) те же компоненты (р1,Р2) и (Ч1, Ч~), что и векторы р и ц в базисе е1, е2.
Образ параллелограмма построен на векторах 1(р) и 1(ц), и площадь его равна ~~ = ~~(~(Р) ~(с1)) = (Р1Ч2 — Р2Ч1)~~(~(е1) ~(е2)). Вычислим последний множитель. По предложению 7 ~ 2 координаты векторов 1(е1) и 5(е~) равны соответственно (а1,а2) и (61,62). Гл. Л'. Преооралования плоскости 108 Поэтому Я~(Т(е1), 1(е2)) = (а1Ь2 — а2Ь1)Я~(е1, е2) и Я~ — — (р1д2 — р2д1)(а1Ь2 — а2Ь1)Я~(е1, е2). Отсюда мы видим, что а1 Ь1 Я~ а2 Ь2 (4) Таким образом, отношение площади образа ориентированного параллелограмма к площади этого параллелограмма одинаково для всех параллелограммов и равно а1Ь2 — а2Ь1.
Отсюда следует, что данный детерминант не зависит от выбора системы координат, в которой записано преобразование, хотя он вычисляется по коэффициентам, зависящим от системы координат. Эта величина инвариант, выражающий геометрическое свойство преобразования. Из формулы (4) видно, что отношение площади образа неориентированного параллелограмма к его площади равно 5 /Я: ~а1Ь2 а2Ь1 ~. (5) Если а1Ь2 — а2Ь1 > О, то ориентации всех ориентированных параллелограммов сохраняются при преобразовании, а если а1Ь2 — а2Ь1 ( О, то для каждого ориентированного параллелограмма ориентация образа противоположна его ориентации.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
